离散时间系统与z变换

h(n)=0
n<0
这 个 充 要 条 件 可 以 从 y（n）＝ x(n)*h(n) 的解析式中导出。
4.系统的差分方程描述
(1) 非递归型(FIR)
非递归型因果系统是输出的现在值仅仅 取决于输入的现在值与输入的过去值的系统。 非递归，即输出对输入无反馈。因此，设在 n时刻输入x(n)与输出y(n)的关系为 y(n)=f｛……,x(n-1),x(n),x(n+1),……｝ 若系统是线性非移变的，y(n)可表示为
图2-2 连续信号取样的数学模型
图 2 5 取 样 过 程 的 时 域 与 频 域 关 系
-
最后需要说明一点：上述取 样定理是理想取样，如果取样函 数不是单位冲击函数序列，而是 窄脉冲函数序列，则如图2-6所 示(详细情况请参看相关资料)。
图 2 6 理 想 取 样 和 非 理 想 取 样 的 比 较
(4) 线性卷积的计算
计算线性卷积有4种方法。 ① 利用两个序列的解析式直接计 算式(2-34)。 ② 利用两个序列的移位求和，即 先把一个序列倒置。每次将它向下移 一步，求出两序列重叠部分乘积之和。 ③ 用作图法求。 ④ 卷积的Matlab实现
3.系统的稳定性与因果性
(1) 稳定性
2.系统传递函数H(z)的频域表示
描述线性非移变系统的差分方程为
对上式方程两边取z变换为
在Matlab中，reqz函数计算幅度和相 位响应，它有如下5种调用方式。
(1)［H，w］＝freqz(b，a，N)
b和 a分别表示分子和分母的系数向量， 与 filter(b，a，x)函数中的相同。此函数在 单位圆上半部上等间隔的计算N点频率响 应，返回该系统的 N点频率矢量 w和 N点 复数频率响应矢量 H。如果 N没有说明， 则缺省值为 512。
2.6 单边 z 变换
1.单边z 变换的定义
单边z 变换定义为
它和双边z变换的不同之处在于它只计算以 序列x(n)的正向区间为系数的 z-1幂级数， 而不管对x(n)在n＜0时如何定义。
3.线性非移变系统的频率响应
从2.3节的讨论得到线性非移变离散系 统的输入输出关系为
对上式两边同时进行傅氏变换得
4.离散信号傅氏变换的性质
首先定义两种序列，共轭对称序列与 共轭反对称序列。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1) 序列的卷积特性
序列的卷积特性是时域内的卷积关系 映射到频域内为相乘，即
(2) 序列傅氏变换的周期性
对于一个系统，当输入序列是有界 时，其输出也是有界的，则称它是稳定 系统。用数学描述则为 如果 ｜x(n)｜＜∞对于一切n 则 ｜y(n)｜＜∞对于一切n
因为
其中假设｜x(n)｜≤M。
2．因果性
一个系统如果其输出变化不会发生在 输入变化之前，则称它是因果的。这就是 说对于因果系统，如果取n0 ,当n< n0 时， x1(n) = x2(n),则n< n0时，y1(n)=y2(n)。一个 线性非移变系统当n<0时的因果充要条件 是其单位取样响应等于零,即
给定取样频率 Fs，单位为 Hz；返回 单位为 Hz的频率矢量 F。
(5) H＝freqz(b，a，F，Fs)
给定单位为 Hz的取样频率Fs，返回 矢量F指定的那些频率点上的复数频率响 应，单位也是Hz。
3.z反变换
z反变换关系式可以利用柯西积分定 理推导出来，柯西定理为

式中c是一个逆时针方向环绕原点的围线。
5.z变换的性质
(1) 线性
设X(z)与Y(z)分别是x(n)与y(n)的z变换， 即
(2) 序列的移位
设序列x(n)的z变换为
Z［x(n)］=X(z)
Rx-＜|z|＜Rx+
(3) 乘以指数序列
如果序列x(n)乘上指数序列an(a可以 是复数)，则
Z[x(n)] = X(z)
Rx_＜|z|＜Rx+
图2-18 实指数序列
(5) 正弦序列
正弦序列的定义为
x(n)=sinnω0
其图形如图2-19所示。
图2-19正弦序列
2.3 离散系统及其普遍关系
1.离散系统的定义
