4_3角动量 角动量守恒定律

质量为 m 的质点以速度 v
质点的角动量
L
x
z
r
o
L r p r mv 大小 L rmv sin
m y
v
L
Leabharlann Baidu
v

为 r 的圆运动，相对圆心的 角动量
L 的方向符合右手法则. 质点以角速度 作半径
L mr J
因此，开始不旋转的物体，当 其一部分旋转时，必引起另一 部分朝另一反方向旋转。


'

注意：对于质点，刚体系统的碰撞，t短，内力矩大，外力矩忽略不计，
例1：杆质量M ，长l，绕中点转动，J
初速水平v，射入下端，问 ？ 解：碰撞前角动量
L1 mv l 2
M 2 l ，开始竖直静止。子弹m， 12
dL M dt
dL M dt
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角 动量随时间的变化率.

t2
t1
M dt L2 L1
冲量矩
t1
t2
M dt
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受 的冲量矩等于质点角动量的增量.
在空间运动，某时刻相对原点 ，质点相对于原 O 的位矢为 r 点的角动量
ri
mi
z
dt
d ( J ) dt
O
结论
d ( J ) dL M dt dt
vi
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合力矩等于 刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率。
d ( J ) M dt

t2
t1
Mdt J 2 2 J11
刚体定轴转动的角动量定理

t2
t1
Mdt J12 J 21
M
(1)
碰撞后角动量
L2 J
且
(2)
mv

l M J J m J M m( ) 2 l 2 2 12
(3)
碰撞过程中， 的重力矩为零， 的重力矩忽略不计。由 M m 角动量守恒，得
6m v (3m M )l
例2 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同 的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在 同一中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2，B的 转 动 惯 量 为 JB=20kgm2 。 开 始 时 A 轮 的 转 速 为 600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合 后的转速。
在冲击等问题中
in ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
有许多现象都可以 用角动量守恒来说明. 花样滑冰 跳水运动员跳水 自然界中存在多种守恒定律 动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
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刚体定轴转动时，作用于刚体的冲量矩等于刚体 角动量的增量。
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若 M 0 ，则 讨论 守 恒条件
L J 常量
M 0
刚体所受合外力矩为零。
内力矩不改变系统的角动量。
M M L 常量 若 J 不变 ，不变；若J 变， 也变，但 L J 不变.
为两轮啮合后共同转动的角速度，于是
J A A J B B JA JB
以各量的数值代入得
20.9rad / s
轻绳一端系着 v 质量为m的质点， r/2 r O m 另一端穿过光滑水 平桌面上的小孔O F 用力拉着，质 点原来以等速率作半径为r 的圆周运动，问 当拉动绳子向正下方移动到半径为r/2时，质 点的角速度多大？
2

ri
mi
z
L mi ri vi ( mi ri 2 ) J
i i
O
vi
L J
2 刚体定轴转动的角动量定理
dLi d (mi ri vi ) d (mi ri ) Mi dt dt dt
2
M Mi
d (mi ri )
2

A C B A C B
A


解 以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在 啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的 切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴 有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外 力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律 可得
J A A J B B＝ J A J B
例3
应有 L 常矢量
即 J11 J 22
解 m绕O转动中， 所受力矩M=0．
r/2
O
r
v
m
F
2
v r mr ( ) m 2 r 2 解得： 2 4v / r
2
• 作业：4-13，4-17，4-21
力的时间累积效应 力矩的时间累积效应 一 质点的角动量定理
冲量、动量、动量定理.
?
dv dp M r F r (m )=r dt dt dp d ( r p ) r ? = Lrp dt dt dL r F =M dt
2
r
p
L
m o r
二 质点的角动量守恒定律
dL M dt M 0, L 恒矢量
质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该 参考点 O 的角动量为一恒矢量.
二
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动的角动量
Li mi ri vi mi ri
当滑冰、跳水、体操运 动员在空中为了迅速翻转 也总是曲体、减小转动惯 量、增加角速度。当落地 时则总是伸直身体、增大 转动惯量而减少角速度， 使身体平稳落地。
2.系统（一般是质点 — 刚体系统） 如果 M i外 0, 则 Li 恒量 两刚体 J110 J 220 J11 J 22