3.1-多尺度分析

c kj = ∑ [clj −1 p k −2l + d l j −1q k −2l ]
l
（2.14)
j −1
{ } { }通 过两个移动平均过程而得到，权系数就是(2.1)与(2.10)式中的系数 {p } 与 {q } 。应注意的是，在移动平均之前，有一个向上采样（upsampling）步 c 与 d }置于 j 尺度上的偶数采样点位 骤，即将 j-1 尺度上的系数序列 { } {
由上式可知，j 尺度上的系数序列 c j 由 j-1 尺度上的系数序列 c j −1 与 d
m m∈Z m m∈Z j −1 j −1
{ }
置，而在奇数点位置上充零。
下面简单介绍序列 p m
{ }
m∈Z 、
{q }
m m∈Z
与 {a m } {bm }(m ∈ Z ) 之间的关系。 、
~ ~ 如果小波函数ψ 与尺度函数 φ 的共轭函数（对偶函数）分别为ψ 与 φ ，它们之间
~ ~ ~ ψ (x ) = ∑ bk φ (2 x − k ) ~
k = −∞ k = −∞ ∞
∞
(2.16)
由(2.15)式和(2.16)式，可以得到： ~ al −2 k =< φ (x − k ), φ (2 x − l ) > ~ b =< ψ (x − k ), φ (2 x − l ) >
k
（2.11)
上式就称为ψ与φ 的分解关系。因此系数序列 {a m }和{bm }(m ∈ Z ) 称为分解序列。
分解关系的理解： 如果 V j
{ }j∈Z 和φ (x ) 产生一个 MRA， φ (x ) ∈ V0 ⊂ V1 , 且{φ (2 x − l )}l∈Z 是V1 的标准正
交基，由于 V1 = V0 ⊕ W0 ，所以 φ (2 x ) 可以表示成 φ ( x − k ) ∈ V0 和ψ ( x − k ) ∈ W0 的 线性组合，即 φ (2 x ) = ∑ [a −2 k φ ( x − k ) + b−2 kψ ( x − k )] 。相同地，
满足下面的正交条件：
φ jk , φ jk ' = δ k −k ' ψ jk , ψ j 'k ' = δ j − j ' δ k −k '
(2.15)
~ 在前面的讨论中， φ 为 L2 (R ) 中的基函数，因此 φ 也为 L2 (R ) 中的基函数，因此有：
φ (x ) = ∑ a k φ (2 x − k )
是一个低
通滤波器，所以这一部分称为光滑部分；另一部分为对不同尺度上小波函数的 整数平移进行加权求和的结果，由于在每一个尺度上（j 一定）权系数 d kj 是一个高通滤波器，所以这一部分称为细节部分。
{ }
k∈Z
由第一章的知识可知，小波函数ψ ( x ) 仅在 x=0 附近振荡，由此可推知，ψ jk ( x ) 在 x = 2 − j k 附近具有局部化性质，可见小波函数在空间的局部化性质不仅与位 置变量有关，而且与尺度变量也有关。当位置变量保持不变，j 越大，小波函 数将振荡得更快，波峰之间将靠得更为紧密，j 增加 1，小波函数在空间的展 布减小一半。如果对（2.17)式定义的小波函数做如下改进：
2
述的准则所刻画: a. {0} ⊂ ⋅ ⋅ ⋅ ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ ⋅ ⋅ ⋅ ⊂ L (R )；
2
b. Clos L2 U V j 在 L (R ) 中稠密，且
2
j = −∞
∞
j =−∞
∩
∞
V j ={ 0}；
φ c. 存在函数 φ ( x )∈ V0 ,使得 { ( x − k )}k∈Z 构成 V0 的一个正交基；
k = −∞
∞
（2.10)
其中 q k = ∫ψ ( x )φ1k ( x )dx （证明从略）。上式称为小波的两尺度关系或称为小
−∞
∞
波方程。当 {q k } 中仅含有有限个非零系数时，小波函数称为紧支撑的。若仅有 D 个非零系数，则（2.10)式变为
ψ (x ) = ∑ q k φ (2 x − k )
j −1 j −1 j
权系数就是（2.11）式中的分解序列。移动平均过程中的“采样点”（j-1 尺 度上的系数序列）仅是 j 尺度上系数序列的偶数点，经过这样的移动平均之后 的系数将减少一半，因此这一过程称为向下采样（downsampling）。
根据(2.1)、(2.10)及(2.12)式，又可以得到
{
}
ψ jk (x ) ≡ ψ 2 i x − k , j , k ∈ Z
(
)
(2.9)
由于 V1 = V0 ⊕ W0 , ψ ( x ) ∈ W0 ，而 φ (2 x − k ) 是 V1 的一个基，所以ψ ( x ) 可以表示 成 φ (2 x − k ) 的线性组合，即
ψ (x ) = ∑ q k φ (2 x − k )
(
)
1/ 2
=1
准则 d 推广到离散的物理域可理解为:若某个信号 f 为在 V j 空间以间隔 x 进行采 样而得到,则当采样间隔减小一半所得到的信号属于 V j +1 .
