极限的证明

极限的证明利用极限存在准则证明：

(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;

(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

1)用夹逼准则:

x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0

故(Inx/x^2)的极限为0

2)用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

x0>√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2<0,单调递减

且Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.

设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.

对原始两边求极限得A=[A+(a/A)]/2.解得A=√a

同理可求x0<√a时,极限亦为√a

综上,数列极限存在,且为√

(一)时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号: 的意义, 的直观意义.

定义 ( 和 . )

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4 验证例5 验证例6验证证由 =

为使需有为使需有于是, 倘限制 , 就有

例7验证例8验证 ( 类似有 (三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的 2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有: 例10证明: 极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有

= §2 函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。