离散系统在数学上定义为将输入序列 x(n)映射成输出序列y(n)的惟一性变换或运 算。亦即将一个序列变换成另一个序列的 系统，记为
(2)［H，w］＝
freqz(b，a，N，’whole’)
在整个单位圆上等间隔的计算N点 频率响应。
(3) H＝freqz(b，a，w)
它返回矢量 w指定的那些频率点上 的频率响应，通常在 0到π之间。
(4)［H，F］＝freqz(b，a，N，
Fs)和［H，F］＝freqz(b，a，N， 'whole'，Fs)
根据以上讨论，可以概括为

( 1 ) 对 右 边 序 列 ( n≥0 存 在)，｜z｜＞R-收敛，且R-是右 序列的极点。 ( 2 ) 对 左 边 序 列 ( n＜0 存 在)，｜z｜＜R+收敛，且R+是 左边序列的极点。
(3) 若X(z)不只一个极点，则找与 收敛域相重的那个极点，对右边序列， 最外极点之外的区域为收敛域；对左 边序列，最内极点之内的区域为收敛 域，如图2-31所示。 (4) 对双边序列，若在左边序列的 收敛域存在重叠部分，则这重叠部分 就是它的收敛域。若不存在重迭部分， 则z变换不存在。
(8) 复卷积定理
复卷积定理与序列的卷积是对偶 关系。设
w(n)=x(n)y(n)
则
或者
式中C1 是X（z/v）与Y（v）两者收敛区重 叠部分的闭合围线；C2是X(v)与Y（z/v）两 者收敛区重叠部分内的闭合围线。
(9) 帕斯维尔定理
设有两个序列x(n)与y(n)，则帕斯维 尔定理为
序列的傅氏变换是ω的周期函数，
周期为2π。
(3) 复序列傅氏变换的对称性
2.5 离散信号的z变换
1.z变换的定义及其收敛域
对于一个序列x(n)，其z变换的定义为
其中z为复变量，也可记作Z［x(n)］ =X(z)。式(2-49)的定义也称为双边z 变换； 相应的还有单边z变换。
对于所有的序列或所有的z值，z变换 并不总是收敛的。对于任意给定的序列， 使z变换收敛的z值集合称作收敛区域：{Z： X(z)存在}＝收敛区域。 其内径R-与外径R+分别取x(n)在n→∞ 和n→-∞时的形状。 z变换收敛域的概念很重要，不同的序 列可能有相同的z变换表达式，但是收敛域 却不同，所以应该特别注意，只有当z变换 的表达式与收敛域都相同时，才能判定两 个序列相等。
假设有一N阶因果系统，系统函 数为H(z)，为方便起见，设H(z)只有 单阶极点，这样系统的单位取样响应 由式(2-67)给出
由以上的讨论清楚看到 ，因
果稳定系统的收敛区域包括单位圆
以及以外的整个z平面。因而，因 果非移变的稳定系统为 (1) 极点都在单位圆内； (2) 收敛区域为l≤z≤∞。
(2) 递归型(IIR)
递归型因果系统输出的现在值不仅取
决于输入的现在值与过去值，还取决于输
出的过去值。
y(n)=f｛……,x(n-1),x(n),x(n+1),……｝
+g｛……,y(n-1),y(n+1),……｝
同理，在系统为线性、非移变、
因果时，可推得
2.4 离散信号的傅氏变换
1.问题的提出
fS=1/T
图2-1 连续信号的取样
取样定理——Shannon定理
任一连续信号xa(t)，设其频谱的最高 频率分量为fm，则当对它进行取样时，只 要选择取样率等于或大于2fm ，就可以由这 个取样序列xa (nT)来唯一准确地恢复xa (t)。
设有一限带信号xa(t)。当|Ω|≤Ω max， 它的付氏变换为Xa(Ω)。将xa(t)乘一取样函 数p(t) 就得到xa(t)，如图2.2所示。
第二章 离散时间系统与z变换
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
取样和内插 离散时间信号序列 离散系统及其普遍关系 离散信号的傅氏变换 离散信号的z变换 单边 z 变换 z变换与傅氏变换的关系 系统的时域分析与频域分析
2.1 取样和内插
1.取样
将连续信号变成离散信号有各种取样 方法，其中最常用的是等间隔周期取样， 即每隔固定时间T取一个信号值，如图2-1 所示。其中T称为取样周期，T的倒数称为 取样频率或取样率。记为
