对偶问题的经济解释-影子价格

影子价格在经济管理中的应用
(1)影子价格能指示企业内部挖潜的方向.
影子价格越高的资源,说明它对目标增益的影响 越大,同时也表明这种资源越稀缺和贵重. 企业的管理者要重视这种资源的管理,挖掘潜力 ,及时组织资源,由此可以给企业带来较大的收 益. 注意:对于影子价格为零的资源企业的资源 不一定有剩余.如果有剩余,企业应该充分利 用剩余的资源,开辟新的生产途径,以增加企 业的总收益.
max z c1x1 c 2 x 2 c j x j c n x n s.t. a11x1 a12 x 2 a1jx j a1n x n b1y1 a 21x1 a 22 x 2 a 2jx j a 2n x n b 2 y2 a m1 x1 a m2 x 2 a mj x j a mn x n b m ym x1 x2 xj xn 0
(4)影子价格在资源购销决策中的应用.
当资源的市场价格低于影子价格,企业买进该资源, 扩大生产,当资源的市场价格高于影子价格,企业 应设法转让该资源.
(5)利用影子价格分析现有产品价格变动对 资源紧缺情况的影响.

产品价格的变动会影响到影子价格的大小,从而 对资源的稀缺性产生影响.
二 影子价格的经济意义
1．影子价格不是市场价 资源的市场价格是已知数，相对比较稳定， 而它的影子价格则有赖于资源的利用情况， 是未知数。 由于企业生产任务、产品结构等情况发生变化， 资源的影子价格也随之改变。 企业 影子价格 市场价格
市场
2．资源的影子价格是一种机会成本
.在纯市场经济条件下, 设第i 种资源的单位市场价格为mi ， 当yi > mi 时，企业愿意购进这种资源， 单位资源的纯利为yi－mi ，则有利可图； 如果yi < mi ，则企业有偿转让这种资源， 可获单位 资源的纯利mi－yi ， 否则，企业无利可图，甚至亏损。 随着资源的买进卖出，它的影子价格也将随之发生变化， 一直到影子价格与市场价格保持同等水平时， 才处于平衡状态。
Z* 也可以写成： y i * (i 1,2m) b i
边际价格
即yi*表示Z*对 bi的变化率。
影子价格的定义： 是对偶问题的最优解Y*=(y1*,y2*,…，ym*), 是一个向量， 它的每个分量yi*表示 最优目标值随相应资源数量变化的变化率。 即在一对L P 和 D P中，在其它条件不变的情况下， LP 的某个约束条件的右端项常数bi 增加一个单位时， 所引起的目标函数最优值Z* 的改变量yi* 称为LP的第 i 个约束条件的影子价格， 又称为边际价格。
总利润（元） 资源限量（吨） 资源价格（元/吨）
min b1 y1 b2 y2 bm ym s.t .
a11 y1 a 21 y2 am 1 ym ym 1 a12 y1 a22 y2 am 2 ym ym 2 a1 n y1 a 2 n y2 a mn ym ym n y1 y2 y m y m 1 y m 2 y m n
z*=15
(2.8,3.2)
z*=15.2
(3.5，3) z*=16
各约束条件的资源量 ③ 增加一个单位，有 (3,3) x3 =0 2x1+2x213 y1=1 y2=0 x4 =4 4x117 y3=0.2=1/5 x5 =0 5x216
②
②
x1
① ①





1、当增加一个单位的资源，立即能够产生价值， 即说明该资源目前已耗尽 2、当资源未被充分利用时，再增加一个单位的资源， 相当于松弛变量，不产生价值，此时这种影子价格为零. 3 影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺 影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺 4 如果最优生产计划下某种资源有剩余， 这种资源的影子价格一定等于0 5 对于影子价格为零的资源企业的资源不一定有剩余. 如果有剩余,企业应该充分利用剩余的资源, 开辟新的生产途径,以增加企业的总收益.
(2)影子价格指导企业间的分工与协作.

影子价格可以作为企业在接受外协加工任 务时,对外协单位使用资源的收费标准,按照 影子价格收费,保证了企业与外协单位双方 平等互利的格局,可以促进双方合作.
(3)影子价格在新产品开发决策中的应用
产品 资源 钢材 煤 机时 A 1 2 3 B 2 1 4 3 影子价格 (万元) 3/4 0 1/4
C
CB
CN
0
CB
CB -Z
XB
XB
b
B-1b －CB B-1b
XB
I 0
XN
B-1N CN－CB B-1N
XS
B-1 －CB B-1
B是 LP的最优基， Z*=CB B-1b = Y*b =y1*b1+y2*b2+…+yi*bi+…+ym*bm 当bi 变为bi+1 时（其余右端项不变，B不受影响）， 目标函数最优值变为： Z′*= y1*b1+ y2*b2+…+yi*（ bi+1 ）+…+ym*bm ∴ △Z*= Z′*－ Z* = yi*
a 21x1 a 22x 2 a 2n xn am1x1 am 2 x 2 amn xn
消耗的资源（吨）
x1
x2
xn
单位产品消耗的资源（吨/件）
剩余的资源（吨）
资源限量（吨）
原始问题和对偶问题都取得最优解时， 最大利润 max z=min ω出售价（最小收购价）
对偶问题的最优解yi*经济意义： 在其它条件不变的情况下， 单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化。 称对偶变量最优值yi *为原问题第 i 个约束条件的 影子价格。 也可以理解为目标函数最优值 对第i个资源的一阶偏导数 （但问题中所有其它数据都保持不变）。
原始问题是利润最大化的生产计划问题
3．影子价格是一种边际价格。 z * * * y i 说明 y i 的值相当于在资源得到 bi 最优利用的生产条件下， i 每增加一个 b 单位时目标函数
z 的增量。
三 LP和DP中其它概念的经济学意义
1 对偶约束的经济解释---产品的机会成本（opportunity cost ） 增加单位资源可以增加的总利润
c1 c2 ym n cn 0

