对函数极限概念的认识与教学方法研究文献综述

毕业论文文献综述

数学与应用数学

对函数极限概念的认识与教学方法研究

一、 前言部分

在我们日常生活中还是学习中，我们会遇到很多类似无穷的问题，这时就需要我们用极限的思想来解决它。他不仅仅涉及我们的生活学习，而且涉及到了很多科学方面的研究，比如科学家们在制造反导系统的时候需要把导弹的路线细分成无数的线段之和，这时必须用到微分极限的思想。可见极限是一个能解决实际问题的理论研究，我们也就有了研究极限的必要性，但是我们研究的极限没有涉及比较深奥的方面，只是初步的研究函数极限的基本概念，性质和极限存在的条件，由数列的极限引出函数极限的方法来进行教学。本文课题研究了数列极限，函数极限，左右极限，无穷小，无穷大，无穷大无穷小的比较，重点介绍了求极限的各种方法，分别为1：零比零的形式，2：无穷比无穷的形式3：无穷减去无穷的形式4：零乘以无穷的形式5：零的零次方形式6：类未定式，其中零比零的形式的求解法可通过分解因式或有理化得方法进行求解，消去零因子再通过运算法则或连续函数的求解法求解或通过利用等价无穷小的运算法则。无穷比无穷的形式可通过洛毕达法则或通过变量替换化为零比零型。无穷减去无穷的形式可以通过通分，有理化，变量替换来求解。零乘以无穷的形式可用可以用法则或抓大头的方法来求解。零的零的方可以通过对数恒等式化为零比零形或无穷比无穷的形式。类未定式是指未能确切肯定某种运算结果的极限，例如在求某个函数极限的过程中)(x f 与)(x g 均无界，则)(x f +)(x g 的极限就不能肯定其不存在，而要具体问题具体分析，又如，若)(x f 有极限，)(x g 无极限，)(x g 的极限也能肯定其不存在。本文还研究极限在经济等方面的应用。目标是使我们能够熟练掌握极限的定义性质等，并学会各种求极限的方法解决实际问题以及如何使同学们更好的学会极限函数的方法和教学步骤。[]1

二、主题部分

18世纪的许多科学家如达兰贝尔，欧拉，拉朗日等都提出了自己的看法，都不同度用极限概念作为微积分基础，占主要地位的是“无穷小方法”，至于“无穷小”到底是什么，没有公认的精确定义。[]

2在19世纪20年代以后，柯西在182l —1823年间出版了《分析教程》、

《无穷小计算讲义》两本书，柯西给出了极限的精确定义，终于解决了“无穷小”问题，确立了极限论作为微积分的基础。极限概念是微积分学的奠基概念之一，微积分中几乎所有的重要概念，如连续、导数、定积分、重积分、级数等的定义都是建立在极限概念的基础上，且极限方法揭示了常量与变量、有限与无限、直线与曲线、匀速运动与变速运动等一系列对立统一的矛盾辩证关系及其相互转化，它是微积分教学的基础，也是微积分解决问题贯穿始终的基本方法。现将已有文献的结果综述如下：

一：函数极限的定义：

因为数列{}n x 可看作自变量为n 的函数n x =)(x f ,n 为正整数，所以数列{}n x 的极限为a ，就是当自变量n 取正整数时且无限增大（即n ∞→）时，对应的函数值)(x f 无限接近于确定的数a ，把极限概念中的函数为)(n f 而自变量的变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个常数那么这个确定的数就叫做自变量在这一变化过程中函数的极限。这个极限时与自变量的变化过程不同，函数极限就表现为不同的形式，数列极限看作函数)(n f 当n ∞→时的极限，这里的自己变量的变化过程是n ∞→。下面讲述自变量的变化过程为其他情形时函数)(x f 的极限，主要研究两种情形：

（1） 自变量x 任意接近于某个有限值0x 或说x 趋于有限值0x 时，对应的函数值)

(x f 的变化情形。

（2） 自变量x 的绝对值x 无限增大即趋于无穷大时，对应的函数值)(x f 的变化情

形。

1：自变量趋于有限值时函数的极限

现在考虑自变量x 的变化过程为0x x →的过程中，对应的函数值)(x f 无限接近于一个确定的数A ，那么就是说A 是函数当0x x →时的极限，当然这里我们首先假定)(x f 点0x 的某个去心领域内是有定义的。

定义1 设函数)(x f 在点0x 的某个去心领域内有定义，如果存在常数A ，对于任意的正数ε（不论它多少小），总存在正整数δ，使得当x 满足不等式0<0x x -<δ时，对应的函数值)(x f 都满足不等式

A x f -)(<ε

那么常数A 就叫做函数)(x f 当0x x →时的极限，记作)(lim

0x f x x →=A

如果这样的常数A 不存在那么称0x x →时，)(x f 没有极限，习惯上表达

)(lim 0x f x x →不存在，定义1可以简单地表达为)(lim

0x f x x →=A ↔>∀ε0时，存在δ>0当0<0x x -<δ时，有A x f -)(<ε

[]3

对极限的定义的理解注意以下几点： （1） 定义中的0x x -<δ，表示x 与0x 的距离小于δ，而0<0x x -<δ表示x ≠0x ，

因此0<0x x -<δ，表示)(x f 有没有极限与)(x f 在点0x 是否有定义并无关

系。

（2） 定义中的ε刻画)(x f 与常数A 的接近程度，δ刻画x 与0x 的接近程度，ε是任

意给的，δ一般是是随着ε的变化而确定的。

（3） 因为初等函数在其定义域内都是连续的，所以求函数的)(x f 在0x 处的极限只

要求函数的值(f 0x ）即可。[]4

2 自变量趋于无穷大时函数的极限

如果在∞→x 的过程中，对应的函数值)(x f 无限接近某个确定的数值A ，那么叫做函数)(x f 当∞→x 时的极限 如∞→x lim

656x x +-656x x - []5

定义2 设函数)(x f 当x 大于某个正数时有定义，如果存在常数A 。对于任意给定的正数ε（不论多少小）总存在正数X ，使得当x 满足不等式x >X 时，对应的函数值)(x f 都满足不等式A x f -)(<ε ，函数那么叫做)(x f 当∞→x 得极限，记作

)(lim

x f x ∞→=A ，定义2可以简单地表达为

)(lim x f x ∞→↔0>∀ε，存在X>0,当x >X 时，有A x f -)(<ε。例如)31ln()21ln(lim x

x x ++∞→ []6 如果x>0且无限增大（记作∞→x ），那么只要把上面的定义中的x >X 改为x>X,就可