嫦娥三号
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（1）建立动力学模型。
（2）建立最优控制模型。
设计主减速段制导控制律（采用燃料最优制导律）针对主减速阶段，卫星主发动机运作进行减速，整个阶段卫星进行抛物体运动，并在此阶段内实现速度从1.7千米/秒降到0米/秒。1主减速模式，卫星主发动机运作进行减速，整个阶段卫星进行抛物体运动设计快速调整段制导律（采用重力转弯制导）设计粗避障段制导律（参考火星动力下降段制导律，可采用D’Souza 制导，或多项式制导， 将平坦区域作为目标着陆点，从而避开岩石）分析星下光学敏感成像图片，启动姿态调整发动机进行水平位移，粗步避开大陨石坑，并进行减速运动，在末阶段实现卫星悬停于目标位置上方。同设计精避障段制导律（参考火星动力下降段制导律，可采用D’Souza 制导，或多项式制导， 将平坦区域作为目标着陆点，从而避开岩石）分析高分辨率三维成像启动姿态调整发动机进行水平位移，精细避开月面障碍物，主发动机产生恰好抵消自身重力的推力，维持稳定下降，经过调整，实现水平速度为0米/秒
根据上述的基本要求，建立数学模型解决下面的问题：
（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
（3）对于设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和误差分析。
二、模型假设
（1）假设嫦娥三号的软着陆不受月球自转影响；
（2）假设嫦娥三号水平调位耗能极低可约为零；
（3）月球、日地引力摄动等因素均可忽略不计；
（4）忽略除地球以外的其他因素对飞船运动的影响。
三、符号说明
符号
符号说明
嫦娥三号在A点的机械能
嫦娥三号在B点的机械能
近月点到月心的距离
远月点到月心的距离
嫦娥三号经过近月点的速度
G
月球引力常量
M
月球质量
m
嫦娥三号探测器质量
取共轭变量为:
构造哈密顿函数如下：
. (3)
其中 、 和 是控制变量，燃耗最优就是要找出一组容许的控制，使探测器着陆时剩余质量最大。根据极大值原理，使 最大就是使 最大。由 的表达式
可以取开关函数为：
（4）
设 和 取值范围不受限，可得极值条件 （5）
因此，由（4）（5）可以得到最优控制率如下：
其中：
其中，图（1）（3）（5）分别表示在月固坐标系中探测器的速度变化，图（2）（4）（6）为软着陆最优控制律，从中可知燃料最优轨道一条始终制动的轨道并在制动期间以最大推力进行工作。推力方向角变化平缓符合工程实际。从图可以看出，软着陆开始后探测器的高度是单调下降的，542.3s后，从距离月面14.88km高度将至月面。在此期间，质量随发动机工作不断减少，软着陆后探测器质量为312.087kg，最终登月点为北纬 西经 距预定着陆点1.627km
针对问题二:为保证嫦娥三号探测器能够安全、可靠的实现软着陆这一过程，我们建立动力学模型，为实现燃料最优软着陆，建立燃料最优控制模型，其中在软着陆最后阶段，嫦娥三号关闭发动机，卫星进行初速度为0米/秒的自由落体运动
针对问题三:在整个运动过程中忽略了月球自传对卫星着陆的影响，与此同时卫星四周的姿态调整发动机在姿态调整过程中也有耗能，从而导致误差产生。对嫦娥三号运行参数，消耗比，t/W,运动时间等进行误差分析，敏感性分析。
四、问题理解与模型分析
1、确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
（1）用能量守恒法计算出近月点及远月点的速度。
（2）先大致估计月球着陆经过的水平路程，并根据给定的预定软着陆位置及运行轨道用线性约束求出水平路程、时间、速度角度等。
