第10讲-指数分布、正态分布

当正态分布 N ( μ, σ 2 ) 中的 μ 0, σ 1 时, 这样 的正态分布称为标准正 态分布, 记为 N (0, 1).
标准正态分布的概率密度表示为
( x)
1 e 2π
x2 2
,
x ,
标准正态分布的分布函数表示为
( x )

x
1 e 2π
t2 2
本定理描述了指数分布的重要性质：“无记忆性”
例16 已知某地在任何长为 t 周的时间内发生地震的次数 N( t ) ~ π(t), 求 (1)相邻两次地震的时间间隔 T 的概率分布;
(2)求相邻的两周内发生至少3次地震的概率
(3)在已经８周无地震的情况下,未来 10 周仍无地震的概率. 解 (1)
由此可知，一次试验中X的 值落入 ( 3 , 3 ) 以外的概率可忽略不计， 这就是所谓的 3 规则。
，
例21 （1）假设某地区成年男性的身高（单位：cm） X～N(170,7.692)，求该地区成年男性的身高超过175cm 的概率。
解: (1) 根据假设X～N(170,7.692)，则 X 170 ~ N (0,1). 7.69 P {X>175}= 1 P{ X 175}
解
P {c X d }
c
d
1 e 2πσ
( x μ )2 2σ 2
dx
x μ 令 u, σ


dμ σ c μ σ
1 e 2 πσ 1 e 2π
u2 2
σdu

dμ σ c μ σ
u2 2
du


dμ σ
1 e 2π
u2 2
du
2
X

μ σx 1 e 2πσ
( t μ )2 2σ 2
d t,
1 x e 2π
u2 2
tμ 令 u, 得 P { Z x } σ Xμ 故 Z ~ N (0,1). σ
d u ( x ),
例18 已知 X ~ N ( μ, σ 2 ), 求 P{c X d }.
应用与背景
某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线 电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的寿命等都 服从指数分布.
例15 设打一次电话所用的时间X ~e(1/10)(单位：min)，
如果某人刚好在你前面走进电话间，求你需等待10分钟 到20分钟之间的概率.
x 1 10 e 解 X 的密度函数为 f x 10 0 令：B={ 等待时间为10~20分钟 }
例19 证明 ( x ) 1 ( 2x ). x x 1 证明 ( x ) e 2 dx 2π 2 x2 x x2 x 1 1 1 e 2 dx e 2 d x e 2 dx x 2π 2π 2π 1 ( x ).
1 0.9772 0.0228.
( 2)
P{ X 80} 0.99
1 P { X 80} 0.99
1 F (80 ) 0.99
80 d 1 0.99 0.5 80 d 1 0.99 0.01, 0.5 80 - d 即 2.327 d 81.1635. 0.5
测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;
正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量
高度等都近似服从正态分布.
正态分布是概率论中最重要的分布
⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一， 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以 证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中 任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服 从或近似服从正态分布．
因为X～N(170,7.692),
h 170 故 P(X< h)= ( ) 7.69
h 170 所以 =2.33, 7.69
即 h=170+17.92≈188

0.99
查表得Φ(2.33)=0.9901>0.99
设计车门高度为 188厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01.
若 X ~ N ( , 2 )
P{ X } (1) ( 1) 2(1) 1 0.682 6 P{ 2 X 2 } ( 2) ( 2) 0.954 4 P{ 3 X 3 } (3) ( 3) 0.997 4
x0 x0
x 10
则
1 e P B P10 X 20 10 10 20
x 10
20
dx
e
e
10
1Biblioteka Baidu
e
2
0.2325
定理2.2 随机变量X服从参数为λ的指数分布，则
对于任意的s, t >0,有 P{ X s t | X s } P{ X t }
175 170 1 ( ) 1 (0.65) =0.2578 7.69
（2）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰 头机会在0.01以下来设计的，问车门高度应如何确定?
解: (2) 设车门高度为h cm,按设计要求
P(X ≥ h)≤0.01 或 P(X< h)≥ 0.99， 下面我们来求满足上式的最小的 h.
d t,
x .
标准正态分布的图形
例17 已知 X ~ N (0,1), 求 P{1.25 X 2}.
解
P {1.25 X 2}
( 2) (1.25)
0.9772 0.8944 0.0828 .
引理2.1 若 X ~ N ( , ) ，则 Z ~ N (0,1) 证明 Z X μ 的分布函数为 σ Xμ P { X μ σx } P{ Z x } P x σ
0, t0 FT (t ) P(T t ) 1 P(T t ), t 0
(t ) e P(T t ) P( N (t ) 0) 0!
0
t
e
t
t0 0, F (t ) t 1 e , t 0
即
0, f (t ) t e ,
贮存着某种液体的 例20 将一温度调节器放置在 容器内. 调节器整定在 d oC , 液体的温度 X (以o C 计) 是一个随机变量, 且X ~ N (d , 0.52 ). (1) 若 d 90 , 求 X 小于 89 的概率. ( 2) 若要求保持液体的温度 至少为 80o C 的概率不 低于 0.99 , 问d 至少为多少? 解 (1) 所求概率为 89 90 P { X 89} ( 2) 1 ( 2) 0.5
c μ σ
1 e 2π
u2 2
du
d μ c μ . σ σ
因而 P{c X d } F (d ) F (c )
d μ c μ . σ σ
即 d μ c μ P {c X d } . σ σ
P(T 10) e 10
3. 正态分布(或高斯分布)
定义2.7 设随机变量X的密度函数为 ( x )2 1 2 2 f ( x) e , x 2 其中 , ( 0) 为常数，则称X服从参数为 , 的 正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 X ~ N ( , 2 )
证明：事实上
P{( X s t ) ( X s )} P{ X s t | X s } P{ X s }
P{ X s t } 1 F ( s t ) e ( s t ) t s e P{ X t } P{ X s} 1 F ( s) e
正态概率密度函数的几何特征
(1) 曲线关于 x μ 对称; ( 2) 当x μ时, f ( x )取得最大值 ( 3) 当 x 时, f ( x ) 0; (4) 曲线在 x μ σ 处有拐点 ;
1 ; 2 πσ
(5) 曲线以 x 轴为渐近线 ;
(6) 当固定 σ , 改变 μ 的大小时, f ( x ) 图形的形状不变 , 只是沿 着 x 轴作平移变换 ;
CHAP2
随机变量及其分布
第10讲
指数分布、正态分布
2. 指数分布
定义2.6 设随机变量X的密度函数为
e x , f ( x) 0, x 0, 其他.
其中λ＞0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布，
记为X ~e(λ).
分布函数
1 e x , x 0, F ( x) x 0. 0,
⑵ 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分 布所不具备的． ⑶ 正态分布可以作为许多分布的近似分布．
正态分布下的概率计算
原函数不是 初等函数
P { X x } F ( x )
x 1 e 2πσ ( t μ )2 2σ 2
dt
?
转化为标准正态分布查表计算
标准正态分布
t0 t 0
T ~ e( )
1 e
2
(2) P( N (2) 3) 1 P( N (2) 0) P( N (2) 1) P( N (2) 2)
2e
2
2 e
2 2
(3) P( T 18 T 8 ) P( T 8 10 T 8 )
(7 ) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x ) 图形的对称轴 不变, 而形状在改变, σ 越小,图形越高越瘦, σ越大, 图形越矮越胖.
正态分布的分布函数
F ( x)
x 1 e 2πσ
( t μ )2 2σ 2
dt
正态分布的应用与背景
正态分布是最常见最重要的一种分布,例如