垂径定理推论
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M
O
C
N
B
判断
⑴垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧 (× ) 直径
⑵弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心 (√ ) ⑶圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 ( × ) 两条直径 不是直径 ⑷平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 (× ) ⑸圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
课堂学习检测 一、基础知识填空 1．圆是______对称图形，它的对称轴是______________________；圆又 是______对称图形，它的对称中心是____________________． 2 ． 垂 直 于 弦 的 直 径 的 性 ____________________________________________． 质 定 理 是
C
N
1.P为⊙O内一点,且OP=2cm,若⊙O的半径 为3cm,则过P点的最短弦长等于( D ) 2 5cm A.1cm B.2cm C. 5 Cm D.
O
2
P
3
5
2.已知:⊙O中弦AB∥CD且AB=9cm,CD=12cm,
⊙O的直径为15cm,则弦AB,CD间的距离为 ( C)
A.1.5cm B.10.5cm;
C A B D O
C.1.5cm或10.5cm D.都不对;
如图，在扇形OAB中，C是AB的中点，OC交 AB于点D AOC=35 ,AD=16cm 求（1） OAB的度数（2）AB的长
C
A B
解：（1）
AC=CB ，OC 是半径（已知）
OCAB (如果圆的直径平分弧，那么这条直径垂直 这条弧所对的弦）
A
4 2E
H
3
M
· 0
G
D
B
5
N
F
C
如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m，拱高为 4m，求拱桥跨度AB的长。
16
A
10 8
C D
4
6
B
O
变式2 连接 OC，OD，设 OC=OD， 求证：AC=BD．
O A B
C
D
练习1:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
3 ． 平 分 ________ 的 直 径 ________ 于 弦 ， 并 且 平 分 ________________________________．
二、填空题
4．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm． 5 ． 如 图 ， CD 为 ⊙ O 的 直 径 ， AB⊥CD 于 E ， DE=8cm ， CE=2cm ， 则 AB=______cm．
A E
. O
B
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。 ∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在Rt AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
若CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E, 变形1、AB=8,CD=10,则圆心O到AB的距离 C 是 3。 变形2、CE=8,DE=2,则AB= 8 。 变形3、CD=10,AB=8,则DE= 2 。 A
对的另一条弧. ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 : . 图中相等的劣弧有: .
A O F M E D B
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ ③⑤ ④⑤ 结论 ③④⑤ ②④⑤ ②③⑤ ②③④ ①④⑤ ①③⑤ ①③④ ①②⑤ ①②④ ①②③ 命 题
A
M└
●
B
O
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
6 ． 如 图 ， ⊙ O 的 半 径 OC 为 6cm ， 弦 AB 垂 直 平 分 OC ， 则 AB=______cm ， ∠AOB=______． 7 ． 如 图 ， AB 为 ⊙ O 的 弦 ，∠ AOB=90° ， AB=a ， 则 OA=______ ， O 点 到 AB 的 距 离 =______． 8．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD的 距离是______．
D
O
ADO=90
OAB+ AOC=90
OAB=90-35=55
已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
x x 1 3
2 2
2
A
C
3 D x x-1
O
Fra Baidu bibliotek
B
9 ． 如 图 ， P 为 ⊙ O 的 弦 AB 上 的 点 ， PA=6 ， PB=2 ， ⊙ O 的 半 径 为 5 ， 则 OP=______． 10 ． 如 图 ， ⊙ O 的 弦 AB 垂 直 于 AC ， AB=6cm ， AC=4cm ， 则 ⊙ O 的 半 径 等 于 ______cm．
C B O C (5) A D A O E D (6) B
1、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是 直线AB上两点，且AC＝BD 求证：△OCD为等腰三角形。
O
E
C
A
B
D
2、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的 弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上。你认 为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
填空：如图，在⊙O中 （1）若MN⊥AB，MN为直径；则 （ ），（ ），（ ）；
（2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则
（
），（ ），（ ）；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则 （ ），（ ），（ ）；
（4）若弧AM＝弧BM，MN为直径，则 （ ），（ ），（ ）。
我 能 行 ！ A
垂径定理的逆定理
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC = BC, ⑤ AD = BD.
C
M└
●
A
B
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.
O
知二推三
你可以写出相应的命题吗?