2、确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。在满足每个阶段在关键点所处的状态的前提下；尽量减少软着陆过程的燃料消耗，可以看做一个针对燃料节省的最优化问题。
在A，B两点分别取极短的相等时间 ，则嫦娥三号与月球在这两段时间内扫过的面积分别为 ， ，根据开普勒第二定律 ：
,
代入得：
。
嫦娥三号运动的总机械等于其动能和引力势能之和，故当嫦娥三号分别经过A，B两点时的机械能为:
， ，
由于嫦娥三号在运动过程中只受万有引力作用，所以遵循机械能守恒定律，并结椭圆中 可得:
3、对于设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
（1）误差主要包括：推进剂比冲误差、发动机推力误差等主要误差及月球自转对卫星着陆的影响。
（2）可在这些参数标称值的基础上加上或减去10%的偏差，画出轨迹，分析着陆轨迹对这些参数的敏感性。
五、模型的建立与求解
5.1、问题一的模型建立
5.1.1模型准备
关键词逆推法动力学模型pontryagin极大值原理 优化模型MATLAB
一、问题重述
嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。
软着陆最优轨道的初始条件和终端条件可表示如下：
其中的 分别表示预定着陆点在月固坐标系中的位置。
设探测器初始质量为 ；制动发动机最大推力2000N；比冲 =300*9.8m/s；初始速度 =1115m/s =-981.8m/s =816m/s；月球自转角速度 =2.6617*10E-6rad/s
月球引力常量 ，近月点距月心距离 =1753km，月球半径 =1738km，登月点选择月面上的雨海，位置是北纬 ，西经
1、动力学模型
月球软着陆过程中，探测器在距月球100km的环月停泊轨道，然后根据所选定的着陆位置，在合适的时间给着陆器一个有限的脉冲，使得着陆器转入仅约点为 15km，远月点为100km的月球椭圆轨道，这一阶段称为霍曼转移段。当着陆器运行到近月点时，制动发动机开始工作，其主要任务是抵消着陆器的初始动能和势能，使得着陆器接近地面时，相对月面速度为零，及实现所谓的软着陆，这一阶段成为动力下降段，着陆器的大部分燃料都是消耗在此阶段。
指向着陆器的开始运动方向。
其动力学 方程如下：
根据动力下降段的起点位置可以确定动力学方程的初始条件，由于起点位于霍曼转移轨道的近地点，从而其初始条件可如下：
终点条件为实现软着陆，即：
其中R为月球半径，终端条件中对终端极角 及终端时间 无约束。
优化变量为制动发动机推力方向角 ，
优化的性能指标为在满足上述初始条件和终端条件的基础下，使得软着陆过程中燃料消耗最少，即实现燃料最优软着陆。
近月点的位置为（19.51W 28.32N15km）
远月点的位置为（160.49E 28.32S100km）
5.2、针对问题二的模型建立
5.2.1模型准备
月球表面坏境陨石坑会给着陆器安全着陆打了不可预见的危险，为保证嫦娥三号探测器能够安全、可靠的实现软着陆这一过程，嫦娥三号在国际上首次提出了一种接力避障模式将避障过程分为 4 个任务段： 接近段、悬停段、避障段和缓速下降段， 分别实现粗避障、高精度三维成像、精避障和着陆位置保持功能， 形成了大范围粗避障、小范围精避障和着陆位置保持的接力避障过程。
2、燃料最优 即软着陆结束后，探测器剩余质量最大，设t为软着陆结束时刻，应用pontryagin极大值原理，取终端性能指标为： (1)
取系统状态方程变量为： ， ， 和 为探测器在
月固坐标系中的坐标。则系统状态方程可表示如下 ： （2）
其中 ， 和 为 的三个分量， 为月球自转角速度，
令 ，式（2）可以表示成：
.
