分数阶微积分简介(大三下)讲解

结合卷积的定义
(h f )(t ) h(t s) f (s) ds,
0 t
令
则
1 1 g (t ) t , t 0, ( )
1 t 1 J t f (t ) ( t x ) f ( x)dx 0 ( ) ( g f )(t ).

Dt f (t ) Jtm Dtm f (t )
m t 1 d f ( s) m 1 (t s) ds, m ( m ) 0 ds
其中
f C m1 ([0, T ], X ).
Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo
分数阶导数是分数阶导数最常用的两种定义
1 d t Dt 1 ( t s ) ds 0 (1 ) dt

1 d 1 1 t (1 ) dt 1 1 t 0. (1 )
这导致了分数阶导数其他定义形式的产生
Caputo导数
函数 f (t ) 的 阶Caputo导数定义如下
d x dx
1 2
1 2

2

x .
1 2
以上结果是如何得到的？为弄清这个问题，我们 首先要了解Gamma函数
(n 1) n! x e dx , n N .
n x 0

将Gamma函数推广到 n 取正实数的情况
( ) x 1e x dx, 0
0

有
相比于积分学，微分学的起源要晚很多， 刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线 的切线、求瞬时变化率、求函数的极大极 小值等。虽古希腊学者曾进行作曲线切线 的尝试，直至19世纪前，真正意义上的微 分学研究的例子可以说是很罕见的。
15世纪以前是一些概念的萌芽时期，主要是Archimedes 的穷竭法和刘徽的割圆术——现代微积分的早期形式。
两边作Laplace变换得
ˆ (t ) t h ,
0
1 t
e dt t 1et dt
0

( )( ) 2 .
两边再取Laplace逆变换得
( )( ) 1 h , (t ) t . ( )
形式。
随后越来越多的数学工作者开始关注分
数阶微积分，由于缺少物理力学背景支持, 其理论和应用发展都Baidu Nhomakorabea常缓慢.
1974年首届分数次演算国际会议召开；
随后耶鲁大学教授Mandelbrot 指出：自然界
和科学技术中存在大量的分数维，分数阶布朗
运动和Riemann-Liouville分数阶微积分有着紧
密的联系. 这些都促使分数阶微积分理论及应用迅猛 发展. 如今，分数阶微积分理论已经广泛应用 于水动力学、生物力学、量子力学、控制论、
分数阶微积分简介
数学史上的丰碑 ——微积分
由Newton和Leibniz创立的微积分是变量数学时期（17世 纪后期）最主要的成就； 微积分的诞生是全部数学史上，也是人类历史上最
伟大最有影响的创举；
微积分导致后来一切科学和技术领域的革命； 离开微积分，人类将停顿前进的步伐…… 在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪后半叶微 积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。 ----恩格斯(自然辩证法, p244)
分数阶微积分简介
分数阶微积分已有300多年历史，早在1695年， Leibniz和L’Hospital曾以书信的方式探讨过分数阶微 积分, L’ Hospital提出问题：
1 d x f ( x) x, n 1 ? 2 dx 2
1 2
124年之后(1819年) ，Lacroix首次给出这一 问题的正确解答:
... ... ... ...
t dn 1 n 1 ( t x ) f ( x)dx f (t ) n dt (n 1)! 0
以上公式说明
t 1 n 1 J f (t ) ( t x ) f ( x)dx (n 1)! 0 1 t n 1 ( t x ) f ( x)dx ( n) 0 n t
对于稳定流问题,上式中的弥散系数D被看作
是一常数,与溶质运移过程的尺度无关。但在实
际中存在弥散的尺度效应，即弥散系数随着运移
距离的增加而增大，弥散系数不能再被看作常数。
因此，有必要对这一方程加以改进以适应 实际的需要。用非局域性的处理方法得到如下 的反常扩散方程:
D C ( x, t ). t C ( x, t ) D x
16世纪前后200年的时间，常量数学基本完成，也是变 量数学的酝酿时期，微分法和积分法已有雏形。
17世纪前后半期，Newton和Leibniz在前一时期数学成 就的基础上各自独立建立微分运算和积分运算，并建 立二者之间的联系，揭开了数学历史的新篇章。 18世纪是微积分的基础讨论和研究时期。 19世纪Cauchy和Weierstrass等确定微积分的现代形式， Dekind和Cantor奠定了牢固的基础。
问题：上面介绍的是分数次积分，那 么分数阶导数又该如何定义？ 在允许相差常数的意义下，积分和求导是 逆运算的关系，那么能否借助前面分数次积 分来定义分数阶导数呢？
例如
d 1 d2 2 dn n f (t ) J t f (t ) 2 J t f (t ) n J t f (t ) dt dt dt
幸的一章”。英国数学家固守Newton的传统而使 自己远离分析的主流，分析的进步在18世纪主要 是由欧陆国家的数学家在Leibniz微积分方法的基 础上而取得的。
代数与几何相结合的产物----解析几何将 变量引进了数学（变量数学），为微积分 的创立搭起了舞台。积分学可追溯到古代 （面积和体积的计算），数学分析书中 Kepler“行星运动三大定律”→现代定积分 思想的雏形。其实“分割、求和、取极限” 方法计算不规则图形面积的思想追溯到古 希腊Archimedes的“穷竭法” pp. 262-264
1 d m (m )(n 1) mn t m (m ) dt (m n 1 )
(n 1) n t . (n 1)
当 取整数时，与整数阶导数结果 完全吻合。 再看常数函数，若 0 1
医学等众多领域.
例如，多孔介质中的溶质运移问题是地下水动 力学研究的重要内容之一 ，传统的多孔介质中 水动力弥散理论采用如下的二阶对流—弥散方
程来描述溶质在多孔介质中的运移行为 ：
C ( x, t ) [vC ( x, t ) DC ( x, t )] t
其中C(x,t)表示在时刻 t 位于空间点 x 处的溶 质浓度, v表示对流速度, D为弥散系数。
极限和穷竭思想可以追溯到两千五百年前
的古希腊文明(特别是毕达哥拉斯学派)。 微积分作为一门科学，产生于17世纪后半 期，基本完成于19世纪，而它的一些概念则萌 芽于15世纪以前的古代。
大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、 农业、航海事业与贸易的大规模发展，刺激着自然 科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶 段，而所有这些所面临的数学困难. 具体地，
其中
k m 1 t (k ) D f ( t ) f ( t ) f (0), m 1< m. t t k 0 ( k 1 )
用实验的实测数据对所得结果进行检验,检验 结果很好地说明了弥散过程中的偏态特征和“拖 尾”现象。而传统二阶对流—弥散方程的高斯分
算”和“求和计算”。
经过D’Alembert、Euler、Lagrange等人的努力， 微积分严格化到19世纪初终于见到效果。 Bolzano、Cauchy、Weierstrass等人对微积分严 格化做出最突出的贡献。
在微积分的创立上，Newton和Leibniz分享荣
誉，但是微积分发明权之争论是“科学史上最不
我们已经推广了Gamma函数，自然地，上面的整 数次积分能否推广到分数次？答案是肯定的。
Riemann-Liouville分数次积分
定义函数 f (t ) 的 次积分如下
1 t 1 J t f (t ) ( t s ) f ( s)ds, ( ) 0

