例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换

例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换
李进
山东省邹平县第一中学
计算一个电路的电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路的串并联关系。

实际电路中，电阻的联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。

本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。

1、等势节点的断接法
在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。

这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件间的串并联关系。

常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。

【例题1】在图8-4甲所示的电路中，R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = R ，试求A 、B 两端的等效电阻R AB 。

模型分析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。

将图8-4甲图中的A 、D 缩为一点A 后，成为图8-4乙图。

答案：R AB =
8
3R 。

【例题2】在图8-5甲所示的电路中，R 1 = 1Ω ，R 2 = 4Ω ，R 3 = 3Ω ，R 4 = 12Ω ，R 5 = 10Ω ，试求A 、B 两端的等效电阻R AB 。

模型分析：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A 、B 两端接入电源，并假设R 5不存在，C 、D 两点的电势相等。

因此，将C 、D 缩为一点C 后，电路等效为图8-5乙
对于图8-5的乙图，求R AB 是非常容易的。

事实上，只要满足2
1R R =
4
3R R 的关系，该桥
式电路平衡。

答案：R AB =
4
15Ω 。

【例题3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R ，试求A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。

【例题4】用导线连接成如图所示的框架，ABCD 是正四面体，每段导线的电阻都是1Ω。

求AB 间的总电阻。

2、电流分布法
设有电流I 从A 点流入、B 点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流I 的关系，然后经任一路径计算A 、B 两点间的电压AB
U
，再由
I U R AB AB
=即可求出等效电阻。

【例题1】7根电阻均为r
的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A 、B 两点之间的等效电阻AB R 。

【例题2】10根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A 、B 两点之间的等
效电阻AB R 。

【例题3】8根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，C 、D 之间是两根电阻丝并联而成，试求出A 、B 两点之间的等效电阻AB R 。

A
B
D
C
A
B
C
D
A
B
电流叠加原理：直流电路中，任何一条支路的电流都可以看成是由电路中各个电源分别作用时，在此支路中产生的电流的代数和。

所谓电路中只有一个电源单独作用，就是假设将其余电源均除去，但是它们的内阻仍应计及。

【例题4】“田”字形电阻网络如图，每小段电阻为R ，求A 、B 间等效电阻。

3、Y —△变换法
在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的Y 型或△，如图所示，有时把Y 型联接代换成等效的△型联接，或把△型联接代换成等效的Y 型联接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等效代换要求Y 型联接三个端纽的电压
312312U U U 、、及流过的电流321
I I I 、、与△型联接的三个端纽相同。

⑴将Y 型网络变换到△型电路中的变换式：
313322112
R R R R R R R R ++= 21
3322131
R R R R R R R R ++= 11
3322123
R R R R R R R R ++=
⑵将△型电路变换到Y 型电路的变换式：
31231231
121
R R R R R R ++=
31231223
122
R R R R R R ++= 31231223
313
R R R R R R ++=
以上两套公式的记忆方法：
△→Y ：分母为三个电阻的和，分子为三个待求电阻相邻两电阻之积。

Y→△：分子为电阻两两相乘再相加，分母为待求电阻对面的电阻。

当Y 形联接的三个电阻相等时，与之等效的△形联接的三个电阻相等，且等于原来的
B
A
1
23
3I 3R O
2R 1
R 2
I 1
I
3I 3
2
I 21
I 123
R 31
R 12
R
三倍；同样，当△联接的三个电阻相等时，与之等效的Y 形联接的三个电阻相等，且等于原来的1/3。

【例题1】对不平衡的桥式电路，求等效电阻R AB 。

提示：法一：“Δ→Y”变换；
法二：基尔霍夫定律
【例题2】试求如图所示电路中的电流I。

（分别应
用
两种变换方式计算）
【课堂练习】分别求下图中AB 、CD 间等效电阻。

( 答案：0.5R; R PQ =4Ω)
4、无限网络 若
，⋯++++=a a a a x （a ＞0）
在求x 值时，注意到x 是由无限多个
a 组成，所以去掉左边第一个+a 对x 值毫
无影响，即剩余部分仍为x ，这样，就可以将原式等效变换为
x a x +=，即
02
=--a x x 。

所以
2411a x ++=
这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路，那就是：无穷大和有限数的和仍为无
穷大。

⑴一维无限网络
【例题1】在图示无限网络中，每个电阻的阻值均为R ，试求A 、B 两点间的电阻R A B 。

V 41
2
3
I
3'
2'1'
Ω
1Ω1Ω
1Ω
6Ω6Ω
6
解法一：在此模型中，我们可以将“并联一个R再串联一个R”作为电路的一级，总电路是这样无穷级的叠加。

