同济大学线性代数课件__第二章 矩阵及其运算

j
)
元素。
4
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。
矩阵相等：设矩阵A与B是同型矩阵，
A(a ) , B (b )
ij
ij
若 a b ( i, j 1,2,,n)
ij ij
则称矩阵 A与 B相等，记作 A B.
x 0
1 y
48
3 0
1 2
4z x 3, y 2, z 8
5
一些特殊的矩阵 零矩阵(Zero Matrix):
第二章 矩阵及其 运算
1
§1 矩 阵
2x1 x2 x3 x4 2
4
x1 x1
x2 6x2
2x3 2x3
x4 2x4
4 4
3x1 6x2 9x3 7 x4 9
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 3
6 6
2 9
2 7
4 9
线性方程组与矩阵的对应关系
2
定义1 由m n 个数 aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n) 排成的m行n列的数表，
那末矩阵 A与B 的和记作A+B，规定为
a11 b11
A
B
a b
21
21
a12 b12
a b
22
22
a1n b1n
a 2n
b 2n
a m1
b m1
a b
m2
m2
a mn
b mn
14
注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时， 才能进行加法运算.
12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4 3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
元素全为零的矩阵称为零矩阵，
m n零矩阵记作 Omn 或 O.
注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.
0 0
0 0
00 0
0
0
0.
6
行矩阵(Row Matrix): 只有一行的矩阵
A a1,a2,,an , 称为行矩阵(或行向量).
列矩阵(Column Matrix): 只有一列的矩阵
a1
A
14 25 36 32
6
31
1
4 5 6
2
4
5
6 13
8
10
12
3 31
12 15 18 33
22
例：
2 1
4 2 222 3
4 6
22
16 8
32 16 22
1 0 1 2
11
2 0
3
1
23
1 0
1 2
3 1
1
0
3
34
1
4 2
2 0
11 124
23
1
1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 2 2 2
31 1 1 3 3 3
1 1 11 1 1 1 2
1 2 3 1 2 3
1 1 1
3 1 2 3
24
a1
b1
a2
b2
an nn
bn nn
a1b1
a2b2
anbn nn
25
注意：1. 矩阵乘法不满足交换律
A 左乘 B
2
,n
)
2
n
9
数量矩阵(Scalar Matrix):
主对角元素全为非零常数 k，其余元素全为零的 方阵 。
k
kEn
k
k
nn
10
单位矩阵(Identity Matrix):
主对角元素全为1，其余元素都为零的方阵。
记作: En 或 E
1
En

1
( i j )
1 nn
1 i j
15
负矩阵：设 A (ai j ),
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
a ij
am1 am1 amn
称为矩阵 A的负矩阵。
A B A (B)
16
矩阵加法满足的运算规律:
1 交换律：A B B A. 2 结合律：A B C A B C . 3 A O A
一个 s×n 矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B 的乘积是一个 m×n 矩阵 C (cij )，其中
s
ci j ai1b1 j ai2b2 j ai sbs j ai k bk j k 1 (i 1,2,m; j 1,2,, n)
并把此乘积记作 C = AB
21
1
2
3 13
4 5
设
A
1 1
11
B
1 1
12
线性变换与矩阵之间的对应关系.
恒 等 变 换
y1 x1,
y2 x2 ,
yn xn
1 0 0
0 1 0
0 0
1
单 位 阵
y1
1
x1
y 2
x 22
yn
n
xn
1
2
n
13
§2 矩阵的基本运算
一、 矩阵的加法
定义2 设有两个 m n 矩阵 A (aij ), B (bij ),
0 3 3
19
数乘矩阵满足的运算规律：
设 A,B为m×n 矩阵，, 为数
1 A A; 2 A A A; 3 A B A B.
41 A A1 A
矩阵相加与数乘矩阵运算合起来,又称为矩阵的 线性运算.
20
三、矩阵与矩阵相乘
定义4 设 A (aij ) 是一个 m×s 矩阵，B (bij ) 是
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
am1 am2
amn
称为m行n列矩阵. 简称m n矩阵.
3
a 11
记作
A
a21
a 12
a22
a 1n
a2n
简记为
A
aij
mn
am1 am2 amn
或 Amn
其中数 aij 称为 Amn 的第 i 行第 j 列的元素,
或
A mn
的(
i,
a2
an
,
称为列矩阵(或列向量)
7
方阵(Square Matrix):
行数与列数都等于n 的矩阵， 称为 n 阶方阵(或 n 阶矩阵), 记作An
3 6 1
4 3 2 是 3 阶方阵.
2
0
3
8
对角阵(Diagonal Matrix): 主对角线以外的元素都为零的方阵。
1
diag
(1,
i j 0 i j
11
例3：
y1 a11 x1 a12 x2
y2
a21 x1
a22 x2
ym am1 x1 am2 x2
a1n xn a2n xn
amn xn
从变量 x1, x2 ,xn 到变量 y1, y2 , ym 的线性变换.
其中 aij为常数.
A (a ) 称为系数矩阵 ij mn
4 A A O.
17
二、数与矩阵相乘
定义3 数与矩阵A的乘积记作A或A ,规定为
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
18
1 2 3 31 3 2 33 31 0 1 31 3 0 3 (1) 0 1 1 3 0 31 31
3 6 9 3 0 3