地统计学

方向
h N(h) 1.41 32 7.06
西北—东南
2.82 21 12.95 4.24 13 30.85 5.65 8 58.13 7.07 2 50.00
(h)
(h)
变异函数的参数
变异函数有四个非常重要的参数，即基台值（Sill）、
变程（Range）或称空间依赖范围（Range of Spatial Dependence）、块金值（Nugget）或称区域不连续性 值 （ Localized Discontinuity ） 和 分 维 数 （ Fractal Dimension）。 前3个参数可以直接从变异函数图中得到。它们决定变 异函数的形状与结构。
变异函数的理论模型
• 实际上理论变异函数模型 (h) 往往是未知的，需
要从有效的空间取样数据中去估计。 • 对各种不同的h值可计算出一系列的 (h) 值，因
此要有一个理论模型去拟合这一系列的 (h) 值
变异函数的理论模型
地统计学将变异函数理论模型分为三大类：
第一类是有基台值模型，包括球状模型、指数模型、高斯模
（2）球状模型。其一般公式为：
0 3h h 3 (h) c 0 c( 3 ) 2a 2a c 0 c h0 0ha ha
式中：c0 为块金（效应）常数，c为拱高， c0+c为基台值，a为变程。当c0=0，c=1时， 称为标准球状模型。球状模型是地统计分析 中应用最广泛的理论模型，许多区域化变量 的理论模型都可以用该模型去拟合。
（3）指数模型。其一般公式为：
0 ( h) h c 0 c(1 e a ) h0 h0
式中：c0 和c意义与前相同，但a不是变程。当 h=3a时， e 1 e 0.95 1 ，即 (3a) c0 c ，从而 1 指数模型的变程 a 约为 3a 。当c0=0，c=1时，称 为标准指数模型。
若 Z ( xi ) = 写为：
Z ( x i h)
= m（常数），则上式可以改
1 N (h) c ( h) [ Z ( x i ) Z ( x i h)] m 2 N (h) i 1
式中：m为样本平均数，可由一般算术平均数 公式求得，即：
1 m N
Z (x )
i 1 i
地统计学 （第五讲）
1. 常见半方差模型 2. 应用实例
3. 克立格插值方法
1、协方差函数
协方差函数的概念
区域化随机变量之间的差异，可以用空间协方 差来表示。 区域化变量 Z ( x) Z ( xu , xv , xw ) 在空间点x和x+h处 的两个随机变量和的二阶混合中心矩定义为 Z(x)的自协方差函数，即
变异函数的形状反映自然现象空间分布结构或空间相关
的类型，同时还能给出这种空间相关的范围。
C0+C2
γ (h) C0
当变异函数随着间隔距离h的增大，从非零值达到一个相 对稳定的常数时，该常数称为基台值C0+C， 当间隔距离h=0时，γ(0)= C0，该值称为块金值或块金方 差（Nugget Variance）。 基台值是系统或系统属性中最大的变异，变异函数达到 基台值时的间隔距离a称为变程。变程表示在h≥a以后，区 域化变量Z(x)空间相关性消失。 块金值表示区域化变量在小于抽样尺度时非连续变异， 由区域化变量的属性或测量误差决定。
Cov[Z ( x), Z ( x h)] E[Z ( x)Z ( x h)] E[Z ( x)]E[Z ( x h)]
协方差函数的计算公式
协方差函数的计算公式为：
1 N (h) c ( h) [Z ( xi ) Z ( xi )][ Z ( xi h) Z ( xi h)] N (h) i 1
i
1 N (h) ( h) [ Z ( x i ) Z ( x i h)] 2 2 N (h) i 1
这样对不同的空间分隔距离h，计算出相应的 c(h) 和 (h) 值。如果分别以h为横坐标，(h)或 c(h)
为纵坐标，画出协方差函数和变异函数曲 线图，就可以直接展示区域化变量Z(x)的空间 变异特点。可见，变异函数能同时描述区域 化变量的随机性和结构性，从而在数学上对 区域化变量进行严格分析，是空间变异规律 分析和空间结构分析的有效工具。
（5）幂函数模型。其一般公式为：
(h) Ah ,0 2
式中： θ 为幂指数。当 θ 变化时，这种模型可以反映 在原点附近的各种性状。但是 θ 必须小于2，若 2 ， 则函数(-h)就不再是一个条件非负定函数了，也就是说 它已经不能成为变异函数了。

（6）对数模型。其一般公式为：
(37 34) 2 (34 30) 2 (39 39) 2 (39 37 ) 2 (37 36) 2 (36 33) 2 (37 41) 2 (41 37) 2 (37 36) 2 (36 32) 2 (32 29) 2 (36 40) 2 (40 33) 2 (33 35) 2 (35 29) 2 (29 30) 2 (38 34) 2 (28 32) 2 ]
变异函数的性质
设Z(x)是区域化变量，在满足二阶平稳假 设条件下，变异函数式具有如下性质： (1)
(0) =0，即在h=0处，变异函数为0；
(2) (h) = (h) ，即 (h)关于直线h=0是对称 的，它是一个偶函数； (3) (h) ≥0，即 (h) 只能大于或等于0；
式中：h为两样本点空间分隔距离或距离滞后，
Z ( xi ) 为 Z (x) 在空间位置 x i 处的实测值，
Z ( xi h) 是 Z (x) 在 x i 处距离偏离h的实测值[i= 1， 2，…， (h) N ]，
