小概率事件原理及其应用

收稿日期:2009-12-18.

作者简介:代恩华(1982-),女,山东聊城人,硕士,助教,研究方向:数学教学与研究.

·大学教学·

小概率事件原理及其应用

代恩华

(聊城大学东昌学院,山东聊城252000)

摘　要:小概率事件原理是概率论中实用价值较高、应用范围较广的基本理论,本文对小概率事件原理及其推断方法进行了分析,在这一原理分析的基础上通过几个实例介绍了其在其它生活领域的应用。

关键词:小概率事件;小概率事件原理中图分类号:G 63316

文献标识码:A 文章编号:1006-7353(2010)02-0034-02

在概率论中,我们将发生概率很小(通常不超

过5%)的事件称作小概率事件。日常生活中发生的小概率事件是非常多的,例如2009年10月9日河南安阳一彩民买彩票中了大奖,奖金近316

亿;2009年6月27日,上海闵行区莲花南路一在建13层楼房发生楼体倒塌事故;2008年5月12日,四川发生特大地震等等。这些小概率事件,我们认为几乎是不可能发生的,但往往具有很大的破坏力,因此,小概率事件不容忽视!1小概率事件原理及其推断方法

定理一(贝努力大数定律)　在n 次独立的重复试验中,事件A 发生的次数设为μn ,P 为事件A

发生的概率。则对Π

ε>0,有lim n →∞

P{

μn

n

-P ≥ε}=0或lim n →∞

P{

μn

n

-P ≤ε}=1

根据贝努力大数定理,在大量重复试验中事件出现的频率接近于概率。假设事件A 发生的概率为01001,则在1000次试验中,事件A 发生的次数大体为1次。因此,我们可以认为概率很小的事件在一次试验中实际上是不大可能出现,这就是小概率事件原理。它是统计假设检验中拒绝还是接受原假设的依据,也是人们在实践中总

结出来而被广泛应用的一个原理。

小概率事件原理的推断方法是概率性质的反证法,指的是人们首先根据问题提出假设,然后根据一次实验的结果进行计算,最后按照一定的概率标准作出鉴别。若小概率事件出现了,则拒绝假设;若小概率事件没发生,则不拒绝假设。2小概率事件原理的应用

我们分析小概率事件是为了更好的利用它,控制其发生的条件,使它朝着我们所期望的方向发展,避免破坏性的小概率事件的发生。下面我们以实例来说明小概率事件原理在经济、医学、体育等人们生活息息相关的领域中的应用。

例1　对某工厂的产品进行质量检查,现从一批产品中重复抽样,共取200件样品,结果发现其中有4件次品,问我们能否相信此工厂生产的产品的次品率不超过01005?

解　首先我们假设此工厂产品的次品率为01005,一件产品被抽出之后只有两种可能的结

果,要么是次品要么不是次品,因此取200件产品相当于200次独立重复试验,所以由贝努力概型可知,200件产品中出现次品的概率为P =

C 42000.0054(1-0.005)196

≈0.015

根据小概率事件原理可知,概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的,所以我们可

4

3

以认为该工厂的次品率不超过01005不可信。

例2　治疗白癜风的旧药的治愈率为01001,现研制出一种新药,通过对10名患者临床试验,有六人治愈,问次新药的疗效是否提高了?

解　先假设“治愈率没有提高”。抽取10名患者进行临床试验可以看做10次独立的重复试验,治愈的人数设为X,则X服从二项分布,即X ～B(10,0.001),概率分布列为

P(X=k)=C k100.001k0.99910-k(k=0,1, 2, (10)

则至少有6人治愈的概率为P(X≥6)=1 -66k=0C k100.001k0.99910-k=0.008919

该结果表明治愈超过6人的概率是很小的,根据小概率原理,治愈超过6人这个时间几乎不会发生,而现在在一次试验中发生了,所以我们有理由怀疑假设不成立,即新药治疗白癜风的效果比原来有明显的提高。

例3　假设某篮球运动员投篮的命中率为017,如果比赛开始后其连续投篮5次,命中次数不超过一次,可否认为该运动员尚未进入状态,试为教练提供理论依据。

解　可假定5次投篮为相互独立的5次试验,用X表示命中的次数,则X～B(5,0.7),其概率分布为P(X=k)=C k50.7k0.35-k(k=0,1, 2,3,4,5)

则5次命中0次的概率为P(X=0)=C050. 700.35=0.00243

5次命中一次的概率为P(X=1)=C150. 710.34=0.02835

综上可知命中次数不超过一次的概率为

P(X=0)+P(X=1)=0.02835+0.00243 =0.03078

这是一个小概率事件,几乎是不可能发生,而在一次试验中发生了,所以我们有理由认为该运动员不在状态,此时,他的命中率要小于017.

3结论

通过以上对小概率事件的分析可知,小概率事件是一个简单但是很有实用价值的原理,日常生活中常常不经意间指导着人们的实际生活,它是概率论的精髓,是统计学发展的基础,为统计推断和决策提供了严格的数学依据。小概率事件在一次试验中被认为不可能发生,但我们不能把注意力总是停留在小概率事件的极端个别现象上。

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(上接第41页)　物理学的趣味故事和物理学家

的故事扩展学生的知识面,提高学生学习的兴趣和科学素养;最后开设《物理学的创新思维》为我们的老师在以后开展创新教学提供方法和思维的依据。特别重要的一点就是在培训末期开设试教课程,让参加培训的教师编写4—10个教案进行试教,通过全面运用所学知识,强化实践过程,达到培训的目的。学校和教育行政部门要积极组织、派出教师参加国家、省、州、市(县)学术研讨会,及时了解国家教育动态,掌握先进的教学方法和教育理念,提高物理课程的教育教学水平。

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