D
垂径定理及逆定理
C
① CD是直径 ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ , ⌒ ⌒ ⌒ ⑤ AD=BD. ④AC=BC,
⌒ =BC, ⌒ AD ⌒ =BD. ∴AC
⌒
Ramming foundation
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B O C A D C
A O D C B
O E D C
B O A D
注意：定理中的两个条件 （直径，垂直于弦）缺一 不可！
定理辨析 判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
C
C
O A D E B
平分弦所对的两条弧．
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
C
AE=BE ⌒ ⌒ 条件 结论 AC=BC CD⊥AB ⌒ ⌒ AD=BD 垂径定理的几何语言叙述: ∵ CD为直径，CD⊥AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AE=BE， AC=BC， AD=BD．
CD为直径
O
·
B
A
E D
垂径定理
A D
F E O C B
2:在圆O中，直径CE⊥AB于D， OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
E
E
O A
A
O
D
D
B
B
C
C
试一试
挑战自我填一填
1、判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对 的两条弧. （ （ （ ） ） ） ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
A D E
O
O
B
A D
E
B
C
O
O
O
A E D B
A E B
A
E
B
垂径定理三种语言
定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
C
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
B O
A
老师提示: 垂径定理是圆中一个 重要的结论,三种语 言要相互转化,形成 整体,才能运用自如.
M└
●
∴AM=BM,
垂径定理
C
.
A D
O
E
B
观察并回答
（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦， 弦AB是否一定被直径CD平分？
C B
B C
O
O
A D
A D
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦 AB有可能被直径CD平分？
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E . 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且 （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
⌒ =BC, ⌒ AC ⌒ ⌒ AD=BD.
D
双基训练
判断： ( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧.
( )(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
(
√
)(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
练一练：试 金 石
如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8厘米，圆心 O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
到弦的距离用d表示，半径用r表示， 弦长用a表示，这三者之间有怎样的关 系？
·
E D
O
∟
B
活动4
如图，两个圆都以点O为圆心， 求证:AC=BD．
A
C
O · D
B
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。
题设
（1）过圆心
结论
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
O A C
G
D B
变式1. 已知：如图，线段AB与⊙O交于 C、D两点，且OA=OB ．求证： AC=BD ．
O A C M
D
B
证明圆中与弦有关 的线段相等时, 常借 ．助垂径定理,利用其 平分弦的性质来解 决问题.
如 图 , 圆 O 与 矩 形 ABCD 交 于 E 、 F 、 G 、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
不是直径 （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
直径 （3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。
A C O D A (1) B (2) D O B A (3) D C O B
C
1.平分弧的直线，平分这条弧所对的弦. 2.弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.
如图,小明的理由是:
连接OA,OB,
则OA=OB.
C
在Rt△OAM和Rt△OBM中, A ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
M└
●
B O
D
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, ⌒ AD和BD重合.
O
C
N
B
判断
⑴垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧 (× ) 直径
⑵弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心 (√ ) ⑶圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 ( × ) 两条直径 不是直径 ⑷平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 (× ) ⑸圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
课堂学习检测 一、基础知识填空 1．圆是______对称图形，它的对称轴是______________________；圆又 是______对称图形，它的对称中心是____________________． 2 ． 垂 直 于 弦 的 直 径 的 性 ____________________________________________． 质 定 理 是
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1.P为⊙O内一点,且OP=2cm,若⊙O的半径 为3cm,则过P点的最短弦长等于( D ) 2 5cm A.1cm B.2cm C. 5 Cm D.
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2.已知:⊙O中弦AB∥CD且AB=9cm,CD=12cm,
⊙O的直径为15cm,则弦AB,CD间的距离为 ( C)
A.1.5cm B.10.5cm;
C A B D O
C.1.5cm或10.5cm D.都不对;
如图，在扇形OAB中，C是AB的中点，OC交 AB于点D AOC=35 ,AD=16cm 求（1） OAB的度数（2）AB的长
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A B
解：（1）
AC=CB ，OC 是半径（已知）
OCAB (如果圆的直径平分弧，那么这条直径垂直 这条弧所对的弦）
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如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m，拱高为 4m，求拱桥跨度AB的长。
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变式2 连接 OC，OD，设 OC=OD， 求证：AC=BD．
O A B
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练习1:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
3 ． 平 分 ________ 的 直 径 ________ 于 弦 ， 并 且 平 分 ________________________________．
二、填空题
4．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm． 5 ． 如 图 ， CD 为 ⊙ O 的 直 径 ， AB⊥CD 于 E ， DE=8cm ， CE=2cm ， 则 AB=______cm．
A E
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解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。 ∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在Rt AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
若CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E, 变形1、AB=8,CD=10,则圆心O到AB的距离 C 是 3。 变形2、CE=8,DE=2,则AB= 8 。 变形3、CD=10,AB=8,则DE= 2 。 A
对的另一条弧. ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 : . 图中相等的劣弧有: .
