金融数学--第二章

ni
ni
a&& &s&
ni
ni
证明 （2）由（1）有
&s& a&&(1 i)n
ni
ni
所以
1 &s&
d
1 a&& (1 i)n
d
1 da&& (1 i)n ni a&& (1 i)n
ni
ni
ni
1
(1 vn )(1 a&& (1 i)n
i)n
1
(1 i)n a&& (1 i)n
1
1 a&&
ni
共付利息为
10
10
Rk 50 [9 0.4(k 1)] 50
k 1
k 1
10
40 0.4(k 1) 22(万元)
商业银行将上k 1述还款方式称之为等额本金
法。
比较一下，第（4）中还款方式所付的利息最
后少，而第（3）中还款方式最受欢迎。请大
家思考一下？
根据我们的生活习惯，都愿意选择稳定 点的还款方式，等额本息法的选择比较普 遍。如果感觉还款压力不大，可以选择等额 本金法，但是我们可以对等额本息法做一些 调整，例如缩短短款年限，使得整体的利息 变少。
例2.3 某人留下遗产10万元，第一个10年
将每年利息付给甲，第二个10年将每年利息
付给乙，20年后将每年利息付给丙丙一直持
续下去，均在年底支付。假设年利率为
7%，计算三人的相对收益比例。
（0，R，R，…，R） 现金流的现值就是贷款金额，所以有
10
50 R(1 i)k k 1
即50 R 10 1.08k R 11.0810
k 1
0.08
解得R=7.451474（万元） 共付利息为 10R-50=24.514744（万元） 商业银行将上述还款方式称之为等额本息 法。
（4）利用一般会计中的平均摊销的原理
流现值的差
（0，1，…，1，1，1，…，1）和
（0，1，…，1 ）
即
a mn i
a mi
还可以表示为 vma
ni
定义2.6 若年金的现金流永远持续不断的支
付下去，没有终结日期，这样的年金称为永
续年金。
a lim a 1, a&& lim a&& 1 ,
i d i n n i
i n n i
ni
k 1
i
上式变形可得
1 ia vn ni
n期标准期末年金终值
s
(1 i)n1 (1 i)n2 L
(1 i) 1
n1
(1 i)k
(1 i)n 1
ni
k 0
i
这个终值可以写成
s ni
k
n 0
n k
i
k
1
结论2.1
a 和s 有如下关系 ni ni
(1)s a (1 i)n;(2) 1 1 1
定义2.3 若年金现金流在第一个付款期初首 次发生，随后依次分期进行，则称这种年金 为期初年金。 （R ，R，R，……，0） 定义2.4 对于期初年金来说，如果每次付款 为1个单位货币，共n期，则称之为n期标准期 初年金。 （1，1，……，1，0） n期标准期初年金：（1，1，1，……，0）
n期标准期初年金现值
a&& (1 i)a (1 i)(v v2 L vn )
ni
ni
(1 i) n vk (1 vn )(1 i) 1 vn
k 1
i
d
n期标准期末年金终值
&s& (1 i)s
(1 i)n 1
(1 i)n 1
(1 i)
ni
ni
i
d
结论2.2 a&&和&s&有如下关系 ni ni
(1)&s& a&& (1 i)n;(2) 1 1 d
ni
ni
结论2.3
(1)a&& (1 i)a , a&& 1 a ;
ni
ni ni
n1i
(2)&s& (1 i)s , &s& s 1.
ni
ni ni
n1i
例2.2 某人从现值开始每年定期地投入相同 的一笔钱，希望在第12年底得到100万元的 回报。如果年利率为7%，实际上每年的投入 金额。
解 假设投入的现金流为
（R ，R，R，……，0） 终值为100万元，则有
R&s& 100 12 0.07
解得R=5.224485（万元）
定义2.5 若年金现金流首次发生在递延了一
段时间后进行，这样的年金称为递延年金。
例如，递延m期的n期期末标准现金流
（0，0，…，0，1，1，…，1）
这个现金流的现值可以认为是下面两个现金
ni
ni
as
ni
ni
证明 （2）由（1）有
s a (1 i)n
ni
ni
所以 1 s
i a
1 (1 i)n
i
1 ia (1 i)n ni a (1 i)n
ni
ni
ni
1 (1 vn )(1 i)n 1 (1 i)n 1 1
a (1 i)n
a (1 i)nFra Baidu bibliotek
a
ni
ni
ni
例2.1（商业银行还款方式） 现有10年期50 万元贷款，年利率为8%。试计算以下四种 还款方式应付的利息：
（1）在第10 年底一次付清；
（2）每年年底偿还当年的利息，本金最后一 次付清；
（3）每年年底偿还固定的金额，10年还清；
（4）每年年底偿还额由固定本金和剩余贷款 的利息组成，10年还清。
解（1）一次性还完的金额为 50（1+8%）10=107.946250(万元) 偿还利息为 107.946250-50=57.946250(万元) （2）所付利息为 50×8%×10=40(万元) （3）设每期还款额为R，还款现金流为
每期还款额=固定本金+剩余本金产生的利息
第1年底还款额为
R1=50/10+50i=9（万元） 第2年底还款额为
R2=50/10+（50-5）i=8.6（万元） 第2年底还款额为
R3=50/10+（50-2×5）i=8.2（万元） 一般的，第k年底还款额为
Rk=50/10+[50-5（k-1)]i=9-0.4（k-1) （万元）
§2.1 基本年金
定义2.1 若年金现金流在第一个付款期末首 次发生，随后依次分期进行，则称这种年金 为期末年金。 （0，R，R，……，R） 定义2.2 对于期末年金来说，如果每次付款 为1个单位货币，共n期，则称之为n期标准期 末年金。 （0，1，1，……，1）
n期标准期末年金现值
a v v2 L vn n vk 1 vn
第二章 年金
年金是根据一个事先确定的计划或者方 案在一段时间内持续的收付款行为。
例如，养老金、按揭贷款、固定收益资 产的定期收入。
分析方法是利用现金流分析方法，计算 现值和终值。
学习要点
一、基本年金现值与终值的计算 二、期末年金与期初年金的关系 三、延续年金与永续年金的现值 四、剩余付款期不是单位时间的年金的计算 五、实际应用