伸缩变换之椭圆与圆
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在椭 圆 中， 已知椭 圆 Ｘ ２＋ ｙ ２
所以 Ｉ Ｐ Ｔ Ｉ 。 ： ］ ＰＡ Ｉ Ｉ Ｐ Ｂ［ ．
圆 中的一个结论， 此 处略
在椭 圆 中， 已知椭 圆 ａ ＋ ＝１ （ ｎ＞ ｂ ＞０ ） ， Ａ Ｂ ‘ Ｄ‘
图４
ｙ２
一
ａ‘
ｏ‘
＝０并整理得
（ ａ 。 ｓ ｉ ｎ 。 ８ 一ｂ Ｃ Ｏ Ｓ 。 ｏ ） ｔ 。 一２ ｏｂ ｒ ｃ ｏ ｓ ／ ９ ． ｔ ＋ａ Ｚ ｂ 。 一ｂ ２ ｍ。 ＝０ ，
设 它的两个实数解 为 ｔ ｈｔ ２ ， 则 由参数 ｔ的几何 意义可知： 当 点 为弦 Ｍ Ｎ 的内分点 （ 即 ｍ ＜ 一ａ或 ｍ ＞ａ时， 如图 ３ ，
直线 ＯＭ 和 ＡＢ的斜率都存在， 则ｋ ｏ Ｍ． ｋ Ａ Ｂ： 一１ ．
在椭圆中， 已知椭圆 竺
０， ２
＋ ｙ２
＝
Ｄ
１ （ 。＞６＞０ ） ， ＡＢ为
我们很容 易证 明在伸缩变换 下直线还是 直线， 斜 率之间 的关 系为 七 ： ， 我们常常将椭 圆 ｘ ２＋ ｙ ２ １ （ 。＞６ ＞。 ） 在 “ ａ ‘ Ｏ‘
＝１ （ ０＞。 ， ６ ＞。 ） ，
顶点 弦 Ａ Ｐ的倾斜 角为 ８ ， ０＜ ＜７ ｒ ， 点 Ａ的坐标 为 （ 一 ｎ ， ０ ） ，
点 Ｔ 的坐标为 （ ｍ， ０ ） ， ｍ ≠０ ， ｍ ≠： ｋ ａ ， 则 直线 ＤＰ 的参 数
方程是
Ｉ Ｔ Ｍ Ｉ ＋ ［ Ｔ Ｎ Ｉ ＝ ＋ ｔ ２ １ ： Ｉ ２ ｍ ｂ ２ ｃ ｏ ｓ Ｏ ０ ，
从 而
＝
｛ Ｌ ： 一 。 ＋ ｏ ｓ （ ｔ 为 参 数 ） ，
吼删 ’
＝
将 它 代 人 一 若 ＝ １ 得
ｆ ０ ｓ ｉ ｎ 。 ０ 一ｂ ２ Ｃ Ｏ Ｓ 。 ０ ） ｔ ＋２ ａ ｂ ２ ｃ ｏ ｓ ０ ． ｔ ：０
Ｊ ＡＰ Ｉ
ａ
Ｉ Ｏ ＡＩ ． ’
Ｙ ｔ ｉ ｎ８，
１ ．
肭或
时１ ．
Ｉ ，
： 高（ 当 点 为 弦 Ｍ Ⅳ 的 夕 卜 分 点
Ｊ
下 面 只给 出件 质 ３的 证 明．
｛ Ｉ ＝ ｍ ＋ ￣ ｃ ｏ ｓ ８ ， （ ￡ 为 参 数 ） ，
口１
将它代入 一
．
＼ ＼ ＼
箬 ．
图３ ， 由 圆的 切割 线走 理： Ｉ Ｐ Ｔ 个 ＝Ｉ Ｆ Ａ Ｌ Ｉ Ｐ Ｂ Ｉ 又 ：１ ，
；＝
１ （ 。＞
：
孚 ， 所 以
±
ｌ ＝ ：一 ３
ｚ ２： ： ２ 于点 Ｅ， 若ｋ ｌ 七 ｌ ：一 ５ ２
，
证 明 为 ＣＤ 的中点．
ａ ，
（ 其 中点 Ａ为实轴 的一个端点） ， 弦 Ｍ Ｎ 与 ＡＰ平行 ， 且直线 Ｍ Ｎ 交 双曲线实轴所在直线于点 （ 异于点 ０及 实轴 的两个
而
端点） ， 则 也
