用导数求函数的最大值与最小值

a,
a )
a
(
a , )
+
0
极大
-
0
极小
+
f ( x)
3
当 f(
a） 2 2 2 0 ,
y
即 a>1时 ， 方程有三个不同的根； 当 a =1 时 ， 有 两 个 根 。 当 0<a<1时 ， 有 唯 一 根
a a
x
作业：
1.已知函数f(x)=x³ -3ax² +2bx在点x=1处有 极小值-1，试确定a,b的值，并求出f(x)的 单调区间。
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
x=0， x= 1可 能 是 极 值 点 。
练习: 如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在x=±1 时有极值,极大值为4,极小值为0 ,试求a,b,c 的值 .
若 a>0,y ' 5ax ( x
2 2
1 ). x ， y ， y ' 的 变 化 得 由
x （ ， 1） -1 (-1,0) 0
f (0) 4, f (3) 1,
1 3 .
4 3
.
所以, 函数 f ( x) 最小值是
4 3
x 4 x 4 在[0,3]上的最大值是4,
3
练 习
函数 y
1 4 x
4
1 3
x
3
1 2
x ，在
2
［－1，1］上的最小值为(
A.0 B.－2 C.－1
A
)
D.13/12
练习: 如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在 x=±1时有极值,极大值为4,极小值为0 , 试求a,b,c的值 .
提 示 ： y ' 5 a x 3 b x . y ' 0 .得 由
4 2
x ( 5 a x - 3b ) 0
2 2
x 1 是 极 值 点 ， 5 a - 3b 0 又 x
2、函数
y
4x x 1
2
（
C
）
A.有最大值2，无最小值 B.无最大值，有最小值-2 C.最大值为2，最小值-2 D.无最值
3、函数
f ( x ) 2 x co s x在 （ - , + ) 上 （
）
A.是增函数 C.有最大值
B.是减函数 D.最小值
例3、求f ( x)
1 2
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1， 5]内的最大值和最小值
解:f ′(x)=2x- 4 令f′(x)=0，即2x–4=0，得x =2 x
f (x )
1
（1，2） -
2 0
2
（2，5） +
5
f (x)
3
11
故函数f (x) 在区间[1，5]内的最大值 为11，最小值为2
若函数f(x)在所给的区间I内有唯一的极值，则它是函数的 最值
若 a < 0 , y ' 5 a x ( x 1 ). x ， y ， y ' 的 变 化 得 由
2 2
a -3 b -5 c 2
练习3：
求 函 数 y x - 3 a x 2( a 0 ) 的 极 值 , 并 问 方 程
3
x - 3ax 2 0何 时 有 三 个 不 同 的 实 根 ?
2.三次函数f(x)=x3+ax2+x在区间[-1,1] 上有极大值和极小值，求常数a的取值 范围.
3.3.3 最大值与最小值
新课讲授
一.最值的概念(最大值与最小值) 如果在函数定义域I内存在x0,使 得对任意的x∈I,总有f(x) ≤f(x0), 则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的 最大值. 最值是相对函数定义域整体而言的.
x = x3
(2) 函数 y = f (x) 在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有, 最大值和最小值分别是什么? y y f (x) ymax f (a)
ymin f ( x1 )
a O
x1 x2 x3 b
x
二.如何求函数的最值?
(1)利用函数的单调性;
如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值.
f ( x )
（0，1） 1 0
极小
(1,+∞) +
+
0
极大
-
0
无极值
f ( x)
a b c 4 a 3 a b c 0 b 5 5 a 3b c 2
练习: 如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在x=±1 时有极值,极大值为4,极小值为0 ,试求a,b,c 的值 .
复习 求函数f(x)的极值的步骤: (1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根(x为极值点.) (3)用函数的导数为0的点，顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间，并 列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的 值的符号，求出极大值和极小值.
练习：求函数 y
2x
8 x
的极值
x=-2时，y有极大值-8， 当x=2时，y有极小值8
(2)利用函数的图象; 如:求y=(x－2)2+3在区间[1,3]上的最值.
(3)利用函数的导数;
求函数 y = f (x) 在[a,b]上的最大值与 最小值的步骤如下:
(1) 求函数 y = f (x) 在 ( a, b ) 内的极值; (2) 将函数 y = f (x) 的各极值点与端 点处的函数值f (a), f (b) 比较, 其中最 大的一个是最大值, 最小的一个是最 小值.
x sin x在区间
[0，2π]上的最值.
解：
函数f(x)的最大值 是π , 最小值是0.
已知三次函数f(x)=ax³ -6ax² +b.问是否存在实数a,b，使 f(x)在[-1,2]上取得最大值3，最小值-29,若存在，求出 a,b的值；若不存在，请说明理由。
已知三次函数f(x)=ax³ -6ax² +b.问是否存在实数a,b，使 f(x)在[-1,2]上取得最大值3，最小值-29,若存在，求出 a,b的值；若不存在，请说明理由。
例2 求函数 f ( x)
1 3
x 4 x 4在[0,3]上的最大值与最小值.
3
解:
令 f ( x) x 2 4 0, x [0,3] 解得 x = 2 . 当0≤x<2时，f’(x)<0;当2<x≤3时，f’(x)>0
所以当 x = 2 时, 函数 f (x)有极小值 f (2) 又由于
x = x5
(2) 函数 y = f (x) 在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有, 最大值和最小值分别是什么?
ymax f ( x3 )
ymin f ( x4 )
x1 x 2 x3
x4
x5
观察下面函数 y = f (x) 在区间 [ a , b ] 上的图象, 回答: (1) 在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值? 极大: x = x2 极小: x = x1
a , b
f (x)
注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一;
2.最大值一定比最小值大.
观察下面函数 y = f (x) 在区间 [ a , b ] 上的图象, 回答: (1) 在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值? 极大: x = x1 极小: x = x2
x = x3 x = x4
3
何 时 有 连 个 根 ?有 唯 一 的 实 根 ?
a>0,y ' 3x
2
3a. x， y， y'的 变 化 得 由
a, a )
x
f ( x )
（ ， a） a (
a
(
a , )
+
0
极大
-
0
极小
+
f ( x)
x
f ( x )
（ ， a） a (