最后求得近月点和远月点的速度分别如下：
， ，
其两者方向均沿切线方向。
5.1.3线性约束法与逆推法
嫦娥三号在着陆准备轨道上携带大量燃料的运行质量为2.4t，根据资料显示在完成主减速运动其重量将锐减1.5吨。后其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其产生的加速度在0.652m^2/s到8.33m^2/s左右，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m，与此同时，通过计算得出嫦娥三号在近月点速度为1673米/秒，已知月球加速度为g/6。
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
摘要
嫦娥三号成功实现软着陆已成为外界所关注的焦点，嫦娥三号从绕月圆轨道进入着陆预备轨道后，需要经过主减速，快速调整，粗避障，精避障，缓速下降，自由落体六个阶段来完成卫星软着陆。在高速飞行的情况下，为保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，需要对着陆轨道与控制策略进行设计，在嫦娥三号的着陆过程中还要考虑到燃料的消耗问题。为解决此类问题，我们建立了数学模型。
分析：远月点与近月点在同一轨道面两侧，故可以用近月点推出远月点位置；由于近月点与预着陆点的水平距离就是卫星主减速抛物体运动阶段的水平位移，抛物体运动轨迹在轨道面内，故可以用着陆点位置推出近月点位置。
根据惯性坐标系 （图1），原点在月心，参考平面是月球赤道面，以月球的0W为y轴，以0N为x轴，
在近日点离坐标原点15000米做主减速，水平速度由原来的1.7公里/S,减速到0m/s，垂直速度由原来的0m/s 加速到57 m/s
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
下图为最优软着陆曲线：
1500
1000
500
0
0 200 400 600
1600
1500
1400
0 200 400 600
0
-500
-1000
0 200 400 600
-60
-70
-80
-90
0 200 400 600
-60
-70
-80
-90
0 200 400 600
0
-20
-40
0 200 400 600
图2:月固坐标系
月固坐标系（右手坐标系）是以月球赤道面为参考平面，其中 指向月球赤道面与起始子午面的交线方向， 指向月球自转轴方向。
5.1.2能量守恒定律
设A，B分别为嫦娥三号运动的近月点和远月点， 和 分别表示嫦娥三号经过这两点的速度，由于速度沿轨迹的切线方向，可知与轨迹形成椭圆长轴垂直，且A，B两点距月心的距离分别为：
忽略嫦娥三号运动过程中出月球引力外的其他影响因素，假设：从近月点开始到3000米水平位置，主发动机所产生加速度y恒定，其作用方向与水平位置的方向的夹角m,x=sin(m)恒定，z为主减速时间
列式：
；
；
；
；
=n ；
近月点与预软着陆点的水平距离
结果为357.939km。
已知嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m，(44.12N, 19.51W，384400km)。带入求得：
嫦娥三号探测器在近月点（高度15km）开始软着陆，进入动力下降阶段，当距离月面大约2km的时候其水平速度变为零，经姿态调整之后，探测器垂直降落至月面。为此，建立起以下两个坐标系：惯性坐标系和月固坐标体系(图1和图2) ，以方便解决问题。
图1:惯性坐标系
惯性坐标系是以月心为原点、以月球赤道面为参考面，其中 轴指向月球赤道相对于白道的升交点， 轴指向月球自转方向， 轴由右手坐标系决定。且x轴、y轴的方向都指向纬数增大的方向。
月球表面附件没有大气，所以在飞行器的动力学模型中没有大气阻力项。并且，从近地点（15km左右）到完成软着陆的时间比较短，大概为几百秒范围内，从而可以忽略诸如月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素均可忽略不计，从而，这一过程可以在二体模型下描述。如图1所示：
