集美大学-模糊集期末复习

题型：填空18分+计算3题40分+应用题3题42分（基本一章一个大题） 第一章

● ①模糊集合的三种表示法（概念）

【列举法】把集合中所有的元素一一列举出来表示集合的方法。如：以字母a,b,c,d 为元素的集合A 可表示为{},,,A a b c d =

【描述法】通过描述集合元素的共同特征来表示集合的方法，也称为定义法。如：设A χ表示集合A 的特征函数，则{}|()1A A x x χ==

【向量表示法】当论域{}12,,,n U u u u = 时，U 上的模糊集合A 可以用如下向量表示

()12(),(),,()n A A u A u A u =

● ②模糊集合的运算：（基本） 交（取小）、并（取大）、补（1-A ）、差 习题一 1、2

● ③λ截集和λ强截集（概念）

【λ截集】设()A F U ∈，任取[0,1]λ∈，记{}|()A u U A u λλ=∈≥称A λ为A 的λ截集，

而λ称为阈值或置信水平。

【λ强截集】{}|()S A u U A u λλ=∈>，S A λ为A 的λ强截集。 ● ④模糊集合的核、支集、边界、正规模糊集、非正规模糊集（概念）

设()A F U ∈，称{}1|()1A u U A u =∈=为A 的【核】，即{}ker |()1A u U A u =∈=； 称{}0|()0S A u U A u =∈>为A 的【支集】，记作suppA {}|()0u U A u =∈>； 称01S A A -为A 的【边界】，记作bonA ，即{}|()0,()1bonA u U A u A u =∈>≠且 如果ker A ≠∅，则称A 为【正规模糊集】，否则称A 为【非正规模糊集】 ● ⑤分解定理、表现定理（大题） P18 例1.4.3（表现定理）、习题一 8 【例1.4.3】设{}12345,,,,U u u u u u =，给定U 上一个集合套H 如下：

0λ=：

()(1,1,1,1,1)H λ= 00.2λ<<： ()(0,1,1,1,1)H λ=

0.20.5λ≤≤： ()(0,1,0,1,1)H λ= 0.50.8λ<≤： ()(0,1,0,1,0)H λ=

0.81λ<≤：

()(0,0,0,1,0)H λ=

则由{}()[0,1]|()A u u H λλ=∨∈∈可得

{}11()[0,1]|()A u u H λλ=∨∈∈=0，2[0,0.8]()0.8A u λλ∈=∨=，3[0,0.2]()0.2A u λλ∈=∨=

同理可得4()1A u =，5()0.5A u =，故由所给集合套H 得到的模糊集合为A=（0,0.8,0.2,1,0.5） 【习题1：第8题】设{}1,2,3,4,5,6U =，1H 和2H 为U 中的集值映射，且 （1）当00.2λ≤<时， {}1()1,2,3,4,5,6H λ=

当0.20.5λ≤≤时， {}1()1,2,4,5,6H λ= 当0.50.6λ<<时， {}1()2,4,5,6H λ= 当0.60.8λ≤≤时， {}1()2,5,6H λ= 当0.81λ≤≤时， {}1()5,6H λ= （2）当0λ=时， {}2()1,2,3,4,5,6H λ= 当00.4λ<≤时，

{}2()1,3,4,5,6H λ=

当0.40.6λ<≤时， {}2()1,2,3,4,5H λ= 当0.60.8λ<≤时， {}2()1,4,5H λ=

当0.81λ<≤时，

{}2()1H λ=

则①判断1H 和2H 哪一个为集合套，并说明理由。

②对1H 和2H 中的集合套，求相应的模糊集A ，以及A λ，([0,1])S A λλ∈

解：①：由集合套的定义可知，若H 未一个集合套，则12λλ≤时，有12()()H H λλ≥ 对于1H ，随着λ的不断增大，1()H λ的集合越来越小，

11111(0.2)(0.5)(0.6)(0.8)(1)H H H H H ≥≥≥≥，满足集合套的定义 1H ∴是集合套

对于2H ，当00.4λ<≤，0.40.6λ<≤时，12λλ<，但1()H λ不包含2()H λ，所以2H 不是集合套

②由表现定理，{}()[0,1]|()A u u H λλ=∨∈∈，

{}[0,0.5](1)[0,1]|1()0.5A H λλλλ∈=∨∈∈=∨=，

同理A(2)=0.8，A(3)=0.2，A(4)=0.6，A(5)= A(6)=1，(0.5,0.8,0.2,0.6,1,1)A ∴= 当[0,0.2]λ∈，{}|()A u A u λλ=≥={}1,2,3,4,5,6；

当(0.2,0.5]λ∈，{}1,2,4,5,6A λ=； 当(0.5,0.6]λ∈，{}2,4,5,6A λ=； 当(0.6,0.8]λ∈，{}2,5,6A λ=； 当(0.8,1]λ∈，{}5,6A λ=

当[0,0.2]λ∈，{}|()S A u A u λλ=>={}1,2,3,4,5,6 当[0.2,0.5)λ∈，{}1,2,4,5,6S A λ=； 当[0.5,0.6)λ∈，{}2,4,5,6S A λ=； 当[0.6,0.8)λ∈，{}2,5,6S A λ=； 当[0.8,1)λ∈，{}5,6S A λ=

当1λ=，S A λ=∅ 第二章

● ①一元模糊扩展原理（概念）

● ②二元模糊扩展原理（计算）+-∙÷∨∧

[0,1]()A B A B λλλλ∈+=+ ，()()(()())x R A B z A x B z x ∈+=∨∧-

例 2.2.1 设U ={0,1,…,4}, A, B ∈F(U),且A=(0.4, 0.2, 1, 0, 0), B=(0, 0.3, 0.5, 0.7, 0),求(A+B)(2), (A-B)(2), (A ·B)(2), (A ÷B)(2), (A ∨B)(2),(A ∧B)(2). 解: (A+B)(2)= ∨x+y=2(A(x)∧B(y))

= (A(0)∧B(2))∨(A(1)∧B(1))∨(A(2)∧B(0)) = (0.4∧0.5)∨(0.2∧0.3)∨(1∧0) = 0.4∨0.2∨0=0.4 (A-B)(2)= ∨x-y=2(A(x)∧B(y))