动量传输的微分方程

综合：任一个参量A=A（x,y,z,t）
DA A A A A A ，）A （ x y z Dt t t x y z
其中
i j k x y z
（哈密顿算子）→ 是具有微分性与矢量性的双重性质
稳定流动的流场中的任意点的流动参量不随t
改变，但不同点的流动参量可以是不同的， 非稳定流动的流场中流动参量不但可以随位置 不同而变，而且随时间不同也在改变， 欧拉法比拉格朗日法研究流体力学较优越： ①利用欧拉法得到的是场，便于用场论这一 数学工具来研究， ②利用欧拉法得到的加速度是一阶导数，而 拉格朗日法得到的是二阶导数，在数学上求解 容易些， ③工程上并不关心每一质点的来龙去脉。
dx x x t 非奇次常系数线性方程 dt dy y y t dt
x C1e t 1 t y C2 e t 1
t
x，y随t变化规律
当t=0,x=-1,y=-1代入
C1 C2 0
x t 1 消去t x y 2 y t 1
过M（-1，-1）点的迹线方程为：
讨 本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法）， 论：
即各空间点上速度分量随时间的变化规律，仍 然可由此求出－指定流体质点在不同时刻经历 的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。
D a Dt

d x x x dx y dy z dz ax dt t x dt y dt t dt x x x x x y z t x y z
ay
d y dt

y t
x
y x


如将不易扩散的染料滴入水流中，能见到染了色的流体质点的运动轨迹
流线:是指某一瞬时流场中一组假想的曲线，曲线 上每一点的切线都与速度矢量相重合。
2 流线的微分方程：
由流线定义可推出空间点的速度与流线相切。
dx x cos s ，x） （ ds
dy y ds
为区别各个流体质点，取初始位置a , b, c（拉格朗日变数）作为各个质点的标识。
•运动方程：经dt后运动轨迹（不同时刻某一固定质 点的运动轨迹） x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
同理：如固定t ，可得到不同流体质点在空间的位置分布 速度：
y y y ' a，b，c，t） （ t
4.层流与湍流
雷诺实验(1883) 1. 经典实验 哈根实验(1839) 林格伦实验(1957) 2. 雷诺数
Re
流场显示 阻力测量 热线测速
Vd
μ
V 流速，d 特征长度，ρ、μ 流体密度、粘度 圆管临界雷诺数 Re cr 2300
5.内流与外流
按流场是否被固体边界包围分类
管道流（不可压缩流体）
则
dx
x

dy
y

dz
z
dt
（t为自变量）
——迹线微分方程式
例题

已知有一流场，其欧拉表达式为：
Vx=x+t
vy= -y+t
vz=0
求此流场的流线方程式及t=0时过M(-1,-1) 点的流线和迹线。
1.由流线微分方程：
dx dy xt yt
两边积分：
ln x t） C1 ln y t） C2 （ （
喷管流（可压缩流体） 内流
明渠流
流体机械 粘性边界层
外流
外部势流
6.常用的流动分析方法
质量守恒定律 基本的物理定律 动量定律（牛顿第二定律） 能量守恒定律（热力学第一定律） 系统与控制体分析法
基本的分析方法
微分与积分分析法
量纲分析法
2.1.3 描述流体质点运动的两种方法
1、拉格朗日法：（拉氏法，质点法，Lagrange法） 着眼于流体质点，以各个运动着的流体质点作 为研究对象，跟踪观察流体质点的运动轨迹，以及 运动参量随时间的变化，综合流场中所有的流体质 点以弄清全部流场的情况。
2.一维、二维、三维流动
在设定坐标系中，有关物理量依赖于一个坐标，称为一维流 动，依赖于二个坐标，称为二维流动，依赖于三个坐标，则称为 三维流动。平面运动和轴对称运动是典型的二维运动。
3.按流场中是否存在旋转分为：
有旋运动和无旋运动
一维流动：A=f(x,t) 二维流动：A=f(x,y,t) 三维流动：A=f(x,y,z,t)
⑵速度
（x，y，z，t）
xi y j z k
分解为 x (x,y,z,t)
y (x,y,z,t) z
(x,y,z,t)

