Black-Scholes期权定价模型

学号：xxxxxxxxxx

学院：数学与信息科学学院

专业：统计学

年级：2011级

姓名：xxx

论文题目：Black-Scholes期权定价模型

指导教师：xxx 职称：讲师

成绩

2014年3月20日

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Keywords (1)

前言 (1)

1 期权定价的相关知识 (1)

1.1期权定价的概念 (1)

1.2期权定价理论基本思想 (2)

2 Black-Scholes期权定价模型 (2)

2.1 B-S期权定价模型(以下简称B-S模型）及其假设条件 (2)

2.2 B-S期权定价公式的推导 (3)

2.3对B-S期权定价模型的检验 (5)

2.4 B-S期权定价模型的缺陷 (6)

小结 (6)

参考文献 (7)

Black-Scholes期权定价模型

学生姓名：xxxxx 学号：

数学与信息科学学院统计学

指导教师：xxxxxx 职称：讲师

摘要：本文介绍了标准的Black-Scholes期权定价，推导出欧式期权定价的一般微分方程及其解，给出了欧式看涨期权和看跌期权的定价公式以及平价关系，并对此加以分析和修改，使之应用于欧式期权衍生证劵的定价、套期保值。

关键词：Black-Scholes模型；期权定价；欧式期权

Black-Scholes stock option pricing model

Abstract:This paper introduces the Black-Scholes option pricing standard, the general differential equations are derived and its solution of European option pricing,the pricing formula of European call option and put option and parity relation, and makes analysis and modification of pricing, hedging,hedging to European option derivative securities.

Key Words:Black-Scholes model; option pricing; European option

前言

期权，也即期货合约的选择权，指的是其购买者在交付一定数量的权利金之后，所拥有的在未来一定时间内以一定价格买进或卖出一定数量相关商品合约（不论是实物商品，金融证券或期货）的权利，但不负有必须买进或卖出的义务。在国际衍生金融市场的形成发展过程中，期权的合理定价是困扰投资者的一大难题。随着计算机、先进通讯技术的应用，复杂期权定价公式的运用成为可能。在过去的20年中，投资者通过运用布莱克——斯克尔斯期权定价模型，将这一抽象的数字公式转变成了大量的财富。

1.期权定价的相关知识

1.1 期权定价的概念

期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖一定数量的基础商品(underlying -assets)的选择权。期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题。

1.2 期权定价理论基本思想

1、金融交易的核心技术是对所交易的金融工具进行正确的估值和定价。交易者既担心错估金融工具的价值 ,又担心未估计到的因素使价格背离估值和期望值。

2、金融衍生物的价值依附于其标的物 ,其价格却受制于并反作用于标的物的价格。金融衍生物如期货、远期等用于基本金融工具和金融现货反向交易手法 ,可规避风险免除交易者的担心。股票期权是股票现货的衍生物 ,分为“看涨期权”和“看跌期权”两种。

3、期权的“或有性”可防范其他金融衍生工具的风险 ,但又使他的估值和定价非常复杂和困难。所谓“或有”即是在所期望的情况发生时 ,行使其对标的物的买权或卖权才有意义。

4、期权的风险在标的物的价格及其运动中就得到反映 ,而且标的物的价格还反映了市场对未来的预期。在对标的物的特性、期权及标的物的交易规则给出一系列的假设条件后 ,对作为标的物的股票价格运动的规律作了一个基本的假定 :即股票价格的运动是连续变化的 ,遵循一种称作带漂移的几何布朗运动规律 ,在数学上则表现为称作伊藤过程的随机过程。布莱克和斯科尔斯用期权、标的物股票、和一种无风险证券构筑成一个无套利均衡组合头寸。这个组合头寸要不断地进行动态调整才能保持住无套利均衡的条件。依据伊藤过程的研究结果 ,他们建立起 Black-Scholes随机微分方程。这个随机微分方程刻画了动态调整组合头寸保持无套利均衡的规律。按照期权到期时的情况 ,可以定出这个随机微分方程的终端条件 ,再倒向解出这个微分方程的初始值的表达式 ,就得出期权定价公式。一种方法是对基础金融资产在期权有效期内的价格变动作出假定，进而估计期权到期时的预期价格。利用这种方法对期权定价就是著名的布莱克—斯科尔斯模型。

2.Black-Scholes期权定价模型

2.1 B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件

1、金融资产收益率服从对数正态分布；

2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；

3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；

4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；

5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。

2.2 B-S 期权定价公式的推导

在风险中性世界中，标的资产的预期收益率为无风险利率r ，股票价格服从的对数正态分布满足:

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-+T T r S N S T σσ,)21(ln ~ln 20

其中T S —到期日股票的价格，0S —股票的初始价格，T —到期日，σ—股票价格的

波动率，r —无风险收益率，记T T r S m S y T 220,)2

1

(ln ,ln σνσ=-+==。欧式看涨期

权的损益为：

)0,max(X S C T T -=

其中X 为执行价格。则期权到期时的期望损益就为：[][])0,max(X S E C E T T -=。进一步计算期望损益[]T C E ，我们有：

[][]

)0,max(ln X e E C E T S T -= =[]

)0,max(X e E y -

=dy e

X e m y y

ν

πν2)(2

21)0,max(--∞

∞

-⎰-

=

dy e m y X

ν

πν

2)(ln 2

210

--

∞-⎰

+

dy e X e m y X

y

ν

πν

2)(ln 2

21

)

(--∞

⎰-

=dy e e m y X

y

ν

πν

2)(ln 2

21

--∞

⎰

+dy e

X m y X

ν

πν2)(ln 2

21

)(--∞

⎰-

继续简化[]T C E ，就有：

[]T C E =

dy e e m y X

y ν

πν

2)(ln 2

21--∞⎰

+dy e

X m y X

ν

πν2)(ln 2

21

)(--∞

⎰-

=dy e e m y X

m ν

νν

πν

2)(ln 5.02

21---

∞

+⎰

-dy e X

m y X

ν

πν

2)(ln 2

21--

∞

⎰

=dz e e z m X m 2ln 5.02

21-∞

--+⎰

ν

ν

ν

π-dx e X x m

X 2

ln 2

21-∞

-⎰ν

π