高联平面几何训练题(附答案)

平几综合问题

例1】在ABC 中，AB AC ，其内切圆I 分别切三边于点D, E,F ，P为弧EF（不含点D的弧）上一点. 设线段BP交圆I 于另一点Q.直线EP,EQ分别交直线BC于点M,N. 证明：

1）P, F,B,M 四点共圆；

EM BD EN BP

且ABF ACE 90 ．⑴求证：BE CF EF ；

例 2 】如图，在锐角△ABC 中，AB AC ，cosB cosC 1．E、F分别是AB、AC延长线上的点，

⑵设 EBC 的平分线与 EF 交于点 P ，求证： CP 平分 BCF ．

例3】 在三角形 ABC 中， AB AC ， CAB 和 ABC 的内角平分线分别与边 BC 和CA 相交于点 D 和

E ．设 K 是三角形 ACD 的内心．若 BEK 45 ，求 CAB

所有可能的值．

例4】（* ）过圆外一点P向圆O作切线PA、PB及割线PCD，过C作PA的平行线，分别交AB、AD 于 E 、 F ．求证：CE EF ．

F

例5】在△ ABC中， B C ，△ ABC的内切圆⊙I 与BC ，CA ，AB 的切点分别为D，E，F ．记AD 与

⊙I 的不同于点 D 的交点为P ．过点P 作AD 的垂线交EF 于点Q ，X ，Y 分别是AQ 与直线

DE ，DF 的交点．

求证： A 是线段XY的中点．

D

例6】如图，C 为扇形AOB 的弧?AB 上一点，在射线OC 上任取一点P ，连结AP ，过点B 作直线BQ∥ AP交OC于点Q ．证明：五边形OAQPB 的面积与点C 、P的选取无关．

例7】给定圆1和2相交于点X和Y ．l1是一条过1的圆心的直线且与2交于P 、Q ．l2是一条过2的圆心的直线且与1交于R、S．求证：若P、Q 、R 、S四点共圆，则此圆的圆心在直线XY

上．

O

大显身手

1．设不过平行四边形ABCD顶点的任意一条直线分别与直线AB、BC、CD、DA交于E、F、G、H，则圆

EFC与圆GHC的另一个交点Q必在定直线上

如图）．求证：POQ 2 MDC ．

3．两圆⊙O1 、⊙O2相切于点M ，⊙O2的半径不小于⊙O1的半径．点A是⊙O2上的一点，且满足O1、O2和A三点不共线．AB 、AC是点A到⊙O1的切线，切点分别为B、C，直线MB、MC与⊙O2 的另一个交点分别为E、F，点D是线段EF和⊙O2的以A为切点的切线的交点．证明：当点A 在⊙O2上2．已知⊙ O与ABC 的边AB、A C分别相切于P和Q，与ABC外接圆相切于D，M 是PQ的中点

移动且保持O1、O2和A三点不共线时，点 D 沿一条固定的直线移动．

4．（* 选做，不作要求）水平直线m通过圆O的中心，直线l m，l 与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l 上不同的三点A，B，C在圆外，且位于直线m上方， A 点离M点最远，C点离M点最近，

AP ， BQ ，CR 为圆 O 的三条切线， P ，Q ，R 为切点．试证：

提示与解 ：

与圆 O 相切

时，

AB CR +BC AP ＝AC BQ

； 与圆 O 相交

时， AB CR +BC AP

BQ ；

与圆 O 相离时， AB CR +BC AP >AC BQ

．

(1) l (2) l (3) l

1、画图可得到Q点应在在定直线AC上，即证A、C、Q共线.

连AQ、CQ、EQ、HQ，往证∠ EQA=∠EQC，

E、F、C、Q共圆→∠ EQC=∠GFC，

G、H、Q、C 共圆→∠ HQC=∠FGC，∠GFC+∠FGC+∠FCG=1800→∠ EQC+∠ HQC∠+ GFC=1800，∵∠ BAD=∠FCG，∴∠ EQH+∠EAH=1800→ A、E、Q、H共圆→∠ EQA=∠EHA，而AH∥BC→∠ GFC=∠EHA→∠ EQA=∠ EQC →A、C、Q共线，即Q必在定直线AC上.

2、如图，连接AO、AD、DO和DQ ．

∵ AP、AQ分别与⊙ O相切于P 、Q．

∴ AP AQ

∵ OP 和OQ 都是⊙ O 的半

径，

∴ 由对称性知POQ2AOQ，且OA PQ于M

22OD OA

∴ OD 2 OQ2OM OA即OD

OM OD

又∵ DOM AOD，∴DOM ∽AOD

∴ ODM OAD

APO AQO 90

过 D 作两圆的公切线DE ，则CDE CAD

所以点 D 在定直线 y 轴上移动．

又∵ OD DE ，即 ODE 90

MDC 90 ODM COE 90

OAD DAC

90 OAQ AOQ 故 POQ 2 MDC ．

图所

示，

设 ⊙O 1 方程为 22 x 1 y 2 1 ， ⊙O 2 方程为 2 2 2 rr1 xr

y 设

Ar

r cos ， r sin ， 0 ， π U π，2π 因

为

BC 是⊙O 1的切点弦，

所 以 BC 方

程为 r 1 r cos x 1 yr sin

1， 即

1 r r cos x r sin y r 1 cos 0

又易得 EF ∥BC ，

设 EF 方程为 1 r r cos x r sin y t 0 ． 又因为 O 1C ∥ O 2F ，所以 y F

x F r ， y C x C 所以 y C

1 1 y F ，x C x F ( 其中 F x F ， y F ， C x C ， y C ）． r r

1 所以 1 1r r cos

x F

r sin 1 y F r

1 cos 0， r r

所以 1

rr cos x F r sin y F 2 r 1 cos 0， 所以直

线 EF 方程为 1 r r cos x r sin y r 2 1 cos 0 又因为 AD 是⊙O 2的以点 A 为切点的切线， 所以直线 AD 方程为 r x r cos r sin y r 2 0 ．

即 rx cos

2 r sin y r (1 cos ) 0 设 D x D ，y D ，因为点 D 在EF 和 AD 上，所以 1 r x D 0 ，即 x D 0，

3、以 M 为原点， O 1O 2 为 x 轴建立直角坐标系，如