第六讲 输电线路

第一节 单导线-地系统暂态过程

6-1-1长输电线的稳态数学模型

输电线本质上是分布参数网络元件。但当输电线较短时，把输电线的阻抗和导纳分别简单集中，当做集中参数元件处理，用π型或T 型等值电路来表示，通常是许可的。

如果有一输电线，长度为l ，其单位长度线路电阻、电感、电导和电容分别是

0000R L G C 、、、。所谓简单集中就是用图6-1中的π型或T 型等值电路来模拟输电线，其

中的阻抗为00()Z R j L l ω=+，导纳为0Y j C l ω=。对于这里的阻抗Z 和导纳Y 就可以应用电阻-电感串联支路和并联电容支路的数学模型。

图6-1 输电线π型、T 型等值电路

(a )π型等值电路(b )T 型等值电路

当输电线较长时，为使计算和仿真结果精确起见，就需要计及输电线的分布参数特性，采用所谓长线模型。

如图用4-1(a )中的π型等值电路来表示，其参数为

sinh 12(cosh 1)sinh c c Z Z l l Y Z l ππγγγ=⋅⎧⎪

⋅-⎨=⎪⋅⎩

(6-1)

如图用4-1(b )中的π型等值电路来表示，其参数为

2(cosh 1)sinh 1sinh T

c T c l Z Z l Y l Z γγγ⋅-⎧=⎪⋅⎪

⎨

⎪=⋅⎪⎩

(6-2)

式中c Z =

γ=分别为输电线路的波阻抗和传播常数。 6-1-2单导线-地系统的数学模型

图6-2 单导线—地系统及其等值微分单元 (a)单导线—地系统 (b)等值微分单元

图6-2为一单导线线路。图中0R 、0L 为单位长度线路的电阻、电感，0G 、0C 为单位长度线路的对地电导，电容。x 是从线路的一端k 到微分单元dx 的距离，x 的正方向与电流i 的正

方向相同，u ，i 是x 和时间t 的函数。

由基尔霍夫第一，第二定律可得到下列偏微分方程

0000

u

i R i L x t

i u

G u C x

t ∂∂⎧-=+⎪⎪∂∂⎨

∂∂⎪-=+⎪∂∂⎩ (6-3)

对上二式分别对x 取偏导数后，有

220000000022

22

00000000

2

2()0()0

u u u L C L G R C R G u x t t

i i i L C L G R C R G i x t t ⎧∂∂∂--+-=⎪⎪∂∂∂⎨∂∂∂⎪--+-=⎪∂∂∂⎩ (6-4)

实际线路的参数0R 、0L 、0G 、0C 与变量u ，i 和频率有关。0R 、0L 与频率有关，主要是由导线的集肤效应引起的；0G 、0C 与电压有关，主要是由电晕效应引起的。这里讨论参数为定值的情况。

对于无损线路，有

22002

222

00

2

200

u u

L C x t

i i L C x t ⎧∂∂-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪-=⎪∂∂⎩ (6-5)

通解的一般形式可写为

1212(,)()()1(,)[()()]

c x x u x f f t f t v v x x i x t f t f t Z v v ⎧=-++⎪⎪

⎨⎪=--+⎪⎩

(6-6)

1f ，2f 的具体形式由边界条件确定。1(/)f t x v -代表沿x 正方向传播的前行波，2(/)f t x v +代表沿x 负方向传播的反行波。

6-1-3无损线路的贝瑞隆等值电路

式(6-6)经整理后，有如下形式

11

(,)(,)2()(,)(,)2()

c c x u x f Z i x t f t v

x u x f Z i x t f t v ⎧+=-⎪⎪⎨

⎪-=+⎪⎩

(6-7)

若保证/v t x -（）为常数，则

1(,)2)C (,)(C x

u x t Z i x t f t v

+=-=

(6-8)

其含义为：如果以观察者沿x 的正方向以速度v 运动，则由于他观察到的任一时刻的

/v t x -（）均为常数，故1/v f t x -（）

或(,)(,)C u x t Z i x t +亦为常数。假定该观察者在t τ-时刻从k 端出发，经时间/l v τ=(l 为线路的长度)后于t 时刻达到m 端，则他在t τ-时刻和t 时刻所观察到的1/v f t x -（）

是相同的。即 ()()()[()]k C km m C mk u t Z i t u t Z i t ττ-+-=+-

(6-9)

同样，若保证/v t x +（）为常数，则

2(,)(,)2()C x

u x t Z i x t f t C v -=+= (6-10)

其含义为：如果一观察者沿x 的负方向在t τ-

时刻从m 端出发，于t 时刻到达k 端，则他

从起点到终点所观察到的2/v

f t x +（）也是保持不变的，故有 ()[()]()()m C mk k C km u t Z i t u t Z i t ττ----=-

(6-11)

式(6-9)、(6-10)经整理后得

1()()()1()()()km

k k C

mk m m C i t u t I t Z i t u t I t Z ττ⎧

=+-⎪⎪⎨

⎪=+-⎪⎩

(6-12)

其中()k I t τ- 、()m I t τ-

是过去的记录，其公式为 1

()()()k m mk C

I t u t i t Z τττ-=-

--- 1

()()()m k km C

I t u t i t Z τττ-=-

---

由式(6-12)可画出单导线输电线路的贝瑞隆等值电路，如图6-3所示

图6-3 无损线路的等值电路 (a)原型 (b)等值电路

6-1-4有损线路的贝瑞隆等值电路

实际上，输电线路是有损的，即0R 、0G 不等于零。一般地说0G 很小，忽略后所引起的误差不大，而0R 则不一定能忽略。图6-4是计及线路电阻0R 的一种简单处理方法，即将线路的总电阻0R lR =分散在三处：线路两端各/4R ，线路中间/2R 。这种处理线路损耗