概率论与数理统计论文 (1)

概率论与数理统计结课论文———

浅析数学期望在实际生活中的应用

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摘要：数学期望是概率论中的一个重要概念，是随机变量的数字特征之一，体现了随机变量总体取值的平均水平，本文主要阐述了数学期望的定义和性质，讨论了实际生活中的某些应用问题，从而使我们能够使用科学的方法对其进行量化的评价，平衡了极大化期望和极小化风险的矛盾，达到我们期望的最佳效果。

关键词：概率统计；数学期望；实际问题；应用.

Abstract：An important concept in probability theory is the mathematical expectation, is one of the digital features of the random variable reflects the average of the overall value of the random variable, the article focuses on the definition and nature of the mathematical expectation, discussed some of the real lifeapplication, so we can use the scientific method to quantify the evaluation of the balance of great expectations and minimize the risk of contradiction, we expect the best results.

Key words: srobability and statistics ;mathematical expectation; practical problems;application.

引言：

早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。录比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公

平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为

100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。在经济生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决，风险决策中的期望值法便是处理风险决策问题常用的方法。数学期望是随机变量的数字特征之一，它代表了随机变量总体取值的平均水平。 正文：

一、期望的概念及性质

1.离散型随机变量的数学期望

设X 是离散型随机变量，其分布律为P(X =i x )= i p （i=1，2……），若级数1i i i x p ∞

=∑ 绝对收敛，则称该级数的和为X 的数学期望，记作)(X E ，即：

∑∞

==1)(i i i p x X E

2.连续型随机变量的数学期望

设)(x f 为连续型随机变量X 的概率密度，若积分()xf x dx +∞-∞⎰

绝对收敛，则

称它为X 的数学期望，记作)(X E ，即：

⎰∞∞-=dx x xf X E )()( 3.期望的性质

1）c c c E ,)(=为任意常数；

2）c X cE cX E ),()(=为常数，X 为变量；

3）Y X Y E X E Y X E ,),()()(+=+为变量；

4）若Y X ,独立，则)()()(Y E X E XY E 。

二、数学期望在实际问题中的应用

1.决策投资方案：决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。它帮助人们在复杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定。具体做法为：如果知道任一方案Ai(i=1,2,…m)在每个影响因素Sj(j=1,2,…,n)发生的情况下，实施某种方案所产生的盈利值及各影响因素发生的概率,则可以比较各个方案的期望盈利，从而选择其中期望盈利最高的为最佳方案。

假设某人用10万元进行为期一年的投资，有两种投资方案：一是购买股票;二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势，若经济形势好可获利4万元，形势中等可获利1万元，形势不好要损失2万元。如果存入银行，假设利率为8%，可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%。试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大？

比较两种投资方案获利的期望大小：购买股票的获利期望是E(A1)=4×0.3+1×0.5+(-2)×0.2=1.3(万元）,存入银行的获利期望是E(A2)=0.8（万元），由于E(A1)>E(A2),所以购买股票的期望收益比存入银行的期望收益大，应采用购买股票的方案。在这里，投资方案有两种，但经济形势是一个不确定因素,做出选择的根据必须是数学期望高的方案。

2. 进货问题：设某种商品每周的需求X 是从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，经销商进货量为区间[10，30]中的某一整数，商店销售一单位商品可获利5000元，若供大于求，则削价处理，没处理一单位商品亏价100元，若供不应求，则可以外部调剂供应，此时一单位商品获利300元，为使商品所获利润期望不少于9280，试确定进货量。

解：设进货量a ，则利润为Y =)(X g

)(x g y = =⎩⎨⎧≤≤--≤<-+)10)((100500)30)((300500a x x a x x a a x a =⎩⎨⎧≤≤-≤<+)

10(100600)30(200300a x a x x a a x 期望利润为：⎰⎰⎰++-==3010

30

10)200300()100600([201)(201)(a a dx a x dx a x dx x g Y E 928052503505.72≥++-=a a

解得：220263

a ≤≤， 故利润期望不少于9280元的最少进货量为21单位。

3. 面试方案：设想某人在求职过程中得到了两个公司的面试通知，假定每个公司有三种不同的职位:极好的,工资4万;好的,工资3万;一般的,工资2.5万。估计能得到这些职位的概率为0.2、0.3、0.4，有0.1的可能得不到任何职位。由于每家公司都要求在面试时表态接受或拒绝所提供职位，那么，应遵循什么策略应答呢？

极端的情况是很好处理的，如提供极好的职位或没工作，当然不用做决定了。对于其他情况，我们的方案是，采取期望受益最大的原则。 先考虑现在进行的是最后一次面试，工资的数学期望值为: E （A1）=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+0×0.1=2.7万。

那么在进行第一次面试时，我们可以认为，如果接受一般的值位，期望工资为2.5万，但若放弃(可到下一家公司碰运气），期望工资为2.7万，因此可选择只接受极好的和好的职位。这一策略下工资总的期望 如果此人接到了三份这样的面试通知,又应如何决策呢？

最后一次面试,工资的期望值仍为2.7万。第二次面试的期望值可由下列数据求知:极好的职位，工资4万;好的，工资3万；一般的，工资2.5万;没工作(接