38复合函数的导数[法则4]如果函数y=fu对u可导,函数u=gx对x可导,

y＝f(x)在x处可导，且 1.反三角函数的导数
yx'

1 或f '(x)
x
' y
1 g' ( y)
⑴ (arcsinx)'＝ 1 (-1＜x＜1)
1 x2
⑵ (arccosx)'＝ 1 (-1＜x＜1)
1 x2
⑶ (arctgx)'＝ 1 (-∞＜x＜+∞)
1 x2
⑷
(arcctgx)'＝
∴y而x'x＝y'＝x1'y(l＝ogyayl)n'a＝＝ayxll1nnaa

a
x
1 ln
a
例 3.24 求下列函数的导数 ⑴ y＝x3ex ⑵ y＝e3x＋a5x ⑶ y＝eaxcosbx
解： ⑴ y'＝3x2ex＋x3ex ⑵ y'＝e3x·3＋a5xlna·5
＝3e3x＋5a5xlna ⑶ y'＝eax·a·cosbx＋eax(－sinbx·b)
3.8 复合函数的导数
[法则4]
如果函数y＝f(u)对u可导，函数u＝g(x)对x可导，
则复合函数y＝f[g(x)]对x也可导，且yx'＝yu'·ux'。 即复合函数对自变量的导数等于函数对中间变量的
导数乘以中间变量对自变量的导数。
证明：设Δy、Δu、Δx分别为y、u、x的增量
因为u＝g(x)在x处可导，所以u＝g(x)在x处连续
例3.42 设y＝e-axsinbx，求dy 解：dy＝d(e-axsinbx)＝e-axd(sinbx)＋sinbxd(e-ax)
＝e-axcosbx·bdx－ae-axsinbxdx
＝e-ax(bcosbx－asinbx)dx
[用换元法求微分] 例3.43 求函数y＝esinx的微分
解：令u＝sinx，则du＝cosxdx 原函数换元后变为y＝eu 则dy＝eudu＝esinxcosxdx
⑴ y 2x 1
⑵
1 y (1 3x)4
⑶ y cos2 (2x )
3
解：⑴ 设y＝ u ，u＝2x＋1，
yx’＝yu’·ux’＝
2
1 u

2

1 u
1 2x 1
⑵ yx'＝-4(1－3x)-5(1－3x)'＝12(1－3x)-5
⑶ yx'＝ 2cos(2x )[sin(2x )] 2
依此类推，y＝f(x)的 n－1 阶导数的导数叫做 f(x)的 n 阶导数，记作f(n)(x)或y(n)，
二阶及二阶以上的导数，统称为高阶导数。
例 3.33 设y＝excosx，求y'和y” 解：y’＝excosx＋ex(－sinx)
＝ex(cosx－sinx) y”＝ex(cosx－sinx)＋ex(－sinx－cosx)

1
(x x2 1)' dx
x x2 1
x
1 x2

1
1
[注意]
x
x
2

1
dx

dx x2 1
在求微分的结果中，千万不要漏写最后面的dx
[微分公式表]
y＝C (C为常数)
dy＝0
y＝xα(α为实数)
dy＝αxα-1dx
x ln a
y＝logax dy＝ 1 dx y＝lnx
[注意] 用换元法解题时，在最后结果里不应有中间变量
u，只能包含x。
[习题选讲]
P.171 复习题三 4⑴
证明可导偶函数的导函数为奇函数
证明：
设f(x)是偶函数，
则f(－x)＝f(x)，f(－x＋Δx)＝f(x－Δx)
设g(x)＝f'(x)，则g(x)＝lim f (x x) f (x)
y＝arctgx dy＝ 1 dx y＝arcctgx dy＝ 1 dx
1 x2
1 x2
[微分的四则运算法则]
⑴ d(u±v)＝du±dv
⑵ d(uv)＝udv＋vdu
⑶
d
u v


vdu udv v2
例3.41 设y＝2x4－3ex＋cosx，求dy
解 ： dy ＝ d(2x4 － 3ex ＋ cosx) ＝ d(2x4) － d(3ex) ＋ d(cosx) ＝ 8x3dx － 3exdx － sinxdx ＝ (8x3 － 3ex － sinx)dx
等式两边同时对x求导，得 3x2＋3y2·y'＝3ay＋3ax·y'
整理得
y'
ay y2

x2 ax
2 1
[对数求导法] 例 3.29 求y＝ (x 1)(x 2) 的导数
(x 3)(x 4)
解：两边取对数，得
lny＝ [ln|x-1|＋ln|x-2|－ln|x-3|－ln|x-4|] 两边对x求导，得 1 y' 1 ( 1 1 1 1 )
x
Δy≈f'(x)Δx
我们把等式右边的部分称为函数y的微分，记作dy
即Δy≈dy
2. 微分的定义 设函数y＝f(x)在x处可导，则称f'(x)Δx为函数y
在点x处的微分，记作dy，即dy＝f'(x)Δx
考察函数y＝x，则dx＝dy＝(x)'Δx＝Δx 故微分又可表示为dy＝f'(x)dx
3. 微商的概念
＝－2exsinx
例 3.36 求函数y＝ax的n阶导数 解：y’＝(lna)ax
y”＝(lna)2ax ……………… y(n)＝(lna)nax
3.13 微分的概念及其几何意义
1. 微分是函数增量的近似值
∵ lim y f '(x)
x0 x
∴ y f '(x) O(x) f '(x)
y＝lnx y＝ex
y’＝
1 x
y’＝ex
y＝cosx y’＝-sinx
y＝ctgx y’＝-csc2x
y＝arccosx y＝arcctgx
y’＝
1 1 x2
y’＝

