巧解含参数不等式恒成立与存在性问题

巧解含参数不等式恒成立与存在性问题
一、在不等式恒成立的条件下，求参数的取值范围问题
在不等式恒成立条件下求参数的取值范围，一般原理是利用转化与化归思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，方法可采用“分离参数法”或“不分离参数法”直接移项构造辅助函数的形式.
例1、若不等式)1(122
->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围. 解：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主元，原不等式化为：0)12()1(2
<---x x m ，
令)12()1()(2
---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，
所以只需⎩⎨
⎧<<-0
)2(0
)2(f f
即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0
)12()1(20
)12()1(22
2
x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x . 说明：在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x 看成是主元（未知数）
，而把另一个变量a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。

如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。

例2、已知关于x 的不等式2
210mx mx ++>对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
解：当0m =时，原不等式化为10>显然成立；
当0m ≠时，则需要满足条件：2
01440m m m m >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩
； 综上，实数m 的取值范围是[0,1).
例3
、若2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。

解：设()2
3f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。

（1） 当22a -
<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥，7
3
a ∴≤又4a >所以a 不存在； （2） 当222a -≤≤即：44a -≤≤时，()2min 3024a a f x f a ⎛⎫
=-=--
≥ ⎪⎝⎭
62a ∴-≤≤，又44a -≤≤，42a ∴-≤≤
（3） 当22
a
-
>即：4a <-时，()()min 270f x f a ==+≥，7a ∴≥-又4a <-74a ∴-≤<- 综上所得：72a -≤≤
说明：在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。

例4、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。

解：根据题意得：21a
x x
+
->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，
设()2
3f x x x =-+，则()2
3924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭
当2x =时，()max 2f x =所以2a >.
说明：在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出
()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最
值。

变式：已知(],1x ∈-∞时，不等式()
21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。

解：令2x t =，
(],1x ∈-∞(]0,2t ∴∈所以原不等式可化为：221
t a a t
+-<
， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()2
1
t f t t +=
在(]0,2t ∈上的最小值即可。

()22
211111124t f t t t t t +⎛⎫⎛⎫==+=+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,2t ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
()()min 324f t f ∴==
234a a ∴-<13
22
a ∴-<< 说明：在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若()()f a g x ≥恒成立，只须求出()max g x ，则()()max f a g x ≥，然后解不等式求出参数a 的取值范围；若()()f a g x ≤恒成立，只须求出()min g x ，则()()min f a g x ≤，然后解不等式求出参数a 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。

类型5、若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为(,)m n ，则： ①不等式()f x a >（或()f x a ≥）在区间D 上恒成立m a ⇔≥； ②不等式()f x b <（或()f x b ≤）在区间D 上恒成立n b ⇔≤； 例5、当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，log 1a x <恒成立，求实数a 的取值范围。

解：因为1log 1a x -<<
当1a >时，1x a a <<，则问题转化为11(,3)(,)3a a ⊆，所以3
3113a a a ≥⎧⎪
⇒≥⎨≤⎪⎩；
当01a <<时，1a x a <<，则问题转化为11(,3)(,)3a a ⊆，所以1
3101
33a
a a ⎧≥⎪⎪⇒<≤⎨
⎪≤⎪⎩
. 综上所得：1
033
a a <≤
≥或. 说明：在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：[]()(),,m n f a g a ⊂⎡⎤⎣⎦，则()f a m ≤且()g a n ≥，不等式的解即为实数a 的取值范围。

变式：若不等式2
3log 0a x x -<在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
内恒成立，求实数a 的取值范围。

解：由题意知：2
3log a x x <在10,3x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数23y x =和log a y x =
观察两函数图象，当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，
当1a >时，函数log a y x =的图象显然在函数2
3y x =图象的下方，所以不成立；
当01a <<时，由图可知，log a y x =的图象必须过点11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
或在这个点的上方，则，11log 33
a
≥127a ∴≥
1
127
a ∴>≥
综上得：1
127
a >≥
说明：数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通
过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。