(4) Matlab 的实现
在Matlab 中，函数residuez 计算有理 函数的留数Rj、极点pj和直接项系数Cj，设 有多项式如下： B(z)和 A(z)分别是分子分母多项式，它们 按z-1递增顺序排列。
4.因果非移变系统的稳定性，
收敛区与极点的关系
正如在式(2-56)中看到的，线性非移 变系统的系统函数H(z)是具有实系数z的有 理函数。现在来讨论系统函数的极点与系 统稳定性和收敛区的关系，亦即证明系统 函数的极点分布将决定系统是否稳定。
-
2.内插
用大于奈奎斯特取样频率取样 限带信号xa(t)，则被取样信号xa(t) 通过理想低通滤波器，只要其截止 频率Ωc满足
Ωmax≤Ωc≤(Ωs－Ωmax)
时，就可以恢复出原来信号，如图 2-8所示。
图2-8 取样信号的恢复与理想低通滤波器的传输函数
图 2 9 连 续 信 号 的 内 插 表 示
(1) 幂级数法
幂级数法也就是长除法，
对于给定的z变换X(z)，可以
根据它的收敛域判定序列
x(n)是右边序列还是左边序
列，或是双边序列。
(2) 部分分式法
当x(z)序列为有理函数时，可将x(z) 写成一个和式为
因为，对于右边序列存在如下变换关系
(3) 留数法
我们知道 式中c是X(z)收敛域内的积分围线。对于n ＞0时，对应右边序列，此时极点在c内， 对n＜0时，对应左边序列。此时极点 在c外，根据留数定理有
(4) X(z)的微分
序列x(n)之z变换的导数乘以(-z)等于 x(n)经线性加权后的z变换，即
(5) 复序列的共轭序列
(6) 初值定理
如果n＜0时，x(n)为零，则
(7) 序列的卷积
如 果 w(n) 是 序 列 x(n) 和 y(n) 的 卷 积 ， 则 w(n)的z 变换是x(n)和y(n)的z 变换的乘积，即 w(n)=x(n)*y(n) 则
图2-15 单位取样序列
(2) 单位阶跃序列
单位阶跃序列的定义为
其图形如图2.16所示。
图2-16 单位阶跃序列
(3) 矩形序列
矩形序列的定义为
其图形如图2-17所示。
图2-17 矩形序列
(4) 实指数序列
实指数序列的定义为
n x(n)=a
其中a为不等于零的任意实数。 图2-18是0＜a＜1的一个实指数 序列的图形。
对于连续信号xa(t)与其频谱Xa(Ω) 之间存在着傅氏变换关系，如图2-28 所示。前边已经讨论了连续信号xa(t) 的离散化，即取样的问题，已经知道 取样序列的频谱是原信号频谱在Ω轴 上的周期延拓，如图2-28(b)所示。
图2-28连续和离散信号的傅氏变换
2.傅氏变换对的推导
从2.1节的讨论知道，对连续信号在时 域内进行取样的结果，是频域内频谱周期 的延拓，并且还得到了已取样信号xa(t)在 频域内的表示，现重写为
T［x(n－n0)］=y(n－n0)
即不管输入信号作用的时间先后，输出信 号响应的形状均相同，仅是出现的时间不 同，如图2-22 所示。
图2-22 离散系统的非移变特性
(3) 线性非移变系统
线性非移变系统就是既满足迭加 原理又具有非移变特性的系统，将其 描绘如图2-24所示。
图2-24 线性非移变系统模型
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图2-10 连续信号用三角形内插函数
3. Matlab实现
(1) 零阶和一阶保持内插 (2) 三次样条内插
2.2 离散时间信号序列
1.离散时间信号
离散时间信号是在离散的时 间上取值，在两个取样间隔内数
值为零的信号。
2.常用序列
(1) 单位取样序列
单位取样序列的定义为
其图形如图2-15所示。
y(n)=T［x(n)］
通常将上式表示成图2-20所示的框图。
图2-20 离散系统的模型
2.线性非移变系统
(1) 系统的线性特性
满足叠加原理的系统具有线性特性， 即若对两个激励x1(n)和x2(n)有
(2) 系统的非移变特性
系统的非移变是指系统的参数不随时 间而变化。用数学表示为