1
1 x
2
3.10 隐函数的导数
所谓隐函数是指y是x的函数，但y与x之间的关系
只能由F(x,y)＝0给出，而不易化成y＝f(x)的形式 的函数。 例 3.27 已知x3＋y3＝3axy，求yx' 解：把y看成是x的函数，则y3、3axy是复合函数，
当Δx→0时Δu→0。
由
y x

y u

u x
和
lim
x0
y u

lim
u0
y u
可得
lim y lim y lim u lim y lim u
即x0 yxx’＝xyu0’·uux’x0 x u0 u x0 x
例 3.17 求下列函数的导数
3
3
4sin(2x ) cos(2x ) 2sin(4x 2 )
3
3
3
例 3.20 求下列函数的导数
⑴ y＝ln cosx＋cos(lnx)
⑵ y＝(2x2－3) 1 x2
解：⑴ y' 1 (sin x) [sin(ln x)] 1
c os x
x
tgx sin(ln x) x
a2 x2
a
⑶
y'
1
1 (2x)2
2

2 1 4x2
2.指数函数的导数
⑴ (ex)'＝ex
证明：
∵指数函数y＝ex与对数函数x＝lny互为反函数，
ye x
11
而xy'＝(lny)'＝
∴yx'＝
1
x
' y
＝y＝ex
⑵ (ax)'＝axlna
证明：
∵指数函数y＝ax与对数函数x＝logay互为反函数，
x0
x
g(-x)＝ lim f (x x) f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
x0
x
lim f [x (x)] f (x) ＝－g(x)
x0
x
∴g(x)是奇函数。
作业： P.161
P.170 P.171
3 ⑴⑵⑷⑸⑹⑺⑼⑾⑿⒀⒁， 4 ⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑿, 6 ⑶⑷,8 ⑵⑶⑷, 10 ,11 2 ⑴⑵⑶⑷⑹，3 2 ⑴⑵⑶⑷⑹,

1
1 x
2
(-∞＜x＜+∞)
例 3.20 求下列函数的导数
⑴ y＝x arcsinx ⑵ y＝arccos x (a＞0)
a
⑶ y＝arctg2x
解：
⑴ y' arcsin x x
1
arcsin x
x
1 x2
1 x2
⑵ y' 1 1 1
1 ( x)2 a
⑵
y'
4 x(1
1
x2)2

(2x2

3)
1
(1
x
2
)

1 2
2x
2
4x 1 x2 x(2x2 3) 6x3 x
1 x2
1 x2
3.9 反函数的导数
[法则5]
已知严格单调函数y＝f(x)是严格单调函数x＝g(y)
的反函数，且x＝g(y)在点y处的导数不为零，那么
＝eax(acosbx－bsinbx)
[导数公式表]
y＝C (C为常数)
y＝xα(α为实数)
x ln a
y＝logax y’＝ 1
y＝ax
y’＝axlna
y＝sinx y’＝cosx
y＝tgx y’＝sec2x
y＝arcsinx y’＝
y＝arctgx
y’＝
1 1 x2ห้องสมุดไป่ตู้
1 x
2
1
y’＝0 y’＝αxα-1
∵dy＝f'(x)dx
∴
f'(x)＝
dy dx
即导数等于函数的微分与自变量的微分的商，
叫做微商
同样，我们也可以用
d 2 y 表示
dx2
f”(x)，
………………
用 d n y 表示 f(n)(x)。
dxn
4. 微分的几何意义
如图，
PN＝Δx，P'N＝Δy， f'(x)＝tg∠TPN＝ TN
PN
TN＝f'(x)Δx＝dy
y
x
所以 y' xsin x (cosx ln x 1 sin x)
x
3.12 高阶导数 [定义]
函 数 y ＝ f(x) 的 导 数 f'(x) 的 导 数 [f'(x)]' 叫 做 f(x)的二阶导数，记作f”(x)或y”，
y ＝ f(x) 的 二 阶 导 数 f”(x) 的 导 数 [f”(x)]' 叫 做 f(x)的三阶导数，记作f'''(x)或y'''，
P’ T
PN
所以，Δy表示曲线的纵坐标的改变量 dy表示切线的纵坐标的改变量。 这就是微分的几何意义。
3.14 微分的运算
由微分表达式dy＝f’(x)dx可以看出，求函数的
微分只要用函数的导数乘以自变量的微分即可。
例3.40 求函数y＝ ln(x x2 1) 的微分
解：dy＝[ ln(x x2 1)]’dx
y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
所以 y' 1 (x 1)(x 2) ( 1 1 1 1 )
2 (x 3)(x 4) x 1 x 2 x 3 x 4
例 3.30 求y＝xsinx的导数
解：两边取对数，得 lny＝sinx·lnx
两边对x求导，得 1 y' cos x ln x sin x 1
dy＝ 1 dx
x
y＝ax
dy＝axlnadx y＝ex
dy＝exdx
y＝sinx dy＝cosxdx y＝cosx dy＝-sinxdx
y＝tgx dy＝sec2xdx y＝ctgx dy＝-csc2xdx
1 x
2
1
y＝arcsinx dy＝
dx y＝arccosx dy＝ 1 dx
1 x2