图3：月球软着陆及坐标系
其中，原点O为月心，o-y指向动力下降段的开始制动点，o-x
针对问题一：通过能量守恒定律可以求出卫星在月球近月点的速度为1.673千米/秒在远月点的速度为1.633千米/秒，其运行方向顺着其运行轨道运动。以月球中心做圆心建立三维坐标，根据材料给出的预定着陆点位置根据材料给出的预定着陆点位置通过线性约束，求出近月点与预着陆点水平距离为357.939千米，结合物理知识逆推出卫星近月点的位置（19.51E 28.32S 15km），并根据已求出的近月点坐标得出远月点坐标（160.49E 28.32S 100km）。
（2）建立最优控制模型。
设计主减速段制导控制律（采用燃料最优制导律）针对主减速阶段，卫星主发动机运作进行减速，整个阶段卫星进行抛物体运动，并在此阶段内实现速度从1.7千米/秒降到0米/秒。1主减速模式，卫星主发动机运作进行减速，整个阶段卫星进行抛物体运动设计快速调整段制导律（采用重力转弯制导）设计粗避障段制导律（参考火星动力下降段制导律，可采用D’Souza 制导，或多项式制导， 将平坦区域作为目标着陆点，从而避开岩石）分析星下光学敏感成像图片，启动姿态调整发动机进行水平位移，粗步避开大陨石坑，并进行减速运动，在末阶段实现卫星悬停于目标位置上方。同设计精避障段制导律（参考火星动力下降段制导律，可采用D’Souza 制导，或多项式制导， 将平坦区域作为目标着陆点，从而避开岩石）分析高分辨率三维成像启动姿态调整发动机进行水平位移，精细避开月面障碍物，主发动机产生恰好抵消自身重力的推力，维持稳定下降，经过调整，实现水平速度为0米/秒
根据上述的基本要求，建立数学模型解决下面的问题：
（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
（3）对于设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和误差分析。
二、模型假设
（1）假设嫦娥三号的软着陆不受月球自转影响；
（2）假设嫦娥三号水平调位耗能极低可约为零；
（3）月球、日地引力摄动等因素均可忽略不计；
（4）忽略除地球以外的其他因素对飞船运动的影响。
三、符号说明
符号
符号说明
嫦娥三号在A点的机械能
嫦娥三号在B点的机械能
近月点到月心的距离
远月点到月心的距离
嫦娥三号经过近月点的速度
G
月球引力常量
M
月球质量
m
嫦娥三号探测器质量
取共轭变量为:
构造哈密顿函数如下：
. (3)
其中 、 和 是控制变量，燃耗最优就是要找出一组容许的控制，使探测器着陆时剩余质量最大。根据极大值原理，使 最大就是使 最大。由 的表达式
可以取开关函数为：
（4）
设 和 取值范围不受限，可得极值条件 （5）
因此，由（4）（5）可以得到最优控制率如下：
其中：
其中，图（1）（3）（5）分别表示在月固坐标系中探测器的速度变化，图（2）（4）（6）为软着陆最优控制律，从中可知燃料最优轨道一条始终制动的轨道并在制动期间以最大推力进行工作。推力方向角变化平缓符合工程实际。从图可以看出，软着陆开始后探测器的高度是单调下降的，542.3s后，从距离月面14.88km高度将至月面。在此期间，质量随发动机工作不断减少，软着陆后探测器质量为312.087kg，最终登月点为北纬 西经 距预定着陆点1.627km
针对问题二:为保证嫦娥三号探测器能够安全、可靠的实现软着陆这一过程，我们建立动力学模型，为实现燃料最优软着陆，建立燃料最优控制模型，其中在软着陆最后阶段，嫦娥三号关闭发动机，卫星进行初速度为0米/秒的自由落体运动
针对问题三:在整个运动过程中忽略了月球自传对卫星着陆的影响，与此同时卫星四周的姿态调整发动机在姿态调整过程中也有耗能，从而导致误差产生。对嫦娥三号运行参数，消耗比，t/W,运动时间等进行误差分析，敏感性分析。
四、问题理解与模型分析
