Gronwall不等式的推广及其应用_操和友

第16卷第5期 2008年10月
安徽建筑工业学院学报(自然科学版)
Journal o f Anhui Inst itute of A rchitecture &I ndustr y
Vol.16No.5 Oct.2008
收稿日期:2008-08-29
作者简介:操和友(1972-),男,讲师,硕士,主要研究方向为方程、运筹学。

Gronw all 不等式的推广及其应用
操和友, 杨 孟, 谢胜利
(安徽建筑工业学院数理系,合肥 230601)
摘 要:将经典的G ro nw all 不等式从有界闭区间推广到无穷区间上,用其推广的结果研究Banach 空间一阶非线性微分方程终值问题解的存在性。

关键词:G ronw all 不等式;不动点定理;终值问题;非紧性测度。

中图分类号:O 175 文献标识码:A 文章编号:1006-4540(2008)05-078-03
The generalization and application of gronwall inequality
CAO H e -you, YAN G Meng, XIE Sheng -li
(Department of mathematics &physics,Anhui Un iversity of Arch itectur e,H efei 230601,China)
Abstract:In this paper,w e promo te the bounded closed interval to Infinite inter val for the classic Gron -w all inequality ,and w e research the existence of the teminial v alue pr oblem s o f the first order nonlin -ear differential equations in Banach space by means of the results of the pr omotion.
Key words:gronw all inequality;fix ed point theorem;ter minal value problem;nonco mpact type m eas -ure
著名的Gronw all 不等式无论在理论上还是在应用上都占有十分重要的地位和广泛的应用前景。

对于非线性微分方程初值问题,非线性Vo-l terra 积分方程的研究,在作先验估计和非紧性测度的估计,证明解的唯一性以及解对初值的连续依赖性,都要用到Gronw all 不等式。

经典的Gr onw all 不等式是建立在有界闭区间上的,它在有界闭区间上给出非线性微分方程初值问题,非线性Vo lterra 积分方程的应用。

本文主要工作是把著名的Gr onw all 不等式推广到无穷区间上,并给出它非线性微分方程终值问题中的应用。

其特色是对于Banach 空间非线性微分方程终值问题解的存在性研究,我们利用推广的Gronw all 不等式,去掉了先验估计和非紧性测度的限制性条件,本质上改进和推广了已经存在的结果。

最后我们指出,利用推广的Gronw all 不等式,可以用来研究无穷区间上线性Volterra 积分方程的谱半径,研究无穷区间上非线性Volterra 积分方程解的存在性。

因此,本文的研究无论在理论上还是在应用上都有十分重要地意义。

1 经典的Gronw all 不等式
设k 为非负常数,f (t)和g (t)为在区间A [t [B 的连续非负函数,且满足不等式:
f (t)[k +
Q
t
A f (s)g(s)d s,A [t [B
则有:
f (t)[k ex p
Q
t
A g (s)ds ,A [t [
B (1)
2 经典的Gronwall 不等式的推广
定理1 设m(t),r (t)I C(R +
,R +
),
Q+]0r(t)d t<+]。

若m(t)[k+M Q+]t m(s)r(s)d s, t I R+,其中R+=[0,+],k\0,M>0,则有:
m(t)[k ex p M Q+]t r(s)d s,t I R+(2)
证明:对任意的T\t,考虑m(t)[k+ Q T t m(s)r(s)d s,t I[0,T]。

令v(t)=Q T t m(s)r(s)d s,则易知v(T)=0,v c(t)=-m(t)r(t)。

又m(t),r(t) I C(R+,R+),将m(t)[k+Q T t m(s)r(s)d s两边同乘r(t),则有:
r(t)m(t)[kr(t)+r(t)Q T t m(s)r(s)d s
即:v c(t)+Mr(t)v(t)\-k r(t)
上述不等式两边同乘以ex p-M Q T t r(s)d s,得到:
d
d t
v(t)exp-M Q T t r(s)d s\
-kr(t)ex p-M Q T t r(s)d s
两边从t到T积分,得到:
v(t)exp-M Q T t r(s)d s[
k Q T t r(s)exp-M Q T s r(S)d S d s
则知:
m(t)[k+Mv(t)[k ex p M Q T t r(s)d s
令T y+],得到:
m(t)[k exp M Q+]t r(s)d s
引理1[1]设B={u n}<C[R+,E],若存在B (t)I L[R+,R+],使得:
+u n+[B(t),n=1,2,,
则A(B(t))在R+上可积,并且:
A Q+]t u n(s)d s[2Q+]t A(B(s))d s
引理2[2](M onch不动点定理)设E是Ba-nach空间,8<E是有界开集,H I8,A:E y E是一个连续算子,且满足下列条件:
( )x X K Ax,P K I[0,1],x I58;
H I8可数及H<co {H}可推出H为相对紧集,则A在8中至少有一个不动点。

