梅森素数与完全数

梅森素数与完全数
(本文已在《中小学数学》（初中版2015年11期) 上发表 湖北省潜江市江汉油田教育实业集团教科院 舒云水 433124
人教版五年级下册数学课本介绍了完全数，人类寻找这48个完全数是经过了一个漫长艰难的过程，本文将作一个介绍﹒
寻找完全数与寻找梅森素数是联糸在一起的，下面先谈梅森素数的寻找历史﹒
1. 梅森素数
梅森（1588—1648）是法国数学家，自然哲学家和宗教家﹒他在1644年提出了梅森素数﹒梅森的提出是探索表素数公式的开始，在数论史上具有开拓性的意义﹒将形如)1,(12M >∈-=n N n n n 的数叫做梅森数，其中是素数的梅森数叫做梅森素数，梅森提出的问题具有启发性，但他当时的判断有误﹒他说，对p=2,3,5,7,13,17,31,67,127,257, P M 是素数，而p<257的其它素数对应的P M 都是合数﹒梅森是如何得到这一结论的呢？无人知晓﹒到了1947年有了台式计算机后，人们才能检查他的结论，发现他犯了五个错误，25767M M ，不是素数，而1078961M ,,M M 是素数﹒
梅森素数貌似简单，但当指数P 值较大时，其探究难度就会很大﹒它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算﹒1772年，瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，花了两天的时间，靠心算证明了1231-(即2147483647)是第8个梅森素数﹒这个具有10位的素数，堪称当时世界上已知的最大素数﹒欧拉证明这一素数的顽强毅力和解题技巧都令人赞叹不已！ 1867年以来，人们已经知道67M 是合数，但对它的因数一无所知﹒1903年10月在美国数学会举行的一次会上，数学家科尔提交一篇论文《大数的因子分解》﹒轮到科尔报告时，他走到黑板前，一言未发便作起2的方幂的演算，直到2的67次幂，从所得结果减去1，然后默默无言地在黑板的空白处写下两个数相乘：
193707721⨯761838257287﹒
两个计算结果完全一样﹒之后，他只字未吐又回到自己的座位上，会场爆发了热烈的掌声！这短短几分钟的报告却花了科尔3年的全部星期天﹒
在手工计算的时代，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数，它们是P M ，其中
p=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127﹒
计算机发明出来后，人们借助电子计算机去寻找梅森素数，从1952年后到1996年5月为止，陆续发现了22梅森素数，其中
p=521(1952), 607（1952），1279（1952），2203（1952），2281（1952），3217（1957），4253（1961），4423（1961），9689（1963），9941（1963），11213（1963），19937（1971），21701（1978），23209（1979），44497（1979），86243（1983），110503（1988），132049（1983），216091（1985），756839（1992），859433（1994），1257787（1996）﹒括号里的数字为发现的年份﹒
上面最后一个梅森素数
M是1996年5月美国威斯康星州克雷研究所发
1257787
现的，
M是迄今为止最后一个由超级计算机发现的梅森素数﹒该所的计算1257787
机专家史洛温斯基一共发现了7个梅森素数，他因此被人们称为“素数大王”﹒使用超级计算机寻找梅森素数的游戏实在太昂贵了﹒1996年初美国数学家及程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数寻找程序，并把它放在网页下供数学家和数学爱好者免费使用，这就是著名的“因特网梅森素数大搜索”（GIMPS）项目，GIMPS项目实施以来，利用该项目已经发现了14个梅森素数，到目前为止现在一共发现了48个梅森素数，1996年11月以后发现的梅森素数都是利用该项目发现的，世界上已有180个国家和地区近27万人参加了这一项目，并动用了74万多台计算机联网来进行网络分布式计算﹒下面按发现时间顺序给出这14个梅森素数，括号里的数字是发现时间﹒
P=1398269
（1996-11-13）,2976221(1997-08-24),3021377(1998-01-27),6972593(1999-06-01), 13466917(2001-11-14),20996011(2003-11-17),24036583(2004-05-15),25964951(200 5-02-18),30402457(2005-12-15)，32582657（2006-09-04），43112609（2008-08-23），37156667（2008-09-06），42643801（2009-04-12）,57885161（2013-01-25）﹒
