高考文科数学练习题直接证明与间接证明

课时跟踪检测（六十一） 直接证明与间接证明

1．(2019·山西十二校模拟)用反证法证明命题“已知a ，b ∈N *，如果ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )

A ．a ，b 都能被5整除

B ．a ，b 都不能被5整除

C ．a ，b 不都能被5整除

D ．a 不能被5整除

解析：选B 用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而至少有一个能被5整除的否定是都不能被5整除，故作的假设是“a ，b 都不能被5整除”．

2．分析法又称执果索因法，已知x ＞0，用分析法证明1＋x ＜1＋x 2时，索的因是( )

A ．x 2＞2

B ．x 2＞4

C ．x 2＞0

D ．x 2＞1

解析：选C 因为x ＞0， 所以要证1＋x ＜1＋x

2，

只需证(

1＋x )2＜

⎝⎛⎭⎫1＋x 22，即证0＜x 2

4

， 即证x 2＞0，

因为x ＞0，所以x 2＞0成立，故原不等式成立．

3．在△ABC 中，sin A sin C

解析：选C 由sin A sin C 0， 即cos(A ＋C )>0，所以A ＋C 是锐角， 从而B >π

2，故△ABC 必是钝角三角形．

4．欲证2－3<6－7，只需证( )

A ．(2＋7)2<(3＋6)2

B ．(2－6)2<(3－7)2

C ．(2－3)2<(6－7)2

D ．(2－3－6)2<(－7)2

解析：选A 欲证2－3<6－7，只需证2＋7<3＋6，只需证(2＋7)2<(3＋6)2，故选A.

5．(2019·大连一模)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1

＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )

A ．恒为负值

B ．恒等于零

C ．恒为正值

D ．无法确定正负

解析：选A 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是

R 上的单调递减函数，

由x 1＋x 2＞0，可知x 1＞－x 2，f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)， 则f (x 1)＋f (x 2)＜0.

6．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )

A ．A ≤

B ≤

C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤A

D ．C ≤B ≤A

解析：选A 因为a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是单调减函数，故f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭

⎫2ab

a ＋

b ，即A ≤B ≤C .

7．设n ∈N ，则n ＋4－n ＋3与n ＋2－n ＋1的大小关系是( ) A.n ＋4－n ＋3＞n ＋2－n ＋1 B.n ＋4－n ＋3＜n ＋2－n ＋1 C.n ＋4－n ＋3＝n ＋2－n ＋1 D ．不能确定

解析：选B 由题意知，(n ＋4－n ＋3)－(n ＋2－n ＋1)＝(n ＋4＋n ＋1)－ (n ＋3＋n ＋2)，

因为(n ＋4＋n ＋1)2－(n ＋3＋n ＋2)2 ＝2[(n ＋4)(n ＋1)－(n ＋3)(n ＋2)] ＝2(n 2＋5n ＋4－n 2＋5n ＋6)＜0， 所以n ＋4－n ＋3＜n ＋2－n ＋1.

8．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16

a 三个数( ) A ．都大于6 B ．至少有一个不大于6 C ．都小于6

D ．至少有一个不小于6

解析：选D 假设a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16

a 都小于6， 则a ＋4

b ＋b ＋9

c ＋c ＋16

a

＜18,

利用基本不等式，可得a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16

a ≥2a ·

16a ＋2

b ·4b ＋2

c ·

9c ＝8＋4＋6＝

18，

这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，

所以a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16

a

三个数至少有一个不小于6.

9．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是__________________． 解析：a a ＋b b ＞a b ＋b a ，即(a －b )2(a ＋b )＞0，需满足a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b

10．(2019·太原模拟)用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设____________________．

解析：“x ＝－1或x ＝1”的否定是“x ≠－1且x ≠1”． 答案：x ≠－1且x ≠1

11．(2019·德州一模)如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 2B 2C 2是________三角形．

解析：由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．

由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 1，

sin B 2

＝cos B 1

＝sin ⎝⎛⎭⎫π

2－B 1

，sin C 2

＝cos C 1

＝sin ⎝⎛⎭

⎫π2－C 1

，得⎩⎪⎨⎪⎧

A 2＝π

2

－A 1，

B 2

＝π

2－B 1

，

C 2

＝π2－C 1

.

那么A 2＋B 2＋C 2＝π

2，这与三角形内角和为π相矛盾．

所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形． 所以△A 2B 2C 2是钝角三角形． 答案：钝角

12．已知a ＞b ＞0，则①1a ＜1

b ；②a

c 2＞bc 2；③a 2＞b 2；④a ＞b ，其中正确的序号是________．

解析：对于①，因为a ＞b ＞0，所以ab ＞0，1ab ＞0，a ·1ab ＞b ·1ab ，即1b ＞1

a ，故①正确； 当c ＝0时，②不正确；由不等式的性质知③④正确． 答案：①③④

13．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1＞8. 证明：因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1， 所以1

x －1＝1－x x ＝y ＋z x ＞2yz x ， ① 1y －1＝1－y y ＝x ＋z y ＞2xz y ，

②