数项级数的基本概念及其性质

1. 级数的定义:

一般项 (常数项)无穷级数
un u1 u2 u3 un n1
级数的部分和
部分和数列
sn u1 u2 un ui
i 1
n
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 ,, sn u1 u2 un ,
数项级数的基本概念及其性质
一、常数项级数的概念 1. 计算圆的面积
正六边形的面积 a1
R
正十二边形的面积 a1 a2
n 正 3 2 形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 an 1 3 3 3 3 2. n 3 10 100 1000 10
2
n1
a aq n a aqn , 1 q 1 q 1 q
a sn 当q 1时, lim q 0 lim n 1 q 收敛 n
n n lim q lim sn 当q 1时, n n
发散
如果 q 1时
un 0. 级数收敛 lim n
证明
s un
n 1
则 un sn sn1 ,
lim un lim sn lim sn1 s s 0. n n n
逆否命题：
lim un 0 级数发散 n
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
则 lim m lim sn s. m n
注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1)
1111
收敛 发散
推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散.
三、级数收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时, 它的一般项un趋于零, 即
2. 级数的收敛与发散:
当 n 无限增大时 , 如果级数 un 的部分和
n 1
数列 sn 有极限 s , 即 lim sn s 则称无穷级数
n
un 收敛 ,这时极限 s 叫做级数 un 的和 .并 n 1 n 1
写成 s u1 u2 u3

性质3 在一个级数中增加或删去有限个项不改 变级数的敛散性，但会改变级数的和.
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
证明
(u1 u2 ) (u3 u4 u5 ) 1 s2 ,
2 s5 , 3 s9 ,
, m sn ,
5 1 5 1 n n 2 n1 n( n 1) n1 2 n1 n( n 1)


5 1 1 5 n 1 n1 n( n 1) n 1 n

1 1 1 令 g n 5 ), 5(1 k 1 n1 k 1 k
当q 1时,
sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
lim sn不存在
n
发散
当q 1时, 收敛 综上 aq n 0 当q 1时, 发散
n
例5
解
5 1 n 的和. 求级数 2 n 1 n( n 1)
n
nπ 例7 判别级数的敛散性： sin 2 n 1
证 注意到

nπ sin 1 0 1 0 1 0 1 0 2 n 1
通项 un= sin
n 1

nπ 2 ， 当n→∞时极限不存在，
所以级数发散.
lim un
n
练习：判断下列级数敛散性.
n (1) n ln n 1 n 1 n (3) ln n 1 n 1


n (2) cos 2 n 1

(4)
(1)
n 1

n
以上四个都是发散的，你判断对了吗？

k 1 k k 1 1 1 1 1 dx dx k x k k k

k 1
k
1 dx ， x
1 1 sn 1 2 n
2
31 1 如: dx ， 2 2x
31 n 1 1 1 dx dx dx 1 x 2 x n x n 1 1 n dx ln( n 1) 级数发散 . 1 x
1 2 3 n n1 例如 ( 1) 发散 2 3 4 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
2.必要条件不充分.
1 1 1 例如调和级数 1 2 3 n
有 lim un 0, 但级数是否收敛?
n
发散！
1 1 事实上，设 k x k +1, x k
如果sn 没有极限,则称无穷级数


u
n 1

n 发散.
即 常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在)
n
例 1 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq aq
例6 证明级数是发散的：
n ln 1 2ln 2 n ln n n ln n 1 2 3 n 1 n 1
证 级数的通项

n un n ln ln n 1

1 1 1 n
n
1 ln 1 e
当n
因为 lim u n≠0，所以该级数发散
n
1 lim gn 5 lim(1 ) 5, n n n1
1 1 1 n是等比级数, 公比q 1, 首项是 ， 2 2 n 1 2

1 1 n lim hn 2 1, n 1 n 1 2 1 2
5 1 故 n 5 1 6. 2 n1 n( n 1)