根据准则 a 和 c，有
? 证明: 序列pk的和为2
φ (x ) = ∑ p k φ (2 x − k ) ，
k = −∞ +∞
k =0
D −1
如果定义
φ jk ( x ) ≡ φ 2 j x − k , j , k ∈ Z ，
则
(
)
j--分辨率水平 2j--尺度
（2.2) (2.3)
V j := Clos L2 φ jk , j , k ∈ Z 。
{
}
2.1.3 小波函数 给定一嵌套子空间序列 V j ，具有 MRA 中的包含性质，则必定存在一子空间序 列 W j ，构成 V j 在 V j +1 中的正交完备空间，也就是说，
f ∈ L2 (R ) 投影到 V j 的分量为 f j ,则 lim f j = f .
j →∞
准则 c 说明存在一个确定的函数 φ ( x ) ,它在实轴上的整数平移构成了 V0 空间的一 组正交基.为了能量守恒, φ ( x ) 还满足:
∫−∞ φ (x )dx = 1
∞
φ
2
∞ ≡ ∫−∞ φ ( x ) dx 2
k
φ (2 x − 1) = ∑ [a1−2 k φ (x − k ) + b1−2 kψ (x − k )]
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φ (2 x − l ) = ∑ [al −2 k φ (x − k ) + bl −2 kψ (x − k )]
k
⋅⋅⋅
最后一个式子就是分解关系（2.11）。
2.1.5
分解与重构的 Mallat 算法
ψ
jk
(x ) = 2 j / 2ψ {2 j (x − k )}, k ∈ Z , j ≥ 0
多尺度分析
徐义贤 固体地球物理系 2009-03-23
2.1
多尺度分析与尺度函数 多尺度分析(MRA)构成小波理论的自然框架,它既可以深刻描述小波理论优美 的自然特性,构造离散小波变换的快速算法,还可以通过它产生新的小波. MRA 的 基本思想是在不同的尺度(或分辨率)水平上表达任意的函数 f ∈ L (R ) .MRA 由下
在(2.6)式中，若 j → −∞, J → ∞ ，则有
j = −∞
⊕ W j = L2 (R )
∞
（2.7)
W j 空间也含有 V j 空间同样的标度性质，即
f ( x ) ∈ W j ⇔ f (2 x ) ∈ W j +1 , j∈Z
（2.8)
推论：给定 V j 空间的尺度函数 φ ，则在 W 空间存在另一个函数ψ ，即小波函 数，它的整数平移与伸缩 ψ jk : k , j ∈ Z 产生 W j ，这里
(2.13)
由（2.12)式可知，函数 f 在尺度 j 上的近似函数（光滑部分） f j 与其丢失的
{ }{ } 度上的系数序列 { } { c 与 d }由 j 尺度上的系数序列 { }经移动平均而得到， c
部分 g j 可以完全由系数序列 c kj 与 d kj 确定。观察（2.13）式可发现，j-1 尺
d. f ( x )∈V j ⇔ f (2 x )∈V j +1 ； e. f ( x ) ∈ V j ⇔ f ( x + 1) ∈ V j 。
说明: 对于 a 中的子空间,有些采用与此处相反的排序,即
{0} ⊂ ⋅ ⋅ ⋅ ⊂ V1 ⊂ V0 ⊂ V−1 ⊂ ⋅ ⋅ ⋅ ⊂ L2 (R ).
