高中数学解题方法系列：解析几何中常见的最值求法

高中数学解题方法系列：解析几何中常见的最值求法

最值问题是数学高考的热点，也是解析几何综合问题的重要内容之一。圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，它融解析几何、函数、不等式等知识为一体，是综合试题考查的核心，对解题者有着相当高的能力要求，但其解法仍然有章可循，有法可依。

解析几何求最值常见类型之一是直接根据题意，利用几何关系或代数特征的几何意义求最值。另一种类型是先根据条件列出所求目标的函数关系式，转化为前一类型或根据函数关系式的特征选用函数法、不等式法等求出它的最值。本文从几个例子介绍解析几何最值问题的几种常见类型和方法。

一、结合“几何意义”求最值

（一）两线段距离的最值问题

这是圆锥曲线最值问题的基本方法，根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等问题来解。例如：

已知点F1，F2是双曲线的左右焦点，点A（1，4），P 是双曲线右支上动点，则

│PF1│+│PA│ 的最小值是多少。

解析：根据双曲线的定义，建立点A，P 与两焦点之间的关系，发现两点之间线段最短。即

│PF1│+│PA│=│PF1│-│PF2│+│PA│+

│PF2│=2a+│PA│+│PF2│≥4+│AF2│=9。

（二）特定代数式的最值问题

因为一些数学概念如斜率、截距、两点距离等有特别的代数结构特征，可以根据这些表达式特征把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、直线的截距或直线的斜率等问题来解。例如：

已知实数x，y满足方程x2-6x+y2+6=0 。求① 的最大值；②y-x最小值；③x2+（y+2）2的最小值。

解析：①因为的几何意义是圆x2-6x+y2+6=0上的点（x，y）与定点（-1，0）连线的斜率，由数形结合算得最大值为。

②令y-x=b的几何意义是与圆x2-6x+y2+6=0有交点的平行直线系y=x+b 在y 轴上的截距，数形结合算得最小值为-3-。

③x2+（y+2）2的几何意义是圆x2-6x+y2+6=0 上的点到定点（0，-2）的距离，数形结合算得最小值是- 。

（三）曲线本身的最值问题。

注意圆锥曲线本身存在一些最值问题。如，椭圆上两点间最大距离为2a；双曲线上两点间最小距离为2a；椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为（a-c，a+c）；抛物线上的点，顶点与抛物线的准线距离最近；另外还有圆内最长的弦为圆的直径等。例如：

在平面直角坐标系中，A，B 是x，y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线

2x+y-4=0 相切，则圆C 面积的最小值。

解析：依题意可知点O在圆上，求圆C面积的最小值就是求最小半径，而点O到切线2x+y-4=0 的距离为圆C的直径，此时的半径最小。

所以圆C面积的最小值为。

（四）曲线与直线距离的最值问题。

圆锥曲线上点到某条直线或曲线的距离的最值问题可利用“相切法”，通过求与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上取得最值的点。例如：

在抛物线y=x2上的点P 到直线3x-2y-16=0 的最短距离。

解析：可先求抛物线y=x2与直线3x-2y-16=0 平行的切线方程，再求两条平行线的距离即可。

又如：

求圆x2+（y-6）2=2上的点P和椭圆+y2=1上点Q的最大距离。

解析：先求与椭圆+y2=1相切的同心圆x2+（y-6）2=r2的半径，再由属性结合可知

r+ 就是其最大距离。

二、结合“代数特征”选方法

把所求最值的目标表示为关于一些变量的表达式，通过研究这个表达式选择方法求最值，是圆锥曲线中求最值最常见的题型。这种题型要求比较高，首先需要对题意充分理解，并结合题意通过基本运算得出目标最值的代数表达式，还要求确定该表达式是否有前面叙述的几何意义，最后选择恰当的代数方法求最值。

（一）函数法

如果得到的表达式是关于某个变量的函数，选择函数求最值的方法，比如求一般函数最值的单调性法、换元法、导数法、二次函数的配方法、三角函数的有界性等。例如：

抛物线y2=4x上两点A（4，4），B（1，-2）的连线为底边的△ABP，其顶点P在抛物线的弧AB 上运动，（下转第123页）（上接第121页）求△ABP 的最大面积及此时点P

的坐标。

解析：要求△ABP 的最大面积，即要求出点P 到直线AB 距离d 的最大值。设点P ，求出直线AB 的方程，由，且-2

（二）不等式法

如果得到的表达含有一个或者一个以上的变量，若由其结构特征利用一般函数的方法

比较复杂、运算量大或者不能当成一个函数时，考虑利用不等式法求最值，常见的有基本不等式与柯西不等式等。例如：

已知F 为抛物线y2=x的焦点，点A，B 在抛物线上且位于x 轴两侧，=2 ，（O为坐标原点），求△ABO 与△AFO 面积之和的最小值。

解析：依题意，设出直线AB 的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），将所求面积

S△ABO+S△AFO表示为某一变量的函数，即，最后选择利用基本不等式，即，得其最小值为3。

再如：

已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，点P 是它们的一个公共点，且∠F1 PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值。

解析：依题意，设椭圆和双曲线的离心率为e1e2，由余弦定理在椭圆和双曲线中分别化简消元后得，最后选择柯西不等式

解得

当且仅当时等号成立。

解析几何最值问题的类型和解决方法较多，综合性较强，弄清题意的同时结合运算，

在运算中发现并选择方法，有些题目可以用多种方法解决，注意判断选取适当的方法。在学习实践过程中善于总结积累经验，才能在遇到此类问题时心中有数，有章可循，有法可依。