M，它是2013年1月25日，由美国中央其中最大的梅森素数是第个
57885161
密苏里大学数学教授柯蒂斯·库珀领导的研究小组发现的，该素数是一个17425170位数，如果用5号字将这个数连续打印下来，它的长度可超过65公里﹒
库珀博士是搜索梅森素数的老手了，还有两个梅森素数也是他和他的团队一
M，另一个是2006年9月4起发现的，一个是2005年12月15日发现的
30402457
M，它们分别是人类发现的第43过和第44个梅森素数﹒按照相日发现的
32582657
关奖金赞助者的新规定，第48个梅森素数的发现者获得3000美元的梅森素数发现奖﹒这个素数也成为目前人类所知道的最大的素数﹒
梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值﹒它是发现已知最大素数的最有效途径；它的探究推动了数学皇后——数论的研究，促进了计算技术、程序设计技术、网格技术和密码技术的发展以及快速傅里叶变换的应用﹒探索梅森素数最新的意义是：它促进了网格技术的发展﹒而网格技术将是一项应用非常广阔、前景十分诱人的技术﹒另外，探索梅森素数的方法还可以用来测试计算机硬件运算是否正确﹒
素数有无穷多个，梅森素数是否有无穷多个？这是目前尚未解决的著名数学
难题，而揭开这未解之谜，正是科学追求的目标﹒可以相信梅森素数这颗数海明珠正以独特的魅力，吸引着更多的有志者去寻找和研究﹒
2. 完全数
如果一个自然数等于除它自身之外的各个正因数之和，则这个数叫完全数﹒例如：6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，6和28都是完全数﹒完全数是被古人视为瑞祥的数，古希腊人在公元2世纪末已发现了四个完全数：6，28，496，8128﹒最小的完全数是6，意大利人把6看成是属于爱神维纳斯的数，以象征美满的婚姻﹒
完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找﹒它很久以来一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字﹒从第四个完全数8128到第五个完全数33550336的发现经过了一千多年，真可谓“千年等一回” ﹒第五个完全数在1456年由一位无名氏给出﹒
第六、第七个完全数在1588年由Cataldi 发现，第八个完全数由欧拉在1772年发现的，前文已提到﹒
完全数的发现与梅森素数有关，这里不得不提两位伟大的数学家欧几里得和欧拉的贡献﹒早在二千多年前，欧几里得证明了：如果)1(12>-k k 是素数，则)12(21-=-k k n 是一个完全数﹒后来，欧拉又证明了，所有的偶完全数一定只有这种形式，把这两个结论并在一起，得出下面定理﹒
定理 如果P M 是素数，那么)12(2)1(2
11-=+-p p p p M M 是一个偶完全数，而且除这些以外，再没有其它的偶完全数﹒
这个定理说明，是否有无穷多个偶完全数的问题归结为是否有无穷多个梅森素数，由前文知目前只知道48个梅森素数，所以目前只知道48个偶完全数﹒是否存在奇完全数？这是一个没有解决的问题，等待人们去研究﹒
完全数有许多有趣的性质：
⑴它们都能写成连续自然数之和
例如：6=1+2+3，28=1+2+3+4+5+6+7，496=1+2+3+…+30+31﹒
⑵每个都是调和数
它们的全部因数的倒数之和都是2，因此每个完全数都是调和数﹒ 例如：111121236+++=，111111212471428
+++++=﹒ ⑶可以表示成连续奇立方数之和
除6以外的完全数，还可以表示成连续奇立方数之和﹒
例如：332813=+，33334961357=+++，3333812813515=+++
﹒
⑷都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和
例如：12622=+，23428222=++，678910111281282222222=++++++， 12132433550336222=+++﹒ ⑸完全数都是以6或8结尾
如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾﹒
⑹位数字相加直到变成个位数则一定是1
除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1﹒（亦即：除6以外的完全数，被9除都余1）
28：2+8=10，1+0=1
496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1
参考文献
[1]张顺燕﹒数学的源与流[M]﹒北京：高等教育出版社﹒2001
[2]孙宏安﹒第48个梅森素数﹒中学数学教学参考，2013,4（上旬）。