三垂线定理及其逆定理

求证：AC1 平面A1BD
D1 A1
C1 B1
D A
C B
一些例子
• 求二面角的平面角
已知：如图，ABCD A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1， 底面边长为2，E是侧棱BC的中点
求：面C1DE与面CDE所成二面角的正切值
D1
C1
A1 D
A
B1
C FE
B
复习回顾：1、直线和平面垂直的定义及判定定理
P
已知：PA，PO分
别是平面 的垂线和斜
线，AO是PO在平面
A
O a 的射影,a ,a ⊥PO
α
求证：a ⊥AO
线射垂直 定逆定理理线斜垂直
三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂 直。
（× ） D
⑷ 若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，
A
则 a⊥b
（√ ）
C1 B1
C B
例2 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
证明：作AO⊥平面BCD于点O，
连接BO，CO，DO，则BO，
A
CO，DO分别为AB，AC，
AD在平面BCD上的射影。
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面 ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC
P 证明：∵ P 是平面ABC 外一点
PA⊥平面ABC ∴PC是平面ABC的斜线 ∴∵ABCC是 平PC面在A平BC面且ABACC上⊥的B射C 影A ∴由三垂线定理得
PC ⊥ BC
B C
三垂线定理解题的关键：找“三垂”
➢垂线最重要
线射垂直
线斜垂直
问题：三垂线定理中包含那些垂直关系？
➢线面垂直 ➢线射垂直 ➢线斜垂直
P
A Oa α
探讨：如果将定理中“在平面内”的条件
去掉，结论仍然成立吗？
例如：当 b⊥ 时，
b⊥OA
但
P
b不垂直于OP
b
b
Oa αA
注意： 直线a 一定要在平面内，如
果 a 不在平面内，定理就不一定成 立。
线射垂直
定 理
逆 定 理
线斜垂直
练习：
判断下列命题的真假：
⑴ 若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×）
D1
⑵ 若 a是平面α的斜线，平面β内
A1
的直线b垂直于a在平面α内的射
影，则 a⊥b
（× ）
⑶ 若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在另一平面β内的射
影则a⊥b
解题 一、找线面垂直
P
回 二、找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的
A Oa
顾
一条直线垂直
α
三垂线定理的逆定理
线射垂直 P
？ P 线斜垂直
A Oa α
平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
A Oa α
平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
2、斜线的定义、斜足、直线在平面
内的射影。 l
l
A
α
αm
n
思考：平面内有没有直线与平面的一条斜线垂
直 ？如果有，有多少条？平面内的直线应该满足 怎样的条件？
已知 ：PO、PA分别是平面的垂线、斜线， AO是PO在平面上的射影。a ，a⊥AO。
求证：a⊥pA
P
O
百度文库Aa
P
证明：
PO⊥
a
O
Aa
PO⊥a AO⊥a PO∩AO=O
a⊥平面PAO
PA平面PAO
a⊥PA
小结：
P
➢定理中需要“一面、四线、三垂直”
Aa
O
➢三垂线定理的实质是空间两直线垂直的判 定定理（思想的转化）
三垂线定理及其逆定理
P
A
B
C
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥ 平面AC,DD1为平面AC的垂线，BD1为平面AC的 斜线。
D1
思考：
A1
1、直线BD,AC和BD1之间有 怎样的位置关系？
D
2、总结：
A
C1 B1
C
B
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个
平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂 直。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
B
D
于是O是△BCD的垂心，
O
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
C
例子
如图，已知在直角三角形ABC中，C=90o，AC=18， BC=32，D是AB的中点，DE 平面ABC，DE=12, 求：E到AC、BC的距离
E A
F
D
C
G
B
举一个例子
如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1，