中考数学 第25讲 圆的基本性质
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2)垂径定理及推论： 垂径定理：垂直于弦的直径 平分弦 ， 并且 平分弦所对的两条弧 ． 垂径定理的推论： ①平分弦(不是直径)的直径 垂直于弦 ，并且 平分弦所对的两条弧 ； ②弦的垂直平分线 经过圆心 ，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一 条弧．
2．(2013·兰州)如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分， 如果水面 AB 宽为 8 cm，水的最大深度为 2 cm，则该输水管的半径为( C )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
3．(2014·兰州)如图，CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于 E，连接 BC，BD， 下列结论中不一定正确的是( C )
A．80° B．160° C．100° D．80°或100°
6．(2015·甘南州)如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点 D，交⊙O于点C，且CD＝1，则弦AB的长是__6__．
7．(2014·兰州)如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径， 点 D 在⊙O 上，∠ADC＝54°，则∠BAC 的度数等于_3_6_°_．
第25讲 圆的基本性质
1．主要概念 (1)圆：平面上到定__点__的距离等于_定__长_的所有点组成的图形叫做圆． _定__点_叫圆心，定__长__叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O.
(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫_弧___，连接圆上任意两点的线段叫 __弦__，经过圆心的弦叫直径，_直__径_是最长的弦．
A. 10 B．2 3 C. 13 D．3 2
【点评】 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意 作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
[对应训练] 1．(2014·哈尔滨)如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连
接CD，且AE＝DE，BC＝CE. (1)求∠ACB的度数； (2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB
(5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)： ①点P在圆上⇔_d_＝__r； ②点P在圆内⇔_d_<_r_； ③点P在圆外⇔_d_>_r_．
(6)过三点的圆： ①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆． ②经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角 形的外心；三角形的外心是三边 垂直平分线 的交点，这个三角形叫 做这个圆的内接三角形．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的 外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部．
(3)圆心角：顶点在圆__心__，角的两边与圆相交的角叫圆心角．
(4)圆周角：顶点在圆__上__，角的两边与圆相交的角叫圆周角． (5)等弧：在同圆或等圆中，能够完全重__合__的弧．
2．圆的有关性质 (1)圆的对称性： ①圆是 轴对称 图形，其对称轴是 过圆心的任意一条直线 ． ②圆是 中心对称 图形，对称中心是_圆__心_． ③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的 图形重合．
A．AE＝BE B.A︵D＝B︵D C．OE＝DE D．∠DBC＝90°
4．(2015·兰州)如图，经过原点 O 的⊙P 与 x，y 轴分别交于 A，B 两点， 点 C 是劣弧 OB 上一点，则∠ACB＝( B )
A．80° B．90° C．100° D．无法确定
5．(2015·甘肃省)△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则 ∠ABC的度数是( D )
8．(2015·天水)如图，边长为 1 的1 小正方形构成的网格中，半径为 1 的⊙O 在格点上，则∠AED 的正切值为__2__．
9．(2015·兰州)已知△ABC 的边 BC＝4 cm，⊙O 是其外接圆，且半径也
为 4 cm，则∠A 的度数是 30°或150°
．
【例 1】 (2015·甘南州)⊙O 过点 B，C，圆心 O 在等腰直角△ABC 内 部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O 的半径为( C )
(7)圆的内接四边形： 圆内接四边形的对角互__补__．
(1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造直角三角形； (2)有关直径的问题，常作直径所对的圆周角．
Байду номын сангаас
1．(2013·庆阳)在⊙O 内有一点 P，已知 OP＝ 3，且圆内过点 P 的最短 弦长为 6，则⊙O 的面积是( D )
A．6π B．8π C．10π D．12π
∴∠MBC＝30°，∴CM＝52，BM＝ BC2－CM2＝52 3， ∴AM＝AC－CM＝121，∴AB＝ AM2＋BM2＝7
【例2】 (2014·龙东)直径为10 cm的⊙O中，弦AB＝5 cm，则弦AB所 对的圆周角是 30°或150°．
【点评】 在很多没有给定图形的问题中，常常不能根据题目的条件把 图形确定下来，因此会导致解的不唯一性，这种题一题多解，必须分类讨 论．本题中，弦所对的圆周角不是唯一的，圆周角的顶点可能在优弧上， 也可能在劣弧上，依据“圆内接四边形的对角互补”，可知这两个角互补 ．
(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论： _中相_有等_①②两_一，弦 推条组所、论弦量对弧：心相的、在距等弦圆同，_心圆相__那角或等_．么的等它关圆们系 中所：，对在如应同果的圆两其或个余等圆各圆心组中角量，、都相两分等条别的弧相圆等心、．角两所条对弦的弧、
(4)圆周角定理及推论： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的_一__半_． 圆周角定理的推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的 弧_②9相_0_半°等_．圆的(圆或周直角径所)所对对的的弦圆是周直__角径__是．直__角__；
的长．
解：(1)在△AEB 和△DEC 中，∠A＝∠D，AE＝ED，∠AEB＝∠DEC， ∴△AEB≌△DEC(ASA)，∴EB＝EC，又∵BC＝CE，∴BE＝CE＝BC，∴ △EBC 为等边三角形，∴∠ACB＝60°
(2)∵OF⊥AC，∴AF＝CF，∵△EBC 为等边三角形，∴∠GEF＝60°， ∴∠EGF＝30°，∵EG＝2，∴EF＝1，又∵AE＝ED＝3，∴CF＝AF＝4， ∴AC＝8，EC＝5，∴BC＝5，作 BM⊥AC 于点 M，∵∠BCM＝60°，
2．(2013·兰州)如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分， 如果水面 AB 宽为 8 cm，水的最大深度为 2 cm，则该输水管的半径为( C )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
3．(2014·兰州)如图，CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于 E，连接 BC，BD， 下列结论中不一定正确的是( C )
A．80° B．160° C．100° D．80°或100°
6．(2015·甘南州)如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点 D，交⊙O于点C，且CD＝1，则弦AB的长是__6__．
7．(2014·兰州)如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径， 点 D 在⊙O 上，∠ADC＝54°，则∠BAC 的度数等于_3_6_°_．
第25讲 圆的基本性质
1．主要概念 (1)圆：平面上到定__点__的距离等于_定__长_的所有点组成的图形叫做圆． _定__点_叫圆心，定__长__叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O.
