数列求和方法大全例题变式解析标准答案——强烈推荐

1.7数列前n 项和求法

知识点一 倒序相加法

特征描述：此种方法主要针对类似等差数列中

112n n a a a a -+=+=

,具有这样特点的数列．

思考：你能区分这类特征吗？

知识点二 错位相减法

特征描述：此种方法主要用于数列}{n n b a 的求和，其中}{n a 为等差数列，}{n b 是公比为q 的等比数列，只需用n n S qS -便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1和q ≠1两种情况．

思考：错位时是怎样的对应关系？

知识点三 分组划归法

特征描述：此方法主要用于无法整体求和的数列，例如1，112+

，11

124

++，……， 11124+++……+11

2

n -，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综

合求出所有项的和．

思考：求出通项公式后如何分组？

知识点四 奇偶求合法

特征描述：此种方法是针对于奇、偶数项，要讨论的数列 例如11357(1)(21)n n S n -=-++++--，要求S n ，就必须分奇偶来讨论，最后进行综合．

思考：如何讨论？

知识点五 裂项相消法 特征描述：此方法主要针对

1223

1111n n

a a a a a a -+++

这样的求和，其中{a n }是等差数列．

思考：裂项公式你知道几个？

知识点六 分类讨论法

特征描述：此方法是针对数列{n a }的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求. 思考：如何表示分段求和？

考点一 倒序相加法

例题1：等差数列求和12n n S a a a =+++

变式1：求证：n

n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=+++++

变式2：数列求和2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++

考点二 错位相减法

例题2：试化简下列和式： 2

1123(0)n n S x x nx x -=+++

+≠

变式1：已知数列)0()12(,,5,3,11

2

≠--a a n a a n ，求前n 项和。

变式2：求数列23

,2,3,,,

n a a a na ；的前n 项和

变式3：求和：n n a

n a a a S ++++= 32321

考点三：分组划归法 例三：求数列1，112+，11124++，……，11124+++……+11

2

n -的和.

变式1：5，55，555，5555，…，5(101)9

n

-，…；

变式2：13,24,35,,(2),n n ⨯⨯⨯+；

变式3：数列1,(1+2),(1+2+22),……(1+2+2 2+…+2 n －

1),……前n 项的和是

（ ）

A ．2 n

B ．2 n －2

C ．2 n+1－n －2

D ．n2n

考点四：奇偶求合法

例四：11357(1)(21)n n S n -=-++++--

变式1：求和：

n 1n S n-3-+

=1-5+9-13++(∈)…（-1）（4） n N

变式2：已知数列{a n }中a 1=2，a n +a n+1=1，S n 为{a n }前n 项和，求S n 变式3：

已知数列{a n }中a 1=1，a 2=4，a n =a n-2+2 （n ≥3），S n 为{a n }前n 项和，求S n

考点五：裂项相消法

例五：{a n }为首项为a 1,公差为d 的等差数列，求122334

11111n n n

S a a a a a a a a -=

++++

变式1：1111

,,,,

,

132435

(2)

n n ⨯⨯⨯+；

变式2：数列通项公式为11

n a n n =++；求该数列前n 项和

变式3：：求和)

12)(12()2(5343122

22+-++⋅+⋅=n n n S n

考点六：分类讨论法

例六：在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；

(2)若d<0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.

变式1：在等差数列}{n a 中，,369181716-==++a a a a 其前n 项和为n S . （1）求n S 的最小值，并求出n S 的最小值时n 的值； （2）求n n a a a T +++= 21.

变式2：设数列}{n a 满足132,511++=-=+n a a a n n ，已知存在常数q p ,使数列

}{q pn a n ++ 为等比数列.求n a a a +++ 21.

变式3：已知等比数列{n a }中，1a =64，q=2

1

，设n b =log 2n a ，求数列{|n b |}的前n 项和n S .

答案及解读 考点一 例一： 等差数列求和

12n n S a a a =++

+

111()[(1)]a a d a n d =+++

++-①

把项的次序反过来，则：

()[(1)]n n n n S a a d a n d =+-+

+--②

①+②得：

()1112()()n n n n n S a a a a a a =++++

++个

1()n n a a =+

1()

2

n n n a a S +=

变式1：

思路分析：由m

n n m n C C -=可用倒序相加法求和。 证：令)1()12(53210n

n

n n n n C n C C C S +++++=

则)2(35)12()12(0

121n n n n n n n n C C C C n C n S ++++-++=-

m

n n m n C C -=

n n n n n n C n C n C n C n S )22()22()22()22(2:)2()1(210++++++++=+∴ 有 n n n n n n n n C C C C n S 2)1(])[1(210⋅+=+++++=∴ 等式成立

变式2：

设222

2sin 1sin 2sin 3sin 89S =+++

+， 又∵222

2sin 89sin 88sin 87sin 1S =+++

+， ∴289S =，892

S =． 考点二

例二：

21123(0)n n S x x nx x -=+++

+≠