3推广的Gronwall不等式的应用
设(E,+#+)是一个实Banach空间,BC [J,E]={u I C[J,E]:sup
t I J
+u(t)+[+]},T C
[J,E]={u I BC[J,E]:lim
t y+]
u(t)=u(])},则
BC[J,E]在范数+u+=sup
t I J
+u(t)+下构成一个Banach空间,T C[J,E]<BC[J,E]。

考察Banach空间E中一阶非线性微分方程终值问题(TV P):
d u
d t
=f(t,u),t I J,
u(])=u],
(3)
其中J=[0,+]],f I C[J@E,E],lim
t y+]
u(t)= u]I E。

为了叙述方便起见,先列出下列假设:
(H1)任给(t,u)I J@E,存在b(t)I C[J, R+],使得:
Q+]0b(s)d s<+]且+f(t,u)+[b(t)+u+ (H2)对任何t I J和D<B r,存在L(t)I C [J,R+]且Q+]0L(s)d s<+],使得:
A(f(t,D))<L(t)A(D)
如果u I T C[J,E]满足终值问题(3),则称u 是终值问题的解,记T r={u I E:+x+[r},B r ={u I B C[J,E]:+u+[r},(r>0),用A(#)表示kurato wski非紧性测度。

定理2若假设(H1),(H2)均成立,则上述非线性微分程终值问题(3)在T C[J,E]H C1[J, E]中至少有一个解。

证明定义积分算子A:BC[J,E]y BC[J, E],如下:
(Au)(t)=u]-Q+]t f(s,u(s))d s
则u I T C[J,E]H C1[J,E]是终值问题的解等价于u I BC[J,E]是算子A的不动点。

首先证明:
80={u I BC[J,E]:u=K A u,0[K[1}是BC[J,E]中的有界集。

事实上,任给u I80,则存在0[K[1,使得:
u(t)=K(Au)(t),t I J
当t I J时,由引理1及假设(H1),得:
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第5期操和友,等:Gronw all不等式的推广及其应用
+u(t)+=+K(Au)(t)+[
+u]++Q+]t+f(s,u(s))+d s[
+u]++Q+]t b(s)+u(s)+d s
令m(t)=+u(t)+,k=+u]+,则m(t)I C[J, R+],则从上式可得:
m(t)[k+Q+]t b(s)m(s)d s
故由推广的Gr onw all不等式可知:
m(t)[k ex p Q+]t b(s)d s
[k ex p Q+]0b(s)d s=M0
因此+m(t)+[M0,t I J。

故80为有界集。

取R>M0,令:
8={u I BPC[J,E]:+u(t)+[R}
则8为BC[J,E]的有界开集,H I8,并且对任何x I58,x X K A x,P K I[0,1],即引理2的条件( )满足。

下面验证引理2的条件( )满足。

设H I8为可数集且H<co{H}G A(H)。

由假设(H2)容易证明A(H)在区间J上是等度连续的。

当t I J时,由非紧性测度的性质假设(H2)及引理1知:
A(H(t))[A((AH)(t))
=A u]-Q+]t f(s,u(s))d s
[2Q+]t A(f(s,u(s)))d s
[2Q+]t L(s)A(H(s))d s
于是由勒贝格控制收敛定理知A(H(t))S0, t I J。

故H是C[J,E]中的相对紧集,于是知H 是BC[J,E]中的相对紧集。

由引理2知A在8中至少有一个不动点,从而终值问题(T VP)在TC[J,E]H C1[J,E]中至少有一个解。

证毕。

注:文[3]和文[4]在使用不动点定理研究一阶非线性微分方程终值问题时,分别使用了先验估计和非紧性测度估计的限制性条件:
Q+]t b(s)d s<1,
Q+]t L(s)d s<14与Q+]t b(s)d s+E]k=1B k<1本文去掉了上述的限制性条件,建立了新的存在性定理2,并且本文的证明方法本质上不同于文[3]和文[4]。

参考文献
1Deim ling K.No nlinear F unctio nal A nalysis[M].Ber-lin:Spr inger-V erlag,1985.
2Shengli Xie,Jiang zhu.Sy st em of nonlinear impuisiv e V olterr a integ ral equatio ns in Banach spaces and appl-i cations[J].So utheast A sian Bulletin o f M athematics, 2004,28:741-754.
3谢胜利,杨志林.Banach空间一阶非线性脉冲V olter-ra型积分方程和积分-微分方程初值问题的可解性[J].数学学报,2003,46(3),445-452.
4谢胜利.关于Banach空间一阶非线性脉冲积分-微分方程初值问题解的存在性的注记[J].系统科学与数学,2008,28(4),482-489.
(责任编辑陈玲)
80安徽建筑工业学院学报(自然科学版)第16卷。