基于重分析技术的连续体结构拓扑优化设计

Topology Optimization of Structures Based on Reanalysis technique
Abstract: Solid isotropic material with penalization (SIMP) is commonly used in topology optimization of structures. With the increasing complexity and scale of the structures, the topology optimization cannot work out quickly due to the computational cost of complete analysis in each iteration step within the optimization process. To speed up the computational efficiency, a topology optimization method based on reanalysis technique is proposed. The complete analysis is replaced by reanalysis within the topology optimization process, greatly minimizing the computational cost for optimization process. In order to demonstrate the validity and efficiency of the presented method, the MBB-beam and a cantilever beam with two load-cases are implemented successfully. Finally, the numerical experiments validates that the efficiency of the topology optimization method based on reanalysis technique is significantly improved and the accuracy of the topology optimization results is also promised. Key words: Topology Optimization, Reanalysis, SIMP, Combined Approximants
new xe max( xmin , xe m)if xe B e max( xmin , xe m) new xe xe Be if max( xmin , xe m) xe Be min(1, xe m) xnew min(1, x m)if min(1, x m) x B e e e e e
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CA 法
Kirsch 提出 的 CA [6-8] 法兼具 良好的 通用性 和很高的计 算精度 ，应用 较为广泛 。已知 初始 结构的刚度 矩阵 K 0 和 载荷向量 R 0 ，则可 根据 平衡方程（ 8 ）求解 初始结 构的位 移向量 r 0 。
Κ 0r0
计算得到修 改后结 构的位 移向量 r 。 根据上述计 算步骤 ，将 直接 求解线 性方程 组 Kr = R 变换为求解 缩减方程 组 (16) 。由 于缩 减后的方程 组的规 模远远 小于原方 程组， 因此 可在很大程 度上降 低计算 量，提高 计算效 率。 由于在结构 拓扑优 化的过 程中，需 要反复 迭代求解线 性方程 组（ 10 ） ，利用重 分析计 算取 代完整分析 ，对于 提高整 体计算效 率将具 有很 强的优势。
基于重分析技术的连续体结构拓扑优化设计*
摘要：SIMP 方法是目前连续体结构拓扑优化设计中最常用的方法之一，但随着结构规模的扩大，在每个迭代步中使用 完整分析将严重影响计算效率，限制了拓扑优化方法的应用。为了提高计算效率，缩短产品开发的时间，本文提出了基于重 分析技术的连续体结构拓扑优化算法，充分利用了组合近似法的高精度和高效率的特点，将拓扑优化迭代过程中的完整分析 用重分析来替代，极大减小了迭代优化的计算量。并利用 MBB 梁和多工况下的悬臂梁算例对基于重分析的拓扑优化算法进 行了验证。数值算例结果表明，本文提出的基于重分析技术的拓扑优化算法能够在确保拓扑优化计算精度的同时，计算效率 取得了几十甚至上百倍的加速比。 关键词：拓扑优化,重分析，SIMP，组合近似法
*
国家自然科学基金(10902037)、 国家高技术研究发展计划(863 计划， 2009AA044501)和国家重点基础研究发展计划(973 计划， 2010CB328005)资助项目。
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前言
化分析。在 保证精 度前提 下，将其 求解 效 率大 幅度进行了 提升。
