简单的三角恒等变换(共41张PPT)

二、必明 2●个易误点 1．实施简单的三角恒等变换首先要准确记忆相关的三角公 式．由于本章三角公式多，记错、记混三角公式是屡见不鲜的． 2．凡是涉及“开平方”的问题，必须注意符号的选取，而 符号的选取最终取决于角的范围．如果不能确定，则要进行分类 讨论，防止丢解．
考向一 化简与求值问题[自主练透型] 1 4 2 2cos x－2cos x＋2 1 cos 2x ； [例 1] (1)化简： ＝ ________ 2 π 2 π 2tan4－xsin 4＋x π (2)(2017· 河南商丘一模)已知 α∈0，2，且 2sin2α－sin α· cos π sinα＋4 26 α－3cos2α＝0，则 ＝________. 8 sin 2α＋cos 2α＋1
1 解析：因为 tan α＝－3，因为 2sin2α＋sin 2α π 10 － 2 <α<0 ， 所 以 sin α ＝ － 10 ， 则 π ＝ cosα－4 2sin αsin α＋cos α 2 2 cos α＋sin α 2 5 10 ＝2 2sin a＝2 2×－ ＝－ 5 . 10 答案：A
π 3 cos4－x＝5，所以
1 α 2．已知 cos α＝3，α∈(π，2π)，则 cos 2等于( 6 6 3 3 A. 3 B．－ 3 C. 3 D．－ 3 α π 解析：∵2∈(2，π)， 1＋cos α 2 6 α ∴cos 2＝－ ＝－ 3＝－ 3 . 2 答案：B
)
—[悟· 技法]— 三角函数求值的 3 类求法 (1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外 一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具 有某种关系． (2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面 上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系， 解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消 除非特殊角的三角函数而得解． (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的 某一函数值，再求角的范围，最后确定角．
π (2)∵α∈0，2， 且
2sin2α－sin α· cos α－3cos2α＝0， 则(2sin α
－3cos α)· (sin α＋cos α)＝0，∴2sin α＝3cos α， 又 sin2α＋cos2α＝1， 2 3 ∴cos α＝ ，sin α＝ ， 13 13 π 2 sin α＋4 2 sin α＋cos α 26 ∴ ＝ ＝ 8 . sin 2α＋cos 2α＋1 sin α＋cos α2＋cos2α－sin2α
解析：sin 15° － 3cos 15° ＝2sin(15° －60° ) ＝－2sin 45° ＝－ 2. 答案：－ 2
2sin 2－1 π 6．若 f(x)＝2tan x－ x x，则 f(12)的值为________． sin 2cos2
2x
1－2sin 2 解析：∵f(x)＝2tan x＋ 1 2sin x 2cos x 2 4 ＝2tan x＋ sin x ＝sin xcos x＝sin 2x， π 4 ∴f 12 ＝ π＝8. sin6 答案：8
sin 2θ 3．若 tan θ＝ 3，则 ＝( 1＋cos 2θ A. 3 B．－ 3 3 3 C. 3 D．－ 3
)
sin 2θ 2sin θcos θ 解析： ＝ ＝tan θ＝ 3. 1＋cos 2θ 1＋2cos2θ－1 答案：A
cos 40° 4．化简： ＝( cos 25° 1－sin 40° A．1 B. 3 C. 2 D．2
[小题热身] 1．已知 18 A.25
π 3 cos4－x＝5，则
sin 2x＝(
)
7 B.25
7 16 C．－25 D．－25
π π 3 解析：因为 cos 4cos x＋sin4sin x＝5， 3 18 7 则 sin x＋cos x＝5 2， 所以 1＋2sin x· cos x＝25， 即 sin 2x＝－25. 故选 C. 答案：C
θ θ sin －cos θ· 2 2
考向二 三角函数求值[互动讲练型] 5π 3 π [例 2] 已知函数 f(x)＝Asinx＋4，x∈R，且 f12＝2. (1)求 A 的值； 3 π 3 (2)若 f(θ)＋f(－θ)＝2，θ∈0，2，求 f4π－θ.
π 3 ＝ 3×2cos θsin 4＝ 6cos θ＝2. π 6 10 2 0 ， ∴cos θ＝ 4 且 θ∈ 2，∴sin θ＝ 1－cos θ＝ 4 . 3π 3π π 30 f 4 －θ ＝ 3sin 4 －θ＋4 ＝ 3sin θ＝ 4 .
