高三文科第一轮复习(几何概型)..

解析：由3a 1 0, 得a
1 故所求的概率为 3
1 , 而0 ~ 1的长度为 1.， 3
2. （2011 年高考福建卷文科 7)如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的重点，若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取 自? ABE 内部的概率等于
1 A． 4
1 B. 3
例 4 (2012 潍坊模拟)在棱长为 3 的正方体 ABCD A1B1C1D1 内任取一点 P,则点 P 到正方体各 面的距离都不小于 1 的概率为( (A) 1 27 (C) 8 27 (B) 26 27
A
)
1 (D) 8
解析: 正方体中到各面的距离 不小于 1 的点的集合是一个 中心与原正方体中心重合,且棱长为 1 的正方 体,该正方体的体积是 V1=1 =1,而原正方体的 体积为 V=3 =27,故所求的概率为 P= V1 = 1 , V 27
3 3
故选 A.
考点四 与体积有关的几何概型
变式 迁移4.
用橡皮泥做成一个直径为6 cm的小球， 假设橡皮泥中混入了一个很小的砂粒， 求这个砂粒距离球心不小于1 cm的概 率．
考点四 与体积有关的几何概型
变式 迁移4.
用橡皮泥做成一个直径为6 cm的小球， 假设橡皮泥中混入了一个很小的砂粒， 求这个砂粒距离球心不小于1 cm的概 率．
2
O
2
a
对比题型一~四与题型五，有 什么区别？


1.题型一~四：基本事件只受一个连续的 变量控制的概型． 2．与线性规划有关的几何概型特点：基 本事件受两个连续的变量控制时，一般 是把两个变量分别作为一个点的横坐标 和纵坐标，这样基本事件就构成了平面 上的一个区域，即可借助平面区域解 决．
考点二 与角度有关的几何概型 变式2： (2011年高考湖南卷)已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25. (1)圆C的圆心到直线l的距离为 ; (2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为 .
考点二 与角度有关的几何概型
例 2.在圆心角为直角的扇形 AOB 中，在弧 AB 上任取一点 P， 则使? AOP＞30° 且? BOP＞30° 的概率是( 1 2 1 A. B. C. D．无法计算 3 3 4
30° ，所以点 M，N 将 AB 分成三等份．
)
如图所示，在 ，∠BOM＝ AB 上取定点 M，N，使∠AON＝30°
高三文科第一轮复习第十章
第3课时 几何概型

1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件 长度(面积或体积) 区域的____________________ 成比例， 则称这样的概率模型为几何概率模型，简 称几何概型．

2．几何概型的两个基本特点
无限多个

2．几何概型的两个基本特点
1 4
B.
1 3
C.
1 2
D.
2 3
3.有一杯 2 升的水,其中含一个细菌,用一个小杯从水中取 0.1 升水,则此小杯中含有这个细菌的概率是( ) (A)0.01 (B)0.02 (C)0.05 (D)0.1
1． （2013 年高考福建卷（文） ）利用计算机产生 0 ~ 1之间 的均匀随机数 a ,则事件“ 3a 1 0 ”发生的概率为_______


