几种常见的放缩法证明不等式的方法

几种常见的放缩法证明不等式的方法

一、 放缩后转化为等比数列。

例1. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+

（1） 用数学归纳法证明：n b n ≥

（2） 1231111...3333n n T b b b b =

++++++++，求证：12n T < 解：(1)略

(2)

13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++ 又 n b n ≥

132(3)n n b b +∴+≥+ ， *n N ∈

迭乘得：11132(3)2n n n b b -++≥+≥ *111,32

n n n N b +∴≤∈+ 234111111111...2222222n n n T ++∴≤

++++=-< 点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！

二、放缩后裂项迭加

例2．数列{}n a ，1

1(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s

求证：2n s <

解：2111111...234212n s n n =-

+-++-- 令12(21)

n b n n =-，{}n b 的前n 项和为n T 当2n ≥时，1111()2(22)41n b n n n n ≤

=--- 2111111111111()()...()2123043445641n n s T n n

∴=≤+++-+-++--

71104n =-< 点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。

例3.已知函数()(0)b f x ax c a x

=++>的图象在(1,(1))f 处的切线方程为 1y x =-

（1）用a 表示出,b c

（2）若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围

（3）证明：1111...ln(1)232(1)

n n n n +

+++>+++ 解：（1）（2）略 （3）由（II ）知：当)1(ln )(,2

1≥≥≥x x x f a 有时 令).1(ln )1(21)(,21≥≥-==x x x

x x f a 有 且当.ln )1(21,1x x

x x >->时 令)],1

11()11[(21]11[211ln ,1+--+=+--<++=k k k k k k k k k x κ有 即.,,3,2,1),1

11(21ln )1ln(n k k k k k =++<-+ 将上述n 个不等式依次相加得

,)

1(21)13121(21)1ln(++++++<

+n n n 整理得 .)

1(2)1ln(131211+++>++++n n n n 点评：本题是2010湖北高考理科第21题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。

三、 放缩后迭乘

例4．*1111,(14)16

n n a a a n N +==++∈. （1） 求23,a a

（2）

令n b ={}n b 的通项公式

（3） 已知1()63n n f n a a +=-，求证：1(1)(2)(3)...()2

f f f f n >

解：（1）（2）略 由（2）得2111()()3423

n n n a =

++ 13231()21142424

n n n n n f n ∴=++---=- 121111111211(1)(1)11144444411114111444

n n n n n n n n n n ------+++-+-==>+++

1114()114n n f n -+∴>+ 211111*********(1)(2)...() (111122)

1144n n n f f f n -++++∴>•=>+++ 点评：裂项迭加，是项项相互抵消，而迭乘是项项约分，其原理是一样的，都似多米诺骨牌效应。只是求n 项和时用迭加，求n 项乘时用迭乘。