(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫_弧___，连接圆上任意两点的线段叫 __弦__，经过圆心的弦叫直径，_直__径_是最长的弦．
A. 10 B．2 3 C. 13 D．3 2
【点评】 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意 作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
[对应训练] 1．(2014·哈尔滨)如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连
接CD，且AE＝DE，BC＝CE. (1)求∠ACB的度数； (2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB
(5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)： ①点P在圆上⇔_d_＝__r； ②点P在圆内⇔_d_<_r_； ③点P在圆外⇔_d_>_r_．
(6)过三点的圆： ①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆． ②经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角 形的外心；三角形的外心是三边 垂直平分线 的交点，这个三角形叫 做这个圆的内接三角形．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的 外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部．
(3)圆心角：顶点在圆__心__，角的两边与圆相交的角叫圆心角．
(4)圆周角：顶点在圆__上__，角的两边与圆相交的角叫圆周角． (5)等弧：在同圆或等圆中，能够完全重__合__的弧．
2．圆的有关性质 (1)圆的对称性： ①圆是 轴对称 图形，其对称轴是 过圆心的任意一条直线 ． ②圆是 中心对称 图形，对称中心是_圆__心_． ③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的 图形重合．
A．AE＝BE B.A︵D＝B︵D C．OE＝DE D．∠DBC＝90°
4．(2015·兰州)如图，经过原点 O 的⊙P 与 x，y 轴分别交于 A，B 两点， 点 C 是劣弧 OB 上一点，则∠ACB＝( B )
A．80° B．90° C．100° D．无法确定
5．(2015·甘肃省)△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则 ∠ABC的度数是( D )
8．(2015·天水)如图，边长为 1 的1 小正方形构成的网格中，半径为 1 的⊙O 在格点上，则∠AED 的正切值为__2__．
9．(2015·兰州)已知△ABC 的边 BC＝4 cm，⊙O 是其外接圆，且半径也
为 4 cm，则∠A 的度数是 30°或150°
．
【例 1】 (2015·甘南州)⊙O 过点 B，C，圆心 O 在等腰直角△ABC 内 部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O 的半径为( C )
(7)圆的内接四边形： 圆内接四边形的对角互__补__．
(1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造直角三角形； (2)有关直径的问题，常作直径所对的圆周角．
Байду номын сангаас
1．(2013·庆阳)在⊙O 内有一点 P，已知 OP＝ 3，且圆内过点 P 的最短 弦长为 6，则⊙O 的面积是( D )
A．6π B．8π C．10π D．12π
∴∠MBC＝30°，∴CM＝52，BM＝ BC2－CM2＝52 3， ∴AM＝AC－CM＝121，∴AB＝ AM2＋BM2＝7
【例2】 (2014·龙东)直径为10 cm的⊙O中，弦AB＝5 cm，则弦AB所 对的圆周角是 30°或150°．
【点评】 在很多没有给定图形的问题中，常常不能根据题目的条件把 图形确定下来，因此会导致解的不唯一性，这种题一题多解，必须分类讨 论．本题中，弦所对的圆周角不是唯一的，圆周角的顶点可能在优弧上， 也可能在劣弧上，依据“圆内接四边形的对角互补”，可知这两个角互补 ．
(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论： _中相_有等_①②两_一，弦 推条组所、论弦量对弧：心相的、在距等弦圆同，_心圆相__那角或等_．么的等它关圆们系 中所：，对在如应同果的圆两其或个余等圆各圆心组中角量，、都相两分等条别的弧相圆等心、．角两所条对弦的弧、
(4)圆周角定理及推论： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的_一__半_． 圆周角定理的推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的 弧_②9相_0_半°等_．圆的(圆或周直角径所)所对对的的弦圆是周直__角径__是．直__角__；
的长．
解：(1)在△AEB 和△DEC 中，∠A＝∠D，AE＝ED，∠AEB＝∠DEC， ∴△AEB≌△DEC(ASA)，∴EB＝EC，又∵BC＝CE，∴BE＝CE＝BC，∴ △EBC 为等边三角形，∴∠ACB＝60°
(2)∵OF⊥AC，∴AF＝CF，∵△EBC 为等边三角形，∴∠GEF＝60°， ∴∠EGF＝30°，∵EG＝2，∴EF＝1，又∵AE＝ED＝3，∴CF＝AF＝4， ∴AC＝8，EC＝5，∴BC＝5，作 BM⊥AC 于点 M，∵∠BCM＝60°，