3
, ] 时，要使 0 cos x ，需使 x 2 2 2 3 2 2
，区间长度为
, ] 上随机取一个数 x,区间长度为 ， 2 2 1

，
x
3

因此 cos x 的值介于 0 到
1 1 之间的概率为 3 .故选 A 2 3
考点一 与长度有关的几何概型
解析:(1)根据点到直线的距离公式得 d= 25 =5; 5 (2)设直线 4x+3y=c 到圆心的距离为 3,则
| c | =3,取 c=15, 5 则直线 4x+3y=15 把圆所截得的劣弧的长度
和整个圆的周长的比值即是所求的概率.
由于圆半径是 2
3 , 则可得直线 4x+3y=15
截得的圆弧所对的圆心角为 60°,故所求 的概率是 1 . 6
等可能性
3．几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） P(A)＝ ____________________________________________
探究：
古典概型与几何概型有哪些异同点？ 【提示】 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性 都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何 概型的基本事件有无限个．
2
“小波周末去看电影”事件发生所在区域面积为 2 3 1 S1 2 4 2 1 S2 “小波周末去看打篮球”事件发生所在区域面积为 3 16 4 1 概率分别是 P( A) 4 3 P( B) 16 4 16 则周末不在家看书的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝
【解】 设“砂粒距离球心不小于 1 cm”为事件 A，球
心为 O，砂粒位置为 M，则事件 A 发生，即为 OM≥1 cm. 4 3 4 3 πR － πr 3 3 r 3 26 ∵R＝3，r＝1，则 P(A)＝ ＝1－( ) ＝ ， 4 3 R 27 πR 3 26 故砂粒距离球心不小于 1 cm 的概率为 . 27
考点三 与面积有关的几何概型
(2013· 湛江调研)小波通过做游戏的方式来确定周末活 动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大 1 1 于 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则去打 2 4 篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为 ________．
例3.
全部试验区域的面积为 1
4－π ∴所求事件的概率 P＝ . 4
考点五 与线性规划有关的几何概型 变式迁移 5(2013 江门一模改编)已知 a 0,2, b 0,2 ，
在其取值范围内取实数 a, b ，所取实数满足 b 2a 的概率为（ ） D
1 A． 2
1 B． 3
b
2 C． 3
3 D． 4
2a b 0
变式迁移 1.(2013 江门一模)从等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 上任取一 点 P，则 APC 为锐角三角形的概率是（ B ） A．1
1 B． 2
1 C． 3
1 D． 6
图形
取AB的中点D，当P落在线段DB上时， APC是锐角三角形， DB 1 所以，APC是锐角三角形的概率是 AB 2
（D） 1

8
解析 如图所示，长方形 ABCD 的面积为 2，以 O 为圆心，1 π 为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)的面积为2， 因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为 ÷ 2＝ ， 2 4
取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 1

4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
【答案】B
考点四 与体积有关的几何概型
1 C. 2
2 D. 3
解析：
SABE 1 P S 矩形ABCD 2
3.有一杯 2 升的水,其中含一个细菌,用一个小杯从水中取 0.1 升水, 则此小杯中含有这个细菌的概率是( C ) (A)0.01 (B)0.02 (C)0.05 (D)0.1
P
V取 V总
0.1 0.05 2
考点探究，讲练互动
1 1 4 2
3 1 13 4 16 16
考点三 与面积有关的几何概型
变式迁移 3. (2009 辽宁文)ABCD 为长方形，AB＝2，BC＝1， O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点 到 O 的距离大于 1 的概率为 B （A）

4
（B） 1

4
（C）

8
课前热身
1． （ 2013 年高考福建卷（文） ） 利用计算机产生 0 ~ 1 之间的均匀随机数 a , 则事件 “ 3a 1 0 ”发生的概率为_______
2. （2011 年高考福建卷文科 7)如图， 矩形 ABCD 中， 点 E 为边 CD 的重点， 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自? ABE 内部的概率等于 A．
.
60 1 . 360 6
答案: 1 6
方法感悟：
解答几何概型问题的关键在于弄清题中考察 对象和对象的活动范围。 当考察对象为点，点活动的范围在线段上时，用 线段长度比计算，当考察对象为线时，一般用角 度比作计算。当半径一定时，由于弧长之比等于 其所对的圆心角的度数之比，所以角度之比实际 上是所对的弧长之比。
NOM 1 P( A) AOB 3
几何画板演示
是否还有别的算法？ NM的弧长 1 P( A) AB的弧长 3
考点二 与角度有关的几何概型
如图所示,在直角坐标系内,射线 OT 落在 60° 角的终边上,任作一条射线 OA,则射线 OA 落在 ∠xOT 内的概率为
1 6
变式2：
解析:如题图,因为射线 OA 在坐标系内是等 可能分布的,则 OA 落在∠xOT 内的概率为
求试验所有结果 的区间长度
考点一 与长度有关的几何概型 例 1.(2009 山东文)在区间 [ , ] 上随机取一个数 x， 2 2 1 ). cos x 的值介于 0 到 之间的概率为( 2
A.
1 3
当 x [ 或
B.
2

C.
【解析】:在区间 [

1 2
D.
2 3
解不等式，得事 件A的区间长度
考点五 与线性规划有关的几何概型
例 4．(2012· 北京高考)设不等式组
表示的平面区
域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距 离大于 2 的概率是( D ) π A. 4 π－2 B. 2 π C. 6 4－π D. 4

【解析】 如图所示，区域D为正方形 OABC及其内部，且区域D的面积S＝4.又阴 影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离 大于2的区域．易知该阴影部分的面积S阴＝ 4－π，