π tan α＋1 1 tanα＋4＝ ＝ ，所以 1－tan α 2
π π 4．已知 2tan αsin α＝3，－2<α<0， 则 cosα－6的值是( ) 2 1 A．0 B. 2 C．1 D.2 2sin2α 解析：由 2tan αsin α＝3，得 cos α ＝3，即 2cos2α＋3cos α－ 1 2＝0，∴cos α＝2或 cos α＝－2(舍去)． π 3 ∵－2<α<0，∴sin α＝－ 2 ， π π π ∴cos α－6 ＝cos αcos6＋sin αsin6＝0，故选 A. 答案：A
—[通· 一类]— 3 ． (2017· 湖北省教学合作联考 ) 已知 2sin2α＋sin 2α <α<0，则 ) π ＝( cosα－4 2 5 3 5 A．－ 5 B．－ 10 3 10 2 5 C．－ 10 D. 5
π 1 π tan α＋4 ＝ 2 ，且－2
2．半角公式 1－cosα α sin2＝± 2 1＋cosα α cos2＝± 2 1－cosα 1－cosα sinα α tan2＝± ＝ ＝ sinα 1＋cosα 1＋cosα α 其符号由2所在的象限决定．
3．辅助角公式 asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)， b a 其中 sinφ＝ 2 2，cosφ＝ 2 2. a ＋b a ＋b
—[悟· 技法]— 求函数周期、最值、单调区间的方法步骤 (1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成 y＝Asin(ωx＋φ)＋t 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋t 的形式． 2π (2)利用公式 T＝ ω (ω＞0)求周期． (3)根据自变量的范围确定 ωx＋φ 的范围，根据相应的正弦 曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式 的特点，也可换元转化为二次函数的最值． (4)根据正、 余弦函数的单调区间列不等式求函数 y＝Asin(ωx ＋φ)＋t 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋t 的单调区间．

2sin αcos α－2cos2α 解析：原式＝ ＝2 2cos α. 2 2 sin α－cos α 答案：2 2cos α
1＋sin θ＋cos 2．化简 (0<θ<π)＝________. 2＋2cos θ θ θ θ θ 2θ 2sin cos ＋2cos · sin －cos 2 2 2 2 2 解析：原式＝ 2θ 4cos 2 θ 2θ 2θ sin －cos －cos · 2 2 cos θ θ 2 ＝cos 2· θ ＝ . θ cos cos 2 2 θ π θ ∵0<θ<π，∴0<2<2，∴cos 2>0，∴原式＝－cos θ. 答案：－cos θ
2x
[知识重温] 一、必记 3●个知识点 1．降幂公式 1－cosα 2α sin 2＝①__________( 用 cosα 表示) 2 1＋cosα 2α cos 2＝②__________( 用 cosα 表示) 2 1－cosα α tan22＝③__________( 1＋cosα 用 cosα 表示)
(2)三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂． (3)三角函数式化简的要求 ①能求出值的应求出值． ②尽量使函数种数最少． ③尽量使项数最少． ④尽量使分母不含三角函数． ⑤尽量使被开方数不含三角函数．
—[通· 一类]— sin 2α－2cos2α 1．化简： π ＝________. sinα－4
(2)由(1)知 f(x)＝ 函数 y＝sin x
π 2sin2x＋4.
π π 的单调递增区间为2kπ－2，2kπ＋2
(k∈Z)． π π π 由 2kπ－2≤2x＋4≤2kπ＋2(k∈Z)， 3π π 得 kπ－ 8 ≤x≤kπ＋8(k∈Z)． 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为kπ－ 8 ，kπ＋8(k∈Z)．
—[通· 一类]— 5．已知函数 f(x)＝sin x－sin
2 2
π x－ ，x∈R. 6
(1)求 f(x)的最小正周期； π π (2)求 f(x)在区间－3，4上的最大值和最小值．
解析：(1)由已知，有 1－cos 2x f ( x) ＝ － 2
)
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cos220° －sin220° cos 20° ＋sin 20° 解析： 原式＝ ＝ ＝ cos 25° cos 25° cos 20° －sin 20° 2cos 25° cos 25° ＝ 2，故选 C. 答案：C
5．(教材改编)sin 15° － 3cos 15° ＝________.
1 4 2 4cos x － 4cos x＋1 2 [解析] (1)原式＝ π sin4－x 2 π 2× π · cos 4－x cos4－x 2cos2x－12 cos22x ＝ π π ＝ π 4sin4－xcos4－x 2sin2－2x 2 cos 2x 1 ＝2cos 2x＝2 cos 2x.
—[悟· 技法]— 三角式化简与求值的原则方法与要求 (1)三角函数式的化简遵循的三个原则 ①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与 联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式． ②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使 用的公式，常见的有“切化弦”． ③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变 形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
5π 3 π [解析] (1)∵f(x)＝Asinx＋4，且 f12＝2， 5π π 3 ∴Asin12＋4＝2，∴A＝ 3. π 3 (2)∵f(x)＝ 3sin x＋4 ，且 f(θ)＋f(－θ)＝2， π π ∴f(θ)＋f(－θ)＝ 3sinθ＋4＋ 3sin－θ＋4
考向三 研究三角函数的图象与性质 [互动讲练型] [例 3] (2016· 北京卷) 已知函数 f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值； (2)求 f(x)的单调递增区间．
[解析] (1)因为 f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx π ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝ 2sin2ωx＋4， 2π π 所以 f(x)的最小正周期 T＝2ω＝ω. π 依题意，得ω＝π，解得 ω＝1.