第四章 频率特性分析

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
0 1 2 3 4 5
0° -20° -40° -60° -80°
1 2 3 4 5
频率特性G(jω)也可以表示成实部和虚部的复数形式。
G( j) P() jQ()
P() A() cos() Q() A()sin()
A() P()2 Q()2 () arctan Q()
系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率 特性。
具有明确的物理意义。数学基础是傅利叶变换。
§4.1 频率特性的概念 不
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
40
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，曲线如下:
结论
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入 同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
Ar=1 ω=0.5 ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
AA BB
相角问题
① 稳态输出 迟后于输入的 角度为：
φ=
B A
360o
②该角度与ω有
关系 ,∴为φ(ω)
③该角度与初始
角度无关, ∴ …
一、频率特性的定义
R
例：如图所示电气网络的传递函数为
U2 (s) 1 Cs 1 1
i
u1
C
u2
U1(s) R 1 Cs RCs 1 s 1
0
1
半对数坐标 表示方法 (Bode图)
G( j) A()e j( )
两张图：
Lg0描.6述率=增的-益关0.与系22频18
Lg0.8 = -0.0969
L() 20lg A() ~
例题中输入信号的复数表示为： U1me j0
例题中输出信号的复数表示为：U1m
1
1 j
j 1
e 1 j
它们之比为：G( j) 1 A()e j() A()()
1 j
A() 1 1
() 1 arg tan
1 j 1 2 2
1 j
频率特性的定义：
线性系统或环节在正弦函数的作用下,稳态输出 与输入之比对频率的关系特性。又称作正弦传递函数.
A()M sin[t ()]
得到线性系统的幅频特性和相频特性：
A() G( j) () G( j)
频率特性和传递函数的关系为
G( j) G(s) s j
频率特性与传递函数
频率特性G(j)
j
j
s s
传递函数G(s)
d
dt d
dt
微分方程
三、频率特性的几种图示方法
1. 幅相频率特性曲线
它是在复平面上以极坐标的形式来描述的。又称极坐 标图。又称Nyquist曲线。
1
1 22
j 1
来自百度文库
2
2
P()
jQ()
线性定常系统的传递函数表达式为
G(s) C(s) N(s)
N (s)
R(s) D(s) (s p1)(s p2 ) (s pn )
输入为r(t)=Msin(ωt)，
R(s)
M s2 2
C(s)
N (s)
M
(s p1)(s p2 ) (s pn ) s2 2
φ(ω) = -tg-10.5 ω A(ω)=
1
0.25 ω2+1
ω 0 0.5 1 2 4 5 8 20
φo( 0 -14.5 -26.6 -45 -63.4 -68.2 -76 -84
ω)
A(ω) 1
0.97 0.89 0.71 0.45 0.37 0.24 0.05
j Im[G(jω)]
Re[G(jω)]
第四章 频率特性分析
§4.1 频率特性的基本概念 §4.2 典型环节的频率特性 §4.3 系统的对数频率特性 §4.4 频域性能指标及其时域性能指标间的关系 §4.5 频率实验法估计系统的数学模型
时域方法准确、直观。但用解析法求解系统的 时域响应不易。
正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量 称为频率响应。
若输入为正弦信号： u1 U1m sin t
其拉氏变换为：
U1(s)
U1m s2 2
输出拉氏变换为：
U
2
(s)
1
s
1
U1m s2
2
其拉氏反变换为：
u2
U1m 1 22
t
e
U1m sin(t arctan ) 1 2 2
其稳态响应为：
lim
t
u2
U1m
1 2 2
sin(t arctan ) U1m
G( j) 1 1 j
幅频特性和相频特性数据
(rad s1) 0 1 2 1 2 3 4 5
A( )
1 0.890 0.707 0.447 0.316 0.243 0.196 0
()() 0 -26.5 -45.0 -63.4 -71.6 -76.0 -78.7 -90
A()
( )
P()
二、频率特性的几种表示方法
例：
传递函数：G(s)
1 S
1
频率特性：G( j) 1 j 1
极坐标 表示方法：
G( j) A()e j( )
直角坐标
A() G( j) 1 22 1
( ) G( j) tg1
表示方法：
实频特性 虚频特性
G( j)
(1
1 j j)(1
j)
b2
G(s)
(s
M j)(s
j)
(s
j)
s j
G(
j)
M 2j
G(jω)是一复数，可写为
G( j) A()e j() G( j) A()e j()
b1
M 2j
A()e j ()
b2
M 2j
A()e j ()
css (t)
b1e jt
b2e jt
A()M
e e j[t ( )] j[t ( )] 2j
若无重极点，上式可写为
C(s)
b1
b2
n
ai
s j s j i1 s pi
n
c(t) b1e jt b2e jt aie pit i 1
若系统稳定，pi都具有负实部，则稳态分量为：
lim
t
c(t)
b1e jt
b2e jt
b1
G(s)
(s
M j)(s
j)
(s
j)
s
j
G(
j)
M 2j
1
1 j
sin(t 1 ) 1 j
上式表明：对于正弦输入，其输入的稳态响应仍然是一个同
频率正弦信号。但幅值降低，相角滞后。
输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设 输入为Xej0，输出为Yejφ，则输出输入之复数比为：
Ye j Xe j0
Y X
e j
A()e j()
A() —幅值频率特性 () —相角频率特性
系统的频率特性可表示为： G( j) A()e j()
对某一固定频率ω1
G( j1) A(1)e j(1)
在极坐标系中画出该向量。
ω从-∞→+∞变换时该向量在极坐标系中形成 的曲线，称为Nyquist曲线。
实频特性是ω的偶函数，虚频特性是ω的奇函数。为什么？
惯性环节G(jω)
G(s)
=
1 0.5s+1