ym+j =(y1 a1j +y2 a2j+…+ym amj)-cj =YT aj –cj 差额成本=机会成本-利润
3 互补松弛定理的经济学意义
ˆ ˆ 当 aijxj bi时，y i 0;
j 1
n
ˆ 当 y i 0时， aijxj bi ˆ
总利润（元） 单位产品的利润（元/件） 产品产量（件）
max z c1x1 s.t . a11x1
c 2 x 2 c 2 xn a12x 2 a1n xn xn 1 xn 2 xn m xn 1 xn 2 xn m
b1 b2 bm 0
（LP）问题 max z = CX s.t. AX≤b X≥0
n m
（DP）问题 min w = Yb s.t. YA ≥ C Y≥0 (1)
z* c j x* bi yi* w* j
j 1 i 1
bi 代表第i种资源的拥有量；对偶变量yi*的意义代表 在资源最优利用条件下对单位第i 种资源的估价。 这种估价不是资源的市场价格， 而是根据资源在生产中作出的贡献 影子价格 而作的估价。 (shadow price)
bm ym
差额成本
利润
a11 y1 a21 y2 am1 ym ym1 a12 y1 a22 y2 am 2 ym a1n y1 a2 n y2 amn ym y1 y2 ym ym1 ym 2 ym 2 ym n
已解得最优单纯形表如下 ：
CB 2 5 0 XB x2 x3 x6 b 100 230 20 x1 -1/4 3/2 2 x2 1 0 0 x3 0 1 0 x4 1/2 0 -2 x5 -1/4 1/2 1 x6 0 0 1
Z
-4
0
0
-1
-2
0
(1)求三种资源的影子价格,并解释其经济含义;
(2)市场看好，决定增加一种资源的供应量，问应增加哪种资源？
i 1
y i a ij —生产第j件产品所消耗各项资源的
i 1
m
c j —第j种产品的产值
影子价格的总和。（即隐含成本）
可见，产品产值>隐含成本 可生产该产品； 否则，不安排生产。——检验数的经济意义
5 线性规划问题的经济学意义
一般说对线性规划问题的求解： 是确定资源的最优分配方案， 而对于对偶问题的求解： 则是确定对资源的恰当估价， 这种估价直接涉及到资源的最有效利用。
一
影子价格的概念
1 对偶问题的经济解释---影子价格
在单纯形法的每步迭代中， 1 目标函数取值 z CB B b ， 1 1 检验数 CN CB B N 中都有乘子Y CB B那么Fra bibliotek的经济意义是什么？
影子价格的概念
讨论对称形式：
已知当LP求得 最优解x*时， 其DP也得到最 优解y*，且有
经济学研究如何管理 自己的稀缺资源
例： 某化工厂有三种资源A、B、C，生产三种产品甲、乙、 丙，设甲、乙、丙的产量分别为x1,x2,x3,其数学模型为：
max z 3 x1 2 x2 5 x3 x1 2 x2 x3 430 3 x1 2 x3 460 s.t x1 4 x2 420 x1 , x2 , x3 0 ( A资源限制 ) ( B资源限制 ) (C资源限制 )
单位利润(万元) 1
两种新产品A,B的机会成本为: A单位产品的机会成本=1×3/4+2×0+3×1/4=3/2 B单位产品的机会成本 =2×3/4+1×0+4×1/4=5/2
由于投产A产品所能提供的单位利润不大于投产的 机会成本,因此从经济上分析,A产品不宜投产;而B产 品的机会成本小于该产品投产后所能提供的利润, 因此投产B产品可以给工厂带来较大的收益.如果新 产品B确实为社会所欢迎,而在资源利用上与老产品 发生冲突,工厂可以考虑用B产品去更换老产品,以获 得更大的经济效益.
影子价格的大小客观的反映资源在系统内的稀缺程度， 影子价格越高，资源在系统中越稀缺。
影子价格可以告诉决策者应如何考虑新产品的 价格
产品 资源 钢材 煤 机时 单位利润(万元)
A
1 2 3 1
B
2 1 4 3
影子价格 (万元) 3/4 0 1/4
两种新产品A,B的机会成本为: A单位产品的机会成本=1×3/4+2×0+3×1/4=3/2 B单位产品的机会成本 =2×3/4+1×0+4×1/4=5/2 则A产品的定价一定要大于1.5 才能增加公司的收 益，如售价低于1.5的话，生产是不划算的。
c1 c2 cn 0
对偶问题是资源定价问题， 对偶问题的最优解y1、y2、...、ym称为m种资源的影子价格 （Shadow Price）
2 几何解释：图解法分析
例max
s.t .
z 2x 1 3x 2 2x1 2x 2 12 x2 4x 16 1 5x 2 15 x1 , x 2 0 ③
j 1
n
这表明生产过程中如果某种资源未得到充分利用时， 该种资源的影子价格为零； 又当资源的影子价格不为零时，bi 表明该种资源 在生产中已耗费完毕。
4 单纯型表中检验数的经济学意义
从影子价格的含义上考察单纯形表 的检验数的经济意义。m j c j CBB 1 Pj c j yi aij （4）
减少一件产品可以节省的资源 机会成本
a1 jy 1 a 2 jy 2 a ijy i amjy m
表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润
2 对偶约束松弛变量的经济解释
---产品的差额成本（Reduced Cost）
min z s.t.
机会成本
b1 y1
b2 y2