第三节 实数域和复数域

第三节实数域和复数域

1．实数和实数域

前节所说的，用N中自然数序对作为新数——整数，用Z中整数序对作为新数——有理数，使数系扩充的方法，称为代数扩张．但这种数系扩充法，并不都是成功的；有理数向实数的扩充，就不能套用上一节所用的代数扩张法(因这种扩充，需对极限运算封闭)．

但是从Q扩充到R，数系扩充原则和步骤，依然与前面一致．

(1)定义含有有理数域为其子域的连续域R称为实数域，R的元素称为实数．

如果实数域R存在，它应当是由所有有理数基本列组成的序域．

事实上，设R的任一元素a都是某个有理数基本列｛a n｝的极限．则存在k∈N，使|a k －a|＜1，从而a＜1＋|a k|．

1＋|a k| 是有理数，有理数域是阿基米德序域，故存在n∈N，使n＞1＋|a k|．故有n ＞a．

因此，R是阿基米德序域．

反之，设R是实数域，则对于任意a∈R及n∈N，存在m1，m2∈N，使

有上界(例如m1)．又A非空(至少-m2∈A)，故A有最大数m∈Z，于是

即

lima n＝a

即R中任意数a都是有理数基本列的极限．

若R1，R2是两个实数域，则它们的元素都是有理数基本列的极限．

现作映射f：R1→R1，使对任意a∈R1，若lima n=a，｛a n｝为有理数基本列，｛a n｝在R2中极限为a′，则f(a)=a′．

易知f是R1到R2的同构映射．因此，符合定义的实数域在同构的意义上是唯一的．

(2)构造设M是所有有理数基本列的集合．在M中定义等价关系、加法、乘法及序如下：

对任意｛a n｝，｛b n｝∈M．

1°｛a n｝～｛b n｝当且仅当lim(a n－b n)=0；

2°｛a n｝＋｛b n｝＝｛a n＋b n｝；

3°｛a n｝·｛b n｝＝｛a n·b n｝；

4°｛a n｝＜｛b n｝当且仅当存在有理数ε＞0，及n0∈N，使当n＞n0时，b n－a n

＞ε．

由有理数的性质知，上述基本列的加法、乘法满足结合律、交换律和分配律．所定义的基本列的序，是全序．

作商集M／～＝R0，在R0中定义等价类的加法、乘法及序如下：

对任意α，β∈R0，｛a n｝∈α，｛b n｝∈β，

1°若｛a n＋b n｝∈γ，则规定α＋β＝γ；

2°若｛a n·b n｝∈ρ，则规定α·β=ρ；

3°若｛a n｝＜｛b n｝，则规定α＜β．

不难验证，这样定义的运算及序与代表元的选取无关；R0中加法、乘法满足结合律、交换律和分配律．

若α＞0，称α为正元；若α＜0，称α为负元．对任两正元α，β，存在n∈N，使nα＞β．因此，R0是阿基米德序域.

(3)嵌入

设R1是R0中所有有理常数列｛a｝所代表的类的集合，R2是R0中其余的类所组成的集合，则R0=R1∪R2．

作映射f:R1→Q，使f(｛a｝)=a．则f是同构映射，因而(R1；＋，·，＜)与(Q；＋，·，＜)同构．

作集合R=Q∪R2，R中的运算由f的扩张决定．则R是通常所说的实数域．R2中的实数，称作无理数．有时为了方便，将正实数集合记为R＋．

实数集R的若干性质．

1°有理数集Q在R中处处稠密对任意两实数a，b，若a＜b，则必存在c∈Q，使a＜c＜b．

2°连续统实数集R与直线上点集R1一一对应．建立对应的方法如下：

在直线l上取O点为原点，OA为单位，A点所在半直线为正向，建立直线坐标系第一次，以OA为单位，从O点开始，向左、右两边等分直线，得第一批分点(与单位端点重合的点)，它们对应全体整数．

划分直线，得第n批分点，其中p∈N＋，p＞1，n=2，3，…．

这样所得分点，连同第一批分点，对应全体有理数．

现令第n批分点中两个相邻分点之间(包括两端点)所有点组成之集为第n级子区间Δn，于是，直线l上每一点B，如果它不是某一批分点，它便包含于一系列子区间Δn之中，这些Δn形成一个区间套｛Δn｝：

实数b．这时规定B与b对应．

建立直线坐标系的直线R1称为数直线，或实直线，或连续统；在它上面已不再有“洞”．

由于实数集R与实直线R1等价，以后不再区别R与R1．

3°实数表示成无尽小数形式

由上可知，每一个实数都可以表示成p进制无尽小数．方法如下：

设a为正实数，它对应R1上区间套｛Δn｝(若a为有理数，是某些区间的端点，则规定它属于右边的区间)．又令a1为Δ1左端点对应的整数(自然数)；n＞1时，Δn左端点为Δn－1中第a n(a n=0，1，2，…，p-1)个分点．于是得到一个唯一确定的非负整数列(a1，a2，…，a n，…)(0≤a i＜p，i=1，2，3，…)．

反之，给出一个这样的非负整数列，可以确定唯一的一个区间套，从而唯一地确定一个实数．

我们将用上述方法得到的正实数a所对应的非负整数列(a1，a2，…，a n，…)记作

a1·a2a3…a n…

并称之为实数a的p进小数表示．在同构的意义上，它与实数a是一样的，不妨写作

a＝a1·a2a3…a n…

对每个负实数a，-a＞0，故也可表示成无尽小数形式．

为方便起见，常取p=10，把实数表示成10进小数．有理数可以表示成无尽循环小数，当循环节为0时，省略尾部所有的0，成为有限小数．无理数则是无尽不循环小数．

4° R不是可数集

这只须指出单位区间I=｛x∈R＜x＜1｝不可数即可，可用著名的“对角线法”证明如下：

反证，假定I可数，其中数(纯10进小数)排成一列：

a1=0．a11a12a13…

a2＝0．a21a22a23…

……

a n=0．a n1a n2a n3…

……

令b=0．b1b2…b n…，其中

显然，b∈I，但b≠an，n=1，2，3，…．这与I可数矛盾．所以I不是可数集，因此R也不是可数集．