ＯＴＩ ： ＝Ｉ ｌ 、 ￣ ￣￣ … ５ Ｔ 为弦 Ｍ Ⅳ 的内分 ｏＡ ｌ
ｔ 。 １
又直线 Ｍ Ｎ 的参数方程是
：
弦， Ｍ 为 ＡＢ 的 中点， 若直线 ＯＭ 和 ＡＢ 的斜率都 存在， 则
ｋ ＯＭ ￣ ｋ ＡＢ ： 一 ５ ２
．
性质 ３ １ 芟 ＡＰ 是 以 点 ０ 为 中 心 的 双 曲 线 的 坝 点 弦
显然 ｔ ａ ｎ ≠ 土皇 即 。 。 ｓ ｉ ｎ ： 口一ｂ ２ ｃ ｏ ｓ ２ 口≠ ０ ， 解 得 ｔ＝ ｏ或
２ ０ １ ６年 第 ｌ ２期 （ 上）
中学 数学 研究
伸缩变换 之椭 圆与 圆
广 东省湛江二 中 （ ５ ２ ４ ０ ０ ０ ） 吴志娟
圆是特殊 的椭 圆， 圆中的一些定理或性 质在椭 圆中也有 类 似的结 论， 这些结论 成为各 地高考 考察 的热 点． 利用伸 缩 变换 将椭 圆变成 圆， 结合 圆中的定理或性 质解题更容 易看清 问题 的本质， 有效减少计算 伸缩变换是直角坐标系下坐标的线性变换， 其形式为：
Ｄ Ｄ
，
｛ 喜 ． 则 椭 圆 变 成 ｚ ＋ ＝ 如 图 ２ ， 由 伸 缩 变 换 ｛ ｌ
＝ ： 一
， ＝ ＝
Ｙ ＝￣ ／ ２
１
得 到 圆 ｚ ｑ ＿ ｙ ， ２ ： ６ ， 如
：பைடு நூலகம்
Ｂ
一
例 １（ ２ ０ １ ０上 海 理 科）已知 椭 圆 ｘ ２＋ ｙ ２
。 ．
伸 缩 变 换 ｛ Ｌ ， 下 变 成 圆 Ｘ １ ２ ＋ ｙ ， ２ ： ａ ２ ＂ 下 面 结 合
Ｙ
各地 高考题 谈谈 圆的垂径 定理， 圆周角 定理， 圆幂定 理等在
椭 圆中的类似结论．
一
、
圆 的垂径 定理
Ｄ 为圆心， ＡＢ 为弦， 为 ＡＢ 的中点， 则 ＯＭ ＿ Ｌ ＡＢ， 若
注 在性质 ２和性质 ３中， 若 Ｍ Ｎ 是过焦点的弦， 则其 中 ： ｅ为椭 圆 、 双曲线 的离心率．
２
一 …
中学 数 学研 究
证 明 作伸缩变换
２ ０ １ ６年第 １ ２期 （ 上）
ｎ。
，
因为 ｋ ｏ Ｍ， ． ｋ Ａ ， Ｂ ，： 一１ ， 所以 ｉ ａ ｏ Ｍ． ａ 后 Ａ ｔ ３： 一１ 即
证 明 作伸缩变换
｛ 蓍 ． 则 椭 圆 变 成
２＋ Ｙ ： ａ２
．
１ Ｐ ４ Ｉ Ｐ Ｂ ｌ 等 ． ， １ 、 一 ５ ， ’
＝
并 且 ： 譬 Ｄ Ｏ 后 ｌ 譬 ２ ：一 １ ， 所 以Ｃ ， Ｄ ， 上 Ｄ ， Ｅ ， ， 由 圆 的 垂 径
二 、 圆周 角定 理 ： 直径 所对 的 圆周角是 直 角 ．
‘
图３
ｌ ｉ ｔ Ｍ ｌ — Ｉ Ｔ Ⅳ Ｉ ｌ ＝ Ｉ ｔ ￣ － ｛ － ｔ ２ Ｉ ＝ Ｉ ２ ｍ ｂ ￣ ｃ ｏ ｓ ８ ０ ，
ｌ ＰＩ Ｉ Ｏ Ａｆ ； ’ ａ 当点 为 弦 ＭＮ 的外分点 （ 即一 ａ＜ ｍ ＜ａ时， 如图 ４ ，
＝
＝