在图8-11乙图中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即
R AB∥R + R = R AB
解这个方程就得出了R AB的值。

答案：R AB =
25
1+
R 。

解法二：可以，在A端注入电流I后，设第一
级的并联电阻分流为I
1
，则结合基尔霍夫第一定律和应有的比例关系，可以得出相应的电流值如图8-12所示
对图中的中间回路，应用基尔霍夫第二定律，有
(I − I
1)R + (I − I
1
)
I
I
1R − I
1
R = 0
解得 I
1 =
2
1
5-
I
很显然 U
A − IR − I
1
R = U
B
即 U
AB = IR +
2
1
5-
IR =
2
5
1+
IR
最后，R
AB =
I
U
AB =
2
5
1+
R 。

【例题2】如图所示，由已知电阻r1、r2和r3组成的无穷长梯形网络，求a、b间的等效电阻R ab．（开端形）
【例题3】如图所示，由已知电阻r1、r2和r3组成的无穷长梯形网络，求a、b间的等效电阻R ab．（闭端形）
⑵双边一维无限网络
【例题4】如图所示，两头都是无穷长，唯独中间网孔上缺掉一个电阻r2，求e、f之间的等效电阻。

（中间缺口形）
【例题5】如图所示，两头都是无穷长，唯独旁边缺一个电阻r2，求f、g之间的等效电
阻.（旁边缺口形）
【例题6】如图所示，求g、f间的等效电阻。

（完整形）
小结：一维无限网络利用网络的重复性。

⑶二维无限网络
【例题7】图为一个网格为正方形的平面无穷网络，网络的每一个节点都有四个电阻与上下左右四个节点分别相联，每个电阻大小均为R，由此，按左右、上下一直延伸到无穷远处．A和B为网络中任意两个相邻节点，试求A、B间的等效电阻R AB．模型分析：如图，设有一电流I从A点流入，从无穷远处流出．由于网络无穷大，故网络对于A点是对称的，电流I将在联接A点的四个电阻上平均分配．这时，电阻R（指A、B两节点间的电阻）上的电流为I/4，方向由A指向B．
同理，再设一电流I从无穷远处流处，从节点B流出．由于网络无穷大，B也是网络
的对称点，因此在电阻R上分得的电流也为I/4，
方向也是由A指向B．
将上述两种情况叠加，其结果将等效为一个从
节点A流入网络，又从节点B流出网络的稳恒电流
I，在无穷远处既不流入也不流出．每个支路上的
电流也是上述两种情况下各支路电流的叠加．因
此，R电阻上的电流为I/2．所以A、B两节点间的
电势差为：
【例题8】对图示无限网络，求A、B两点间的电阻R AB。

【例题9
】有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图所示。

所有六边形每边的电阻为0R ，求：
（1）结点a 、b 间的电阻。

（2）如果有电流I 由a 点流入网络，由g 点流出网络，那么流过de 段电阻的电流 I de 为多大。

解： （1）设有电流I 自a 点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有3/I 电流由a 流向c ，有6/I 电流由c 流向b 。

再假设有电流I 由四面八方汇集b 点流出，那么必有
6/I 电流由a 流向c ，有3/I 电流由c 流向b 。

将以上两种情况综合，即有电流I 由a 点流入，自b 点流出，由电流叠加原理可知
263I I I I ac =
+=（由a 流向c ） 263I I I I cb =
+=（由c 流向b ）
因此，a 、b 两点间等效电阻
0R I R I R I I U R cb ac AB AB =+==
（2）假如有电流I 从a 点流进网络，流向四面八方，根据对称性，可以设
A I I I I ===741
B I I I I I I I ======986532
应该有 I I I A =+B 63
因为b 、d 两点关于a 点对称，所以
A
be
de
I
I I 21
=='
同理，假如有电流I 从四面八方汇集到g 点流出，应该有
B de
I I ='' 最后，根据电流的叠加原理可知
()I I I I I I I I B
A B A de de de 61
636121=+=+=''+'=
⑷三维无限网络
【例题10】假设如图有一个无限大NaCl 晶格，每一个键电阻为r ，求相邻两个Na 和Cl 原子间的电阻。

123
4
567
89
a
b c
d e
g
【例题11】在图示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为R ，试求A 、B 两点间的等效电阻R AB 。

当A 、B 两端接入电源时，根据“对称等势”的思想可知，C 、D 、E…各点的电势是彼此相等的，电势相等的点可以缩为一点，它们之间的电阻也可以看成不存在。

这里取后一中思想，将CD 间的导体、DE 间的导体…取走后，电路可以等效为图8-13乙所示的二维无限网络。

【答案】R AB = 21
2R。