其中
>0, f L1 ([0, T ], X ), t 0.
( 1) ( ).
其次，我们再回顾一下变上限函数求导公式
d t f ( x)dx f (t ) dt 0
d2 dt 2
(t x) f ( x)dx f (t )
0
t
d3 1 t 2 ( t x ) f ( x)dx f (t ) 3 dt 2 0
从埃及尼罗河沿岸每年丈量土地开始，人们就在寻 求一种计算不规则图形面积的方法. 许多迫切待解决的问题：描述处理运动、曲线的切线、
曲线的长度、曲面的面积、曲面围成的多面体的体积、极
大极小问题…..
微积分的奠基人是英国的Newton和德国
的Leibniz。牛顿的微积分包括“流数法”和
“求积法”两种方法，莱布尼茨使用“差的计
ˆ f ( ) e t f (t ) dt 0
Beta函数
B( , ) (1 s) 1 s 1ds, , 0
0
1
设 h , (t ) (t s) 1 s 1ds
0
t
则
h , (1) B( , ),
h , (t ) 为函数 t 1 和 t 1 的卷积。
若 1 ，则
( ) h ,1 (t ) t . ( 1)
下面例证整数阶导数的结论在分数阶 导数定义中是否成立？对于幂函数有
m t 1 d n m 1 n Dt x ( t s ) s ds m 0 (m ) dt 1 dm h (t ) m m , n 1 (m ) dt
d d2 1 d n1 n f (t ) 2 Jt f (t ) n J t f (t ) dt dt dt
通常积分运算要比求导运算复杂，从而我们 希望多求导少积分，这将导致以下定义的产生
Riemann-Liouville分数阶导数
函数 f (t ) 的 阶导数定义如下
m d Dt f (t ) m J tm f (t ) dt 1 dm t m 1 ( t s ) f ( s)ds, t 0. m 0 (m ) dt
布解却不能解释。
因此,用分数阶的对流—弥散方程比二阶对
流—弥散方程能更好的描述溶质在多孔介质中的
弥散. 更多的应用可参阅参考文献.
参考文献
1. 徐明瑜,谭文长.中间过程、临界现象—分数阶算子理论、 方法、进展及其在现代力学中的应用.中国科学 G辑 2006. 2. 陈崇希,李国敏.地下水运移理论及模型. 武汉：中国地质 大学出版社,1992. 3. 杨金忠等.多孔介质中水分及溶质运移的随机理论.北京:科 学出版社, 2000. 4.常福宣等.考虑时空相关的分数阶对流—弥散方程及其解. 水动力学研究与进展, 2005,20(3)。
其中 0, m 表示不小于 的最小整数。
引入分数阶导数的定义后，整数阶导数
就成为分数阶导数的特殊情况. 我们自然希望：在分数阶导数定义中 取整数时，已有整数阶导数的结论依然 成立.
我们先得介绍一下Laplace变换和Beta函数。
函数 f (t ) 的Laplace变换