大学线性代数电子教案

A , A , A , A ,
A
A
A
A
5.有关逆阵的证明
抽象矩阵逆矩阵,借助于定义AB=E进行求解.
题 型 一 证 明A可 逆,且A B
分析 题型给 出A B,故由定 义只须验证AB E即可.
例 设A是n阶可逆方阵, A*是A的伴随矩阵,证明A*可逆,
如果n 阶矩阵A (aij )nn的元素满足aij a ji (i, j ,,, n),
则称 A 为n阶对称矩阵. 对称矩阵: AT A
例
如
A
就
是
一
个
阶
对
称
矩
阵.
如果n 阶矩阵A (aij )nn的元素满足aij a ji (i, j ,,, n),
则称 A 为n阶反对称矩阵. 反对称矩阵: AT A
设A
a 称 ij n
A*
A12
A22
An
2
为矩阵
A
的
A1n A2n Ann
伴随矩阵. 其中Aij 为 A 中元素aij 的代数余子式.
重要恒等式:
AA* A* A A I
例
设
方
阵A
,
求A .
解 A , A , A , A , A , A ,
据此,反对称矩阵主对角线上的元素aii 满足 aii aii (i ,,, n),
故有aii (i , ,, n)
例
如
A
是
一
个阶
反
对称
矩
阵
注: 对称矩阵的元素关于其主对角线对称.
反对称矩阵的主对角线元素都为零.
(6)方阵的行列式
A aij n
称
A
aij
为
n
A
的行列式,
例
A
B
AB BA
E
A B
2.性质
(1)若方阵 A 可逆,则 A 的逆矩阵唯一.
(2)若方阵 A可逆，则 A1也可逆，且 A1 1 A
(3)若方阵 A 可逆,且数 k 0,则kA也可逆,且(kA)1 1 A1 k
,
求(
AB)T
解
AT
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
, BT
故( AB)T
AT BT
这一解法是否正确? 正确如何解?
例5
已
知A
,
B
,求( AB)T
解法一
因 为 AB
所 以( AB)T
解法二
( AB)T
BT AT
(4)若方阵 A 可逆，则 AT 也可逆，且 AT 1 A1 T
(5)若方阵 A 可逆，则 Ak 也可逆，且 Ak 1 ( A1 )k
(6)若两个同阶方阵 A, B可逆,则AB 也可逆,且( AB) B A
(7)方阵 A 可逆的充要条件是 A 0
A
A
A
3.伴随矩阵
A11 A21 An1
am1
am2
amn
a11
AT
a12
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
称 AT为 A 的转置矩阵.
运算法则: ( AT )T A, A B T AT BT
kAT kAT , AB T BT AT , Ak T AT k
例
已
知
矩 阵A
,
B
A ,
A , A ,
A
性质: kA* k A n1 * AB* B* A* Ak * A* k
AT * A* T
4.伴随矩阵求逆法
A A *
n1
A1 1 A* A
A* * A A n2
例5
求矩阵
A
的逆矩阵
解 A , A , A , A , A ,
(4)方阵的幂 A aij n , k为自然数，Ak AAA
规定 A I A O
k
运算法则: Akl Ak Al ( Ak )l Akl
注意: 一般来说 ABk Ak Bk
如果A A 则称 A 为幂等矩阵.
如果Ak O (k自然数),则称 A 为幂零矩阵.
例4
设
A
,求An
解法一
A
同 理, A
A
A
猜想
An
n
假 设n
k时,
Ak
k
成 立, 下 证Ak
k
成 立.
事 实 上,
Ak
Ak
A
k
k
, 结 论
成
立.
例4
设
A
,求An
方法 将矩阵A分解成A=F+G,要求矩阵F与G的方幂容易计
算,且FG=GF.一般地,F和G有一个是单位矩阵E时,计算更加
又记det
A
运算法则: AT A ,
kA kn A, AB A B , n
Ak A k
注：对n阶方阵A,B,一般AB BA,但 AB BA .
例6
A
B
解
AB
AB
二、逆矩阵 (sect3)
1.定义
设 A是一个n 阶方阵, E是一个n阶单位阵,如果存在一 个n阶方阵 B,使得 AB BA E.则称 A 可逆,又称 A 为非 奇异矩阵,并称 B 为A 的逆矩阵,记作A1 B.否则称 A 不 可逆,又称 A 为奇异矩阵．
容易.
应 用 二 项 展 开 公 式(B
E )n
Bn
C
n
B
n
C
n
B
n
C
n n
B
E
解法二
先 将 矩 阵A分
解A
B
E
因B
,
从 而Bn (n )
于 是An
(E
B)n
E
C
n
B
C
n
B
Bn
E
nB
n
n
(5)转置
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
分析 题目已经给出了逆矩阵的形式,故由定义只须验证 (E A)(E A A Ak) E 即可.事实上
(E A)(E A A Ak) E(E A A Ak) A(E A A Ak)
( E A A Ak ) ( A A A Ak )
E Ak E E 故 E A可 逆,且( E A) E A A Ak.
且( A* ) ( A )*
证 只 需 验 证( A* )( A )* E即 可.事 实 上
A* A A , ( A )* A ( A ) A A
A*( A )* ( A A )( A) ( A )( AA) E
A
A
故A*可 逆, 且( A* ) ( A )* .
例 设Ak ,证明E A可逆, 且(E A) E A A Ak.