准则 b 可理解为一个嵌套的近似子空间 V j 并的闭包构成 L2 (R ) .显然,若将函数
0 ck = ∫ f (x)φ0k (x)dx, d kj = ∫ f (x)ψ jk (x)dx R R
(
)
(2.17) (2.18)
(2.15)式可理解为：在 MRA 中，函数可分解为两个部分之和。一部分为对 0 阶
0 尺度上尺度函数的整数平移进行加权求和的结果，由于权系数 c k
{ }
k∈Z
若函数 f ∈ L2 (R ) ， f N 为在 V N 空间对 f 进行离散采样的结果，则 f N ∈ V N 。 由于 V N = V N −1 ⊕ W N −1 ，所以 f N 有如下的唯一分解：
f N = f N −1 + g N −1 ，
式中 f N −1 ∈ V N −1 , g N −1 ∈ W N −1 。重复上式的过程，可以得到：
k =0
D −1
可以证明：
q k = (− 1)k p D −1−k , k = 0,1,⋅ ⋅ ⋅, D − 1
2.1.4
重构与分解关系
由于 φ (2 x )、φ (2 x − 1) 均为 V1 中的基，又 V1 = V0 ⊕ W0 ，则存在四个系数序 列，分别记为 {a −2 k }, {b−2 k }, {a1−2 k }和{b1−2 k }，使得
V j +1 = V j ⊕ W j , j ∈ Z
且
W j ⊥ W j ' , 如果j ≠ j '
， 。
（2.4) (2.5)
由于子空间 V j 是嵌套的，所以
⎛ J −1 ⎞ ⎜ ⎟ V J = V j ⊕ ⎜ ⊕ Wk ⎟, ⎜k = j ⎟ ⎝ ⎠
j<J
。
(2.6)
由上式可见，任何属于 V J 中的函数都可以表示成 V j 与 Wk (k = j , j + 1,⋅ ⋅ ⋅, J − 1) 中 函数的线性组合。所以该函数可以分开在不同的尺度上进行分析，这也许是多尺 度分析名称的由来。
f N = g N −1 + g N −2 + ⋅ ⋅ ⋅ + g N − M + f N − M
式中 f j ∈ V j , g j ∈ W j , j = N − 1, N − 2, ⋅ ⋅⋅, N − M 。上式的分解方法就称为小波分 解。
另一方面，由于 φ jk ∈ V j , ψ
jk
∈ W j ，根据小波函数与尺度函数的性质， f j 与g j
可以 分别由φ jk 与ψ jk 的线性组合来表示 ，即
f j ( x ) = ∑ c kj φ 2 j x − k
k
(
) )
（2.12）
g j (x ) =
j ∑ dkψ k
(2
j
x − k , j, k ∈ Z
对比（2.11）与（2.12）两式，可得到
⎧c j −1 = ∑ c j al −2 k l ⎪ k l ⎨ j −1 j ⎪d k = ∑ cl bl −2 k l ⎩
φ (2 x ) = ∑ [a −2 k φ ( x − k ) + b−2 kψ (x − k )] φ (2 x − 1) = ∑ [a1−2 k φ (x − k ) + b1−2 kψ ( x − k )]
k k
由上两式可以推出一个通用公式
φ (2 x − l ) = ∑ [al −2k φ (x − k ) + bl −2kψ ( x − k )], l ∈ Z ，
(2.1)
其中 p k = ∫ φ 00 ( x )φ1k ( x )dx （证明从略）。上式称为尺度函数的两尺度关系或膨
−∞
∞
胀方程， {p k }称为 φ (x ) 的两尺度序列。当 {p k }中仅含有有限个非零系数时，尺 度函数称为紧支撑的。若仅有 D 个非零系数，则（2.1)式变为
φ (x ) = ∑ p k φ (2 x − k )
l −2k
（2.17)
2.1.6 MRA 中的函数表达 若 f ∈ L2 (R) ，则根据 MRA 的性质，可展开为
0 f ( x) = ∑ ck φ0k ( x) + ∑ ∑ d kjψ jk (x) k∈Z j≥0 k∈Z
（2.15) (2.16)
式中
φ0k = φ (x − k ),
ψ jk (x) = 2 j / 2ψ 2 j x − k ，