N (h)是分隔距离为h时的样本点对（Paris）总数，
Z ( xi ) 和 Z ( xi h) 分别为 Z ( xi ) 和 Z ( xi h) 的样本平均数。
(38 35) 2 (35 37 ) 2 (40 43) 2 (43 37 ) 2 (36 35) 2 (42 42) 2
2 (42 35)2 (35 35)2 35 35） (40 39)2 (39 38)2 (38 37 )2 （
图4.2.2 缺失值情况下样本数对的组成和计算过程，☉为缺失值
首先计算南北方向上的变异函数值，由变异 函数的计算公式可得：
(1)
1 [( 40 42)2 (42 37 )2 (37 35)2 (35 36)2 (36 38)2 (37 38)2 2 36
n
变异函数
变异函数的概念
变异函数（Variograms），又称变差函数、变异矩， 是地统计分析所特有的基本工具。
在一维条件下变异函数定义为，当空间点x在一维x 轴上变化时，区域化变量Z(x)在点x和x+h处的值Z(x) 与Z(x+h)差的方差的一半为区域化变量Z(x)在x轴方 向上的变异函数，记为γ(h)，即
实例1，假设某地区降水量Z(x)（单位：mm） 是二维区域化随机变量，满足二阶平稳假设， 其观测值的空间正方形网格数据如图4.2.1所
示（点与点之间的距离为h=1km）。试计算
其南北方向及西北和东南方向的变异函数。
图4.2.1
空间正方形网格数据（点间距h=1km）
从图4.2.1可以看出，空间上有些点，由于某种原因没 有采集到。如果没有缺失值，可直接对正方形网格数 据结构计算变异函数；在有缺失值的情况下，也可以 计算变异函数。只要“跳过”缺失点位置即可（见图 4.2.2）。
上述三个参数可从变异函数曲线图直接得到， 或通过估计曲线回归参数得到。 第4个参数，即分维数用于表示变异函数的特 性，由变异函数 (h)和间隔距离h之间的关系确 定： ( 4 2 D )
2 (h) h
分维数D为双对数直线回归方程中的斜率，它 是一个无量纲数。分维数D的大小，表示变异 函数曲线的曲率，可以作为随机变异的量度。 但该随机分维数D与形状分维数有本质的不同。
h a 3
（4）高斯模型。其一般公式为：
0 ( h) h2 2 c 0 c(1 e a )
h2
h0 h0
h 3a
式中：c0和c意义与前相同，a也不是变程。当
2
时， e a 1 e 3 0.95 1 ，即 ( 3a) c0 c ，因此高斯模型的 1 变程 a 约为 3a 。当 c0 0, c 1 时，称为标准高斯函数 模型。
=385/72=5.35
同样计算出
(2) 9.26 (3) 17.55
(4) 25.69 (5) 22.90
最后，得到南北方向和西北—东南上的变异 函数计算结果见下表。同样可以计算东西方
向上的变异函数。
方向
h N(h) 1 36 5.35 2 27 9.26
南北
3 21 17.55 4 13 25.69 5 5 22.90
型、线性有基台值模型和纯块金效应模型；
第二类是无基台值模型，包括幂函数模型、线性无基台值模
型、抛物线模型；源自文库
第三类是孔穴效应模型。
下面有代表性地介绍几种常见的变异函数理论模型。
（1）纯块金效应模型。其一般公式为：
0 ( h) c 0 h0 h0
式中：c0>0，为先验方差。该模型相当于区域化 变量为随机分布，样本点间的协方差函数对于 所有距离h均等于0，变量的空间相关不存在。
因此，公式可以改写为
1 ( x, h) E[ Z ( x) Z ( x h)] 2 2
从上式可知，变异函数依赖于两个自变量x和h， ( x仅仅依赖于距离h而与位 , h) 当变异函数 ( x, h) (h) 置x无关时， 可改写成 ，即：
1 (h) E[ Z ( x) Z ( x h)] 2 2
c0 c 。
（8）线性无基台值模型。其一般公式为
( h)
c0 Ah h0 h0
从式中可以看出，该模型没有基台值，也没有变程。
例如，某地区降水量是一个区域化变量，其变异
函数 (h)的实测值及距离h的关系见下表，下面我们
试用回归分析方法建立其球状变异函数模型。
(4)|h|→∞时， (h) →c(0)，或 ()=c(0)，即当空间 距离增大时，变异函数接近先验方差
1 N c(0) [ Z ( x i )] 2 m 2 N (h) i 1
变异函数的计算公式
• 设 Z (x) 是系统某属性Z在空间位置x处的值， Z (x) 为一区域化随机变量，并满足二阶平稳假设， h为两样本点空间分隔距离， • Z ( x ) 和 Z ( xi h)分别是区域化变量 Z (x) 在 空 间 位 置 x i 和 xi h 处的实测值 [i=1,2,…,N(h)]，那么，变异函数 (h) 的离散 计算公式为
(h) A lg h
显然，当 h 0, log h ，这与变异函数的 性质不符。因此，对数模型不能描述点支撑上 的区域化变量的结构。
（7）线性有基台值模型。其一般公式为：
h0 c0 ( h) Ah 0 h a c c ha 0
式中该模型的变程为a，基台值为
1 ( x, h) Var[ Z ( x) Z ( x h)] 2
1 1 2 E[ Z ( x) Z ( x h)] {E[ Z ( x)] E[ Z ( x h)]}2 2 2
在二阶平稳假设条件下，对任意的h有
E[Z ( x h)] E[Z ( x)]