1、确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
（1）用能量守恒法计算出近月点及远月点的速度。
（2）先大致估计月球着陆经过的水平路程，并根据给定的预定软着陆位置及运行轨道用线性约束求出水平路程、时间、速度角度等。
2、确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。在满足每个阶段在关键点所处的状态的前提下；尽量减少软着陆过程的燃料消耗，可以看做一个针对燃料节省的最优化问题。
在A，B两点分别取极短的相等时间 ，则嫦娥三号与月球在这两段时间内扫过的面积分别为 ， ，根据开普勒第二定律 ：
,
代入得：
。
嫦娥三号运动的总机械等于其动能和引力势能之和，故当嫦娥三号分别经过A，B两点时的机械能为:
， ，
由于嫦娥三号在运动过程中只受万有引力作用，所以遵循机械能守恒定律，并结椭圆中 可得:
3、对于设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
（1）误差主要包括：推进剂比冲误差、发动机推力误差等主要误差及月球自转对卫星着陆的影响。
（2）可在这些参数标称值的基础上加上或减去10%的偏差，画出轨迹，分析着陆轨迹对这些参数的敏感性。
五、模型的建立与求解
5.1、问题一的模型建立
5.1.1模型准备
关键词逆推法动力学模型pontryagin极大值原理 优化模型MATLAB
一、问题重述
嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。
软着陆最优轨道的初始条件和终端条件可表示如下：
其中的 分别表示预定着陆点在月固坐标系中的位置。
设探测器初始质量为 ；制动发动机最大推力2000N；比冲 =300*9.8m/s；初始速度 =1115m/s =-981.8m/s =816m/s；月球自转角速度 =2.6617*10E-6rad/s
月球引力常量 ，近月点距月心距离 =1753km，月球半径 =1738km，登月点选择月面上的雨海，位置是北纬 ，西经
1、动力学模型
月球软着陆过程中，探测器在距月球100km的环月停泊轨道，然后根据所选定的着陆位置，在合适的时间给着陆器一个有限的脉冲，使得着陆器转入仅约点为 15km，远月点为100km的月球椭圆轨道，这一阶段称为霍曼转移段。当着陆器运行到近月点时，制动发动机开始工作，其主要任务是抵消着陆器的初始动能和势能，使得着陆器接近地面时，相对月面速度为零，及实现所谓的软着陆，这一阶段成为动力下降段，着陆器的大部分燃料都是消耗在此阶段。
指向着陆器的开始运动方向。
其动力学 方程如下：
根据动力下降段的起点位置可以确定动力学方程的初始条件，由于起点位于霍曼转移轨道的近地点，从而其初始条件可如下：
终点条件为实现软着陆，即：
其中R为月球半径，终端条件中对终端极角 及终端时间 无约束。
优化变量为制动发动机推力方向角 ，
优化的性能指标为在满足上述初始条件和终端条件的基础下，使得软着陆过程中燃料消耗最少，即实现燃料最优软着陆。
近月点的位置为（19.51W 28.32N15km）
远月点的位置为（160.49E 28.32S100km）
5.2、针对问题二的模型建立
5.2.1模型准备
月球表面坏境陨石坑会给着陆器安全着陆打了不可预见的危险，为保证嫦娥三号探测器能够安全、可靠的实现软着陆这一过程，嫦娥三号在国际上首次提出了一种接力避障模式将避障过程分为 4 个任务段： 接近段、悬停段、避障段和缓速下降段， 分别实现粗避障、高精度三维成像、精避障和着陆位置保持功能， 形成了大范围粗避障、小范围精避障和着陆位置保持的接力避障过程。
2、燃料最优 即软着陆结束后，探测器剩余质量最大，设t为软着陆结束时刻，应用pontryagin极大值原理，取终端性能指标为： (1)
取系统状态方程变量为： ， ， 和 为探测器在
月固坐标系中的坐标。则系统状态方程可表示如下 ： （2）
其中 ， 和 为 的三个分量， 为月球自转角速度，
令 ，式（2）可以表示成：
.