2 x 2 y
2 z
⑶加速度：速度对时间的全导数 两个固定空间点速度不同，反映出流体质点通过时参量发生 变化，故产生了加速度变化。
参量，但不能表明流过的数量，故引入流管、 流束和流量的概念。
1、 流管

定义：在流场中取任意封闭曲线，通过曲线上 各点作流线，所组成的管状表面。 说明： ⑴流管是由流线组成的；
（流管上任取一条线，此线上任取一点，通过此点的流体质点速度方向与流线相切）
⑵象刚体的管壁，限制流体运动在管内或管外。
2 、流束和微小流束
⑴着眼于充满运动流体的空间，以流场中无数个固定的空间点 为研究对象，寻求流体质点通过这些空间点时，运动参量随时 间变化规律而不关心个别质点的行为。例如在气象观测中广泛 使用欧拉法。
欧拉法应用什么物理量来表征空间点上流体运动状态变化呢？ 因不同时刻将有不同的流体质点经过空间的某一固定点， 所以站在固定点上就无法观测流体质点的位置随时间的变化， 从而用位置随时间的变化去描述流场是不可行的， 但是不同时刻流体指点经过空间某一固定点的速度则是可 以观测的，所以欧拉法中不选择位置而是以速度作为描述流体 在空间变化的变量，研究其在空间的分布。 实际研究问题时，区分清楚哪个质点处于哪个空间点上对多 数问题是没有任何意义的，只要稿清楚在某一时刻流体在其存 在区域内各个空间点上的速度分布就行了。
具体如下：一流体质点在t1时刻过某一空间点有一运动参量，另一质点在t2时刻过同一空间点 有另一运动参量，可见对流场中某个任意固定空间点，运动参量是随t 发生变化，统计流场 中所有固定空间点时，则全部流场中的运动参量是空间坐标和时间的函数 A(x,y,z,t)
全部流场情况：如
(x,y,z,t)
1）当x,y,z不变时，改变t时表示空间某固定点的速 度随时间的变化规律 2）当t不变，x,y,z改变时，说明某一时刻，各个空 间固定点上的速度分布规律。 比较一下拉氏法V(a,b,c,t)表示同一质点V随t变化情 况。
dz z ds

dx
x

dy
y

dz
z
t
（t为参考量，为一定数）
说明：速度分量与微元弧段坐标分量间的一一对应关系。
ds 0

i
or
j
k
x y z 0
dx dy dz
即：
dx dy dz vx v y vz
3 说明： ①流线上各点的流速与流线相切 ②通过空间的某一点同一时刻只有一条流线 ③流线形状与时间有关（稳态流场中无关） ④流线密集处，流速较大 流线与迹线的联系： ①二者都是空间流场中的曲线蔟，均与流体运 动有关 ②稳定流动时，流线与迹线相重合，流线形状不变 ③只有在滞点（驻点）处速度为0，奇点速度为无 穷大时，可以相交。
整理：
ln x t） y t） C （ （
（x t）（ y t） C zB
讨论：⒈）取流场中任一点A（1，2，3） t=1时，C=2，B=3
流线方程式为：
（x 1 ）（ y 1 2 ） z 3
⒉） t=1.5时，流线方程为 （x+1.5）（-y+1.5）=1.25 z=3

引入意义：有了流束概念就可以计算流量，因为在 微小流束有效截面中流线的流动参量相同。 流束：过流管横截面上各点作流线，得到充满流管 的一束流线簇，称为流束。 微小流束：断面无穷小（dA）的流束称为微小流束。 说明： ⑴dA任何点处运动参量是不变的； ⑵当dA→0时，微小流束→流线 ⑶流管边界以内的全部流体（如管道或渠道中流体） 称为总流。
思考题