证 明 设双 曲线 的方程 为 Ｘ ２
所以 Ｉ Ｐ Ｔ Ｉ 。 ： ］ ＰＡ Ｉ Ｉ Ｐ Ｂ［ ．
圆 中的一个结论， 此 处略
在椭 圆 中， 已知椭 圆 ａ ＋ ＝１ （ ｎ＞ ｂ ＞０ ） ， Ａ Ｂ ‘ Ｄ‘
图４
ｙ２
一
ａ‘
ｏ‘
＝０并整理得
（ ａ 。 ｓ ｉ ｎ 。 ８ 一ｂ Ｃ Ｏ Ｓ 。 ｏ ） ｔ 。 一２ ｏｂ ｒ ｃ ｏ ｓ ／ ９ ． ｔ ＋ａ Ｚ ｂ 。 一ｂ ２ ｍ。 ＝０ ，
设 它的两个实数解 为 ｔ ｈｔ ２ ， 则 由参数 ｔ的几何 意义可知： 当 点 为弦 Ｍ Ｎ 的内分点 （ 即 ｍ ＜ 一ａ或 ｍ ＞ａ时， 如图 ３ ，
直线 ＯＭ 和 ＡＢ的斜率都存在， 则ｋ ｏ Ｍ． ｋ Ａ Ｂ： 一１ ．
在椭圆中， 已知椭圆 竺
０， ２
＋ ｙ２
＝
Ｄ
１ （ 。＞６＞０ ） ， ＡＢ为
我们很容 易证 明在伸缩变换 下直线还是 直线， 斜 率之间 的关 系为 七 ： ， 我们常常将椭 圆 ｘ ２＋ ｙ ２ １ （ 。＞６ ＞。 ） 在 “ ａ ‘ Ｏ‘
＝１ （ ０＞。 ， ６ ＞。 ） ，
顶点 弦 Ａ Ｐ的倾斜 角为 ８ ， ０＜ ＜７ ｒ ， 点 Ａ的坐标 为 （ 一 ｎ ， ０ ） ，
点 Ｔ 的坐标为 （ ｍ， ０ ） ， ｍ ≠０ ， ｍ ≠： ｋ ａ ， 则 直线 ＤＰ 的参 数
方程是
Ｉ Ｔ Ｍ Ｉ ＋ ［ Ｔ Ｎ Ｉ ＝ ＋ ｔ ２ １ ： Ｉ ２ ｍ ｂ ２ ｃ ｏ ｓ Ｏ ０ ，
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下 面 只给 出件 质 ３的 证 明．
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口１
将它代入 一
．
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图３ ， 由 圆的 切割 线走 理： Ｉ Ｐ Ｔ 个 ＝Ｉ Ｆ Ａ Ｌ Ｉ Ｐ Ｂ Ｉ 又 ：１ ，
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１ （ 。＞
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孚 ， 所 以
±
ｌ ＝ ：一 ３
ｚ ２： ： ２ 于点 Ｅ， 若ｋ ｌ 七 ｌ ：一 ５ ２
，
证 明 为 ＣＤ 的中点．
ａ ，
（ 其 中点 Ａ为实轴 的一个端点） ， 弦 Ｍ Ｎ 与 ＡＰ平行 ， 且直线 Ｍ Ｎ 交 双曲线实轴所在直线于点 （ 异于点 ０及 实轴 的两个
而
端点） ， 则 也
ＯＴＩ ： ＝Ｉ ｌ 、 ￣ ￣￣ … ５ Ｔ 为弦 Ｍ Ⅳ 的内分 ｏＡ ｌ
ｔ 。 １
又直线 Ｍ Ｎ 的参数方程是
：