最后求得近月点和远月点的速度分别如下：
， ，
其两者方向均沿切线方向。
5.1.3线性约束法与逆推法
嫦娥三号在着陆准备轨道上携带大量燃料的运行质量为2.4t，根据资料显示在完成主减速运动其重量将锐减1.5吨。后其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其产生的加速度在0.652m^2/s到8.33m^2/s左右，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m，与此同时，通过计算得出嫦娥三号在近月点速度为1673米/秒，已知月球加速度为g/6。
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
摘要
嫦娥三号成功实现软着陆已成为外界所关注的焦点，嫦娥三号从绕月圆轨道进入着陆预备轨道后，需要经过主减速，快速调整，粗避障，精避障，缓速下降，自由落体六个阶段来完成卫星软着陆。在高速飞行的情况下，为保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，需要对着陆轨道与控制策略进行设计，在嫦娥三号的着陆过程中还要考虑到燃料的消耗问题。为解决此类问题，我们建立了数学模型。
分析：远月点与近月点在同一轨道面两侧，故可以用近月点推出远月点位置；由于近月点与预着陆点的水平距离就是卫星主减速抛物体运动阶段的水平位移，抛物体运动轨迹在轨道面内，故可以用着陆点位置推出近月点位置。
根据惯性坐标系 （图1），原点在月心，参考平面是月球赤道面，以月球的0W为y轴，以0N为x轴，
在近日点离坐标原点15000米做主减速，水平速度由原来的1.7公里/S,减速到0m/s，垂直速度由原来的0m/s 加速到57 m/s
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
下图为最优软着陆曲线：
1500
1000
500
0
0 200 400 600
1600
1500
1400
0 200 400 600
0
-500
-1000
0 200 400 600
-60
-70
-80
-90
0 200 400 600
-60
-70
-80
-90
0 200 400 600
0
-20
-40
0 200 400 600
图2:月固坐标系
月固坐标系（右手坐标系）是以月球赤道面为参考平面，其中 指向月球赤道面与起始子午面的交线方向， 指向月球自转轴方向。
5.1.2能量守恒定律
设A，B分别为嫦娥三号运动的近月点和远月点， 和 分别表示嫦娥三号经过这两点的速度，由于速度沿轨迹的切线方向，可知与轨迹形成椭圆长轴垂直，且A，B两点距月心的距离分别为：
忽略嫦娥三号运动过程中出月球引力外的其他影响因素，假设：从近月点开始到3000米水平位置，主发动机所产生加速度y恒定，其作用方向与水平位置的方向的夹角m,x=sin(m)恒定，z为主减速时间
列式：
；
；
；
；
=n ；
近月点与预软着陆点的水平距离
结果为357.939km。
已知嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m，(44.12N, 19.51W，384400km)。带入求得：
嫦娥三号探测器在近月点（高度15km）开始软着陆，进入动力下降阶段，当距离月面大约2km的时候其水平速度变为零，经姿态调整之后，探测器垂直降落至月面。为此，建立起以下两个坐标系：惯性坐标系和月固坐标体系(图1和图2) ，以方便解决问题。
图1:惯性坐标系
惯性坐标系是以月心为原点、以月球赤道面为参考面，其中 轴指向月球赤道相对于白道的升交点， 轴指向月球自转方向， 轴由右手坐标系决定。且x轴、y轴的方向都指向纬数增大的方向。
月球表面附件没有大气，所以在飞行器的动力学模型中没有大气阻力项。并且，从近地点（15km左右）到完成软着陆的时间比较短，大概为几百秒范围内，从而可以忽略诸如月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素均可忽略不计，从而，这一过程可以在二体模型下描述。如图1所示：
图3：月球软着陆及坐标系
其中，原点O为月心，o-y指向动力下降段的开始制动点，o-x
针对问题一：通过能量守恒定律可以求出卫星在月球近月点的速度为1.673千米/秒在远月点的速度为1.633千米/秒，其运行方向顺着其运行轨道运动。以月球中心做圆心建立三维坐标，根据材料给出的预定着陆点位置根据材料给出的预定着陆点位置通过线性约束，求出近月点与预着陆点水平距离为357.939千米，结合物理知识逆推出卫星近月点的位置（19.51E 28.32S 15km），并根据已求出的近月点坐标得出远月点坐标（160.49E 28.32S 100km）。