A O F M E D B
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ ③⑤ ④⑤ 结论 ③④⑤ ②④⑤ ②③⑤ ②③④ ①④⑤ ①③⑤ ①③④ ①②⑤ ①②④ ①②③ 命 题
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垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
6 ． 如 图 ， ⊙ O 的 半 径 OC 为 6cm ， 弦 AB 垂 直 平 分 OC ， 则 AB=______cm ， ∠AOB=______． 7 ． 如 图 ， AB 为 ⊙ O 的 弦 ，∠ AOB=90° ， AB=a ， 则 OA=______ ， O 点 到 AB 的 距 离 =______． 8．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD的 距离是______．
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ADO=90
OAB+ AOC=90
OAB=90-35=55
已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
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9 ． 如 图 ， P 为 ⊙ O 的 弦 AB 上 的 点 ， PA=6 ， PB=2 ， ⊙ O 的 半 径 为 5 ， 则 OP=______． 10 ． 如 图 ， ⊙ O 的 弦 AB 垂 直 于 AC ， AB=6cm ， AC=4cm ， 则 ⊙ O 的 半 径 等 于 ______cm．
C B O C (5) A D A O E D (6) B
1、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是 直线AB上两点，且AC＝BD 求证：△OCD为等腰三角形。
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2、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的 弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上。你认 为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
填空：如图，在⊙O中 （1）若MN⊥AB，MN为直径；则 （ ），（ ），（ ）；
（2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则
（
），（ ），（ ）；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则 （ ），（ ），（ ）；
（4）若弧AM＝弧BM，MN为直径，则 （ ），（ ），（ ）。
我 能 行 ！ A
垂径定理的逆定理
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC = BC, ⑤ AD = BD.
C
M└
●
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只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.
O
知二推三
你可以写出相应的命题吗?
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垂径定理及逆定理
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① CD是直径 ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ , ⌒ ⌒ ⌒ ⑤ AD=BD. ④AC=BC,
⌒ =BC, ⌒ AD ⌒ =BD. ∴AC
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Ramming foundation
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B O C A D C
A O D C B
O E D C
B O A D
注意：定理中的两个条件 （直径，垂直于弦）缺一 不可！
定理辨析 判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
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O A D E B
平分弦所对的两条弧．
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
C
AE=BE ⌒ ⌒ 条件 结论 AC=BC CD⊥AB ⌒ ⌒ AD=BD 垂径定理的几何语言叙述: ∵ CD为直径，CD⊥AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AE=BE， AC=BC， AD=BD．
CD为直径
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垂径定理
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F E O C B
2:在圆O中，直径CE⊥AB于D， OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
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O A
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试一试
挑战自我填一填
1、判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对 的两条弧. （ （ （ ） ） ） ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
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垂径定理三种语言
定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
C
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
B O
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老师提示: 垂径定理是圆中一个 重要的结论,三种语 言要相互转化,形成 整体,才能运用自如.
M└
●
∴AM=BM,
垂径定理
C
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A D
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观察并回答
（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦， 弦AB是否一定被直径CD平分？
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B C
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A D
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思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦 AB有可能被直径CD平分？
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E . 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且 （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
⌒ =BC, ⌒ AC ⌒ ⌒ AD=BD.
D
双基训练
判断： ( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧.
( )(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
(
√
)(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
练一练：试 金 石
如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8厘米，圆心 O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
到弦的距离用d表示，半径用r表示， 弦长用a表示，这三者之间有怎样的关 系？
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E D
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活动4
如图，两个圆都以点O为圆心， 求证:AC=BD．
A
C
O · D
B
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。
题设
（1）过圆心
结论
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
O A C
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D B
变式1. 已知：如图，线段AB与⊙O交于 C、D两点，且OA=OB ．求证： AC=BD ．
O A C M
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证明圆中与弦有关 的线段相等时, 常借 ．助垂径定理,利用其 平分弦的性质来解 决问题.
如 图 , 圆 O 与 矩 形 ABCD 交 于 E 、 F 、 G 、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
不是直径 （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
直径 （3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。
A C O D A (1) B (2) D O B A (3) D C O B
C
1.平分弧的直线，平分这条弧所对的弦. 2.弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.
如图,小明的理由是:
连接OA,OB,
则OA=OB.
C
在Rt△OAM和Rt△OBM中, A ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
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∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, ⌒ AD和BD重合.