弦， Ｍ 为 ＡＢ 的 中点， 若直线 ＯＭ 和 ＡＢ 的斜率都 存在， 则
ｋ ＯＭ ￣ ｋ ＡＢ ： 一 ５ ２
．
性质 ３ １ 芟 ＡＰ 是 以 点 ０ 为 中 心 的 双 曲 线 的 坝 点 弦
显然 ｔ ａ ｎ ≠ 土皇 即 。 。 ｓ ｉ ｎ ： 口一ｂ ２ ｃ ｏ ｓ ２ 口≠ ０ ， 解 得 ｔ＝ ｏ或
２ ０ １ ６年 第 ｌ ２期 （ 上）
中学 数学 研究
伸缩变换 之椭 圆与 圆
广 东省湛江二 中 （ ５ ２ ４ ０ ０ ０ ） 吴志娟
圆是特殊 的椭 圆， 圆中的一些定理或性 质在椭 圆中也有 类 似的结 论， 这些结论 成为各 地高考 考察 的热 点． 利用伸 缩 变换 将椭 圆变成 圆， 结合 圆中的定理或性 质解题更容 易看清 问题 的本质， 有效减少计算 伸缩变换是直角坐标系下坐标的线性变换， 其形式为：
Ｄ Ｄ
，
｛ 喜 ． 则 椭 圆 变 成 ｚ ＋ ＝ 如 图 ２ ， 由 伸 缩 变 换 ｛ ｌ
＝ ： 一
， ＝ ＝
Ｙ ＝￣ ／ ２
１
得 到 圆 ｚ ｑ ＿ ｙ ， ２ ： ６ ， 如
：பைடு நூலகம்
Ｂ
一
例 １（ ２ ０ １ ０上 海 理 科）已知 椭 圆 ｘ ２＋ ｙ ２
。 ．
伸 缩 变 换 ｛ Ｌ ， 下 变 成 圆 Ｘ １ ２ ＋ ｙ ， ２ ： ａ ２ ＂ 下 面 结 合
Ｙ
各地 高考题 谈谈 圆的垂径 定理， 圆周角 定理， 圆幂定 理等在
椭 圆中的类似结论．
一
、
圆 的垂径 定理
Ｄ 为圆心， ＡＢ 为弦， 为 ＡＢ 的中点， 则 ＯＭ ＿ Ｌ ＡＢ， 若
注 在性质 ２和性质 ３中， 若 Ｍ Ｎ 是过焦点的弦， 则其 中 ： ｅ为椭 圆 、 双曲线 的离心率．
２
一 …
中学 数 学研 究
证 明 作伸缩变换
２ ０ １ ６年第 １ ２期 （ 上）
ｎ。
，
因为 ｋ ｏ Ｍ， ． ｋ Ａ ， Ｂ ，： 一１ ， 所以 ｉ ａ ｏ Ｍ． ａ 后 Ａ ｔ ３： 一１ 即
证 明 作伸缩变换
｛ 蓍 ． 则 椭 圆 变 成
２＋ Ｙ ： ａ２
．
１ Ｐ ４ Ｉ Ｐ Ｂ ｌ 等 ． ， １ 、 一 ５ ， ’
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并 且 ： 譬 Ｄ Ｏ 后 ｌ 譬 ２ ：一 １ ， 所 以Ｃ ， Ｄ ， 上 Ｄ ， Ｅ ， ， 由 圆 的 垂 径
二 、 圆周 角定 理 ： 直径 所对 的 圆周角是 直 角 ．
‘
图３
ｌ ｉ ｔ Ｍ ｌ — Ｉ Ｔ Ⅳ Ｉ ｌ ＝ Ｉ ｔ ￣ － ｛ － ｔ ２ Ｉ ＝ Ｉ ２ ｍ ｂ ￣ ｃ ｏ ｓ ８ ０ ，
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证 明 设双 曲线 的方程 为 Ｘ ２