⒈研究流体运动的拉格朗日法和欧拉法的实质 是什么？
⒉在欧拉法中加速度的表达式是什么？何谓时 变加速度和位变加速度？


⒊何谓流线、迹线、一维流动、二维、三维流 动、稳定流动？非稳定流动？ ⒋流线和迹线有何区别和联系？

2.2.2 流管、流束和流量
研究目的：流线只能表示流场中质点的流动
全部流场情况：
（1）对于某个确定的流体质点，a,b,c为常数，而t是 变量时，得到某一质点在不同时刻的运动规律； （2）对于某个确定时刻，t为常数，a,b,c为变量时， 得到某一时刻不同流体质点的运动规律。
该法特点：
①流场中跟踪某一个质点来测量某个参量是极其困难的
②速度为偏微分量，很少采用
2．欧拉法（Euler法)
说明：不同时刻通过同一点流线不同。
⒊）当t=1时，过另一空间点A’(1,1.5,3)时 C=1，B=3 流线方程：
（x 1 ）（ y 1 1 ） B3
说明：同一时刻不同空间点的流线不同。
2. 当t=0时，x=-1,y=-1代入C=-1 过M（-1，-1）点流线方程为xy=1的双曲线 3. 迹线方程：
y
y y
z
y z
d z z z z z az x y z dt t x y z
总加速度包括： 位变加速度：流体质点通过两个不同空间点时，速度发生变 化产生的加速度，由于流场不均匀而造成的。
时变加速度：流体质点通过某一固定点时，速度随时间变 化而产生的的加速度，由于流场的不稳定而造成的。
2.2 流体运动的基本概念
2.2.1 流线和迹线
研究目的： 除去研究流体质点的流动参量随时间变化外，为使整 个流场形象化，从而得到不同流场的运动特征 同一瞬时不同质点流动参量关系——流线研究法 同一质点在不同时间流动参量关系——迹线研究法 ⒈迹线：是流体质点在一段时间内的运动轨迹。 说明： ⑴是由拉氏法得到的空间中的一条曲线 ⑵迹线是无数个曲线簇 ⑶迹线与流体质点有关，与时间无关
3、有效截面、流量；平均流速
有效截面：流体是在流束中沿着无数个流线流动的， 与流体流动相垂直的表面叫有效截面。 说明： ①与流线（束）全部垂直的横截面； ②可以是平面、曲面
第二章 动量传输的微分方程
§2.1 研究流体运动的两种方法
§2.2 流体运动的基本概念
§2.3 连续性方程 §2.4 欧拉运动微分方程 §2.5 实际流体运动方程（N-S方程）
§2.6 伯努利方程
§2.7 实际流体定常总流伯努利方程
2.1描述流体运动（或流场运动） 的两种方法
2.1.1场的概念：
非稳定流动
稳定流动
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4.迹线的微分方程
当以欧拉法表示流体运动物性时，可用欧拉法与拉氏 法相互转换求出描述迹线的方程式。 如一流场的欧拉表达式为：
x f（x，y，z，t） y f（x，y，z，t）
z f（x，y，z，t）
dx dy dz x y z dt dt dt
z z z ' a，b，c，t） （ t
x x x' a，b，c，t） （ t
加速度：
x 2 x ax 2 x（a，b，c，t） '' t t y 2 y ay 2 y（a，b，c，t） '' t t
z 2 z az 2 z（a，b，c，t） '' t t
1.流场：流体质点运动的全部空间。 2.流场分类： 通道流场（径流流场）：径直流动过程中没有遇 到障碍物的流场. 绕流流场：遇到障碍物，流体要分流绕流的流场 3.运动参量：指用以表示流体运动特征的一切物理 量。

2.1.2 流动的分类： 1.定常流动和非定常流动
流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化， 则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。