结构优化设 计可以 分为尺 寸优化、 形状优 化和拓扑优 化，分 别对应 于产品设 计流程 中的 详细设计阶 段、 基 本设计阶 段和概 念设计阶 段 。 相对尺寸优 化和形 状优化 ，拓扑优 化具有 更强 的指导意义 和更高 的难度 。 拓扑优 化的实 质是 在给定的载 荷、 边 界条件和 工艺要 求等约束 下， 确定材料在 设计区 域内的 分布情况 ，使得 结构 的性能指标 最佳。 根据结 构拓扑优 化对象 的区 别， 拓扑 优化包括 离散结 构的拓扑 优化 [1,2] 和连 续体结构拓 扑优化 [3,4] 。 典 型的离散 结构拓 扑优 化问题是确 定桁架 结构构 件的最优 节点连 接方 式如节点的 增加和 删除， 而连续体 结构拓 扑优 化主要任务 是确定 板壳和 实体结构 内部孔 洞的 数量、位置 、大小 及形状 等。 目前，主流 的拓扑 优化方法 有均匀 化方法 [3] 、 变 密 度 法 [4] 、 渐 进 结 构 优 化 方 法 [5] 以 及 水 平集 方 法 [6] 等。 在 变密 度 法中 ， 通 过引 入 中间 连续型材料密度单元和中间惩罚项，由 Sigmundt 和 Bendsoe 提出 固体各向 同性材 料惩 罚 模 型 （ Solid Isotropic Material with Penalization, SIMP ） [4] 在 拓扑优 化领 域得 到了 极为广泛的 应用， 是目前实 际应用 最多的方 法。 在利用 SIMP 方法 进行连 续体结构 拓扑优 化设 计程中，如 何避免 对优化 过程中的 结构进 行完 整分析，减 少结构 优化分 析的计算 量，具 有非 常重要的意 义。 由于在拓扑 优化迭 代过程 中， 后续 迭代步 通常只对结 构上一 迭代步 结果的局 部单元 进行 修改，可以 利用近 似重分 析方法来 提高结 构拓 扑优化设计 的效率 ，从而 缩短整个 产品设 计流 程的时间。 目前重 分析研 究领域的 近似方 法主 要包括全局 近似法 、局部 近似法 和 组合近 似法 (Combined Approximation, CA) 。 由于 Kirsh 提 出 的 CA 法 [7-9] 同 时 具 有 局 部 近 似 法 的 高 效 率 和全局近似 法的高 质量， 在保证精 度的前 提下 能够大幅度 提升计 算效率 ，近年来 得到了 广泛 研究和应用 [10-12] 。 为了加快连 续体结 构的拓 扑优化过 程 ，提 出了基于重 分析技 术的连 续体结构 拓扑优 化方 法。通过采 用广泛 应用的 SIMP 方 法建立 了拓 扑优化模型 ，借助 重分析 方法的优 势，研 究了 如何利用重 分析方 法来提 高结构拓 扑优化 计算 效率。为 了验证 本算法的 有效性 ，本文 采 MBB 梁和多工况 的 Cantilever 梁分别进 行了拓 扑优
（ 3）
式（ 3 ） 中 m 代表 单元相对 密度更 新的限 制阀值， η 为阻尼 系数且有
c xe Be V xe
（ 4）
式（ 4 ）中 λ 为根据 二分法求 得的拉 格朗日 乘子。目标 函数的 灵敏度 可由式（ 5 ）求解 。 c p(xe ) p 1 uT （ 5） e k 0ue xe 式（ 5 ）中 u e , k 0 分 别代表单 元的位 移向量 和刚度矩阵 。 拓扑优化中 通常存 在数值 不稳定性 ，为消 除拓扑优化 过程的 网格依 赖性，引 入灵敏 度过 滤如式（ 6 ）所示。
r1
1 = K0 R
（ 12 ）
接着由式 (13) 求 取第 i 个基向 量 r i
ri
1 K 0 Kri 1 Bri 1 , i 2,3 n （ 13 ）
基向量矩 阵 r B 可 由式 (14) 求解 得到。
rB {r1 , r2
rn }
（ 14 ）
利用 r B 将新 结构的 刚度矩 阵 K 和载 荷向量 R 按式 (15) 进行 缩减计算 。
i x e 0
E பைடு நூலகம்(xe ) p E0
（ 1）
式（ 1 ） 中 x e 为离 散单元 的相对 密度， ρ 0 与 ρ 1 分 别表示单 元初始 及优化后 的密度。于是 基于 SIMP 方法以 结构最 小柔度为 目标的 结构 拓扑优化模 型如式 （ 2 ）所 示。
min :c(x) UT KU (xe ) p uT e k 0u e
x e 1 N
subject to :V (x)=fV0 F KU
x v
e 1 e e
N
（ 2）
0 xmin x xmax 1
式（ 2 ）中 c 代表 结构的 总柔度值 ，K 为结 构整体刚度 矩阵，F 和 U 分别为力 矢量和 节点 位移向量，V 0 和 V( x ) 分别表示结构 初始及 优化 后的体积 ，f 为 优化前 后的体积 比 ，N 为离 散后 的单元数目 ， u e , k 0 分别代 表单元的 位移向 量和 刚度矩阵， x mi n 和 x max 分 别是单元 相对密 度的 最小极限值 和最大 极限值 。 为避免 单元删 除后 造成的奇异 性，x mi n 一般 取值为 0.001 。式（ 2 ） 可以利用优 化准则 法或数 学规划法 等优化 算法 进行求解。 以优化 准则法 更新设计 变量可 用式 （ 3 ）表示 。
（ 16 ）
计算得 到缩 减方程 组的 解 向 量 y 。最 后根 据式 (17)
H f rmin dist (e, f ), e 1,
,N
f N | dist(e, f ) r
min
（ 7）
r = rB y
（ 17 ）
dist ( e,f ) 表示当前 单 元 e 与其 相邻单 元 f 中 心间的距离 ， 超出 过滤半径 的卷积 算子值为 零。
KR
T T rB KrB , R R rB R
c xe
1 xe H f
f 1 N
Hf xf
f 1
N
c x f
（ 15 ）
（ 6）
计算后得到 缩减后 的刚度 矩阵 K R 和向 量 R R 。 按式 (16) 中的缩 减方程 求解。
K Ry RR
式（ 6）通 过 修 改与 其 相邻 单 元 的 灵 敏度 加权来修改其敏度。其卷积算子 H f 可用下式 计算。
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SIMP 方法
SIMP 方法 是结构拓 扑优化 中应用 最广 的 一种方法， 通过在 材料模 型中人为 引入一 种假 想的密度连 续可变 的材料 及惩罚因 子 p 。 其中 材料的弹性 模量是 各向同 性的 ，弹 性模量 随密 度 ρ 变化而变化， 泊松比 是与密度 ρ 无关 的常 量。在 SIMP 模型 中，离 散单元的 内部材 料属 性为常数且 单元材 料属性 与单元相 对密度 呈指 数关系。