二、在不等式有解的条件下，求参数的取值范围问题
例1、已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围.
解：由绝对值的几何意义知道|4||3|1x x -+-≥，因为不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，所以1a >. 答案：1a >.
变式：若关于x 的不等式2
3x ax a --≤-的解集不是空集，求实数a 的取值范围.
解：设2
()f x x ax a =--.则关于x 的不等式2
3x ax a --≤-的解集不是空集()3f x ⇔≤-在(,)
-∞+∞上能成立min ()3f x ⇔≤-,即2min
4()34
a a f x +=-≤-解得62a a ≤-≥或.
答案：62a a ≤-≥或.
例2、设233
()2
x x f x x -+=-，若存在0(2,)x ∈+∞，使得0()f x m <成立，求所有满足条件的实数m 的取
值范围.
解：由题知2233(2)(2)11
()(2)1322(2)x x x x f x x x x x -+-+-+=
==-++≥---（当且仅当 1
(2)(2)
x x -=
-即3x =时取=）.因为存在0(2,)x ∈+∞，使得0()f x m <成立，所以3m >.
答案：3m >.
三、不等式恰好成立问题
例1、不等式210ax bx ++>的解集为{|1}3
x x -<<，求a b ⋅的值.
解：由题知道1133611
213b a a
a b b a ⎧-+=-⎪=-⎧⎪⇒⇒⋅=⎨
⎨=-⎩⎪-⨯=⎪⎩
. 答案：6.
变式：已知22()x x a
f x x ++=当[1,)x ∈+∞时，()f x 的值域是[0,)+∞,试求实数a 的值.
解：是一个恰成立问题,这相当于22()0x x a
f x x
++=
≥的解集是[1,)x ∈+∞. 当0a ≥时,由于1x ≥时, 22()23x x a a
f x x x x
++=
=++≥,与其值域是[0,)+∞矛盾； 当0a <时, 22()2x x a a
f x x x x ++=
=++是[1,)+∞上的增函数,所以()f x 的最小值为(1)f ,令(1)0f =,即1203a a ++=⇒=-.
四、对同时含有“任意”、“存在”等量词的不等式成立条件下，求参数的取值范围问题.
例1、已知函数12)(2
+-=ax x x f ，()g x x =，其中1a <．
（1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）对任意1[1,2]x ∈，2[2,4]x ∈，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）由题知道对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立等价于对任意]2,1[∈x ，不等式
21112222x x x a x x -+<=+-恒成立，又111122222x x +-≥=（当且仅当1
22x x
=即1x =时取
=），所以1
2
a <
. （2）由题知道对任意1[1,2]x ∈，2[2,4]x ∈，都有)()(21x g x f >恒成立等价于1min 2max ()()f x g x >.
因为222
()21()1(1)f x x ax x a a a =-+=-+-<在1[1,2]x ∈单调递增，所以1min
()
(1)22f x f a ==-；
()g x x =在2[2,4]x ∈单调递增，所以2max ()(4)4g x g ==，所以2241a a ->⇒<-.
例2、已知两函数2
)(x x f =，m x g x
-⎪⎭
⎫
⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，
则实数m 的取值范围为.
解：对任意1[0,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得12()()f x g x ≥等价于1()()2
x g x m =-在[1,2]上的最小值
14m -不大于2()f x x =在[0,2]上的最小值0，既104m -≤，∴14
m ≥. 答案：1
4
m ≥.
五、含有两个参数的不等式恒成立问题
解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．实质还是通过函数求最值解决． 例1、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,2
1[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41
[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．
方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；
方法2：变量分离，)(10x x a
b +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 方法3：变更主元，0101)(≤-++⋅=b x a x a ϕ，]2,2
1
[∈a
解：方法1:对b x x a b x x g x h ++=
++=)()(求导，22)
)((1)(x
a x a x x a x h +-=-='， 由此可知，)(x h 在]1,4
1[上的最大值为)4
1
(h 与)1(h 中的较大者．
1139()104104444(1)101109h a b b a h a b b a
⎧⎧⎧
≤++≤≤
-⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨
⎪⎪⎪≤++≤≤-⎩⎩⎩，对于任意1[,2]2a ∈，得b 的取值范围是74b ≤．
六、课后练习
1、已知函数()f x 的定义域为R ，根据下列条件分别求实参数k 的取值范围：
（1）()f x =
（2）()()2log 41a f x kx kx k =-+-；
解：（1）()f x 的定义域为R ⇔关于x 的不等式22410x kx k -+-≥的解集为R
()216810k k ⇔--≤()()1210k k ⇔+-≤112k ⇔-≤≤
，∴11,2k ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦。

（2）()f x 的定义域为R ⇔关于x 的不等式2410kx kx k -+->的解集为R
0k ⇔=或()2016410
k k k k >⎧⎨--<⎩0k ⇔=或105k <<105k ⇔≤<，∴10,5k ⎡⎫
∈⎪
⎢⎣⎭
2、函数),1[,2)(2+∞∈++=x x a
x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

解：若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，即对),1[+∞∈x ，02)(2>++=
x
a
x x x f 恒成立， 考虑到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立而得 而抛物线a x x x g ++=2)(2
在),1[+∞∈x 的最小值03)1()(min >+==a g x g 得3->a .
3、对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2
>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围.
解：令44)2()(2
+-+-=x x a x a f ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）.
当2=x 时，可得0)(=a f ，不合题意.
当2≠x 时，应有⎩⎨
⎧>->0
)1(0
)1(f f 解之得31><x x 或.
故x 的取值范围为),3()1,(+∞-∞ .
4、不等式220kx k +-<有解，求k 的取值范围.
解：不等式220kx k +-<有解2
(1)2k x ⇔+<有解221k x ⇔<
+有解max 22
()21
k x ⇔<=+，所以2k <.
5、设x x x f 4)(2--=
, a x x g -+=
13
4
)(,若恒有)()(x g x f ≤成立,求实数a 的取值范围. 解：在同一直角坐标系中作出)(x f 及)(x g 的图象如图所示，)(x f 的图象是半圆
)0(4)2(22≥=++y y x ，)(x g 的图象是平行的直线系03334=-+-a y x .
要使)()(x g x f ≤恒成立，则圆心)0,2(-到直线03334=-+-a y x 的距离. 满足25
338≥-+-=
a
d ，解得3
5
5≥
-≤a a 或（舍去).。