《1.5.2 二项式系数的性质及应用》教案

《1.5.2 二项式系数的性质及应用》教案

教学目标:

1.掌握二项式系数的三个性质;

2.让学生经历“杨辉三角”性质的探索过程,培养其特殊到一般的推理习惯;

3.在函数观点下研究二项式系数性质的过程中渗透数形结合的思想方法;

4.介绍杨辉和“杨辉三角”并和西方对应成就作比较,增强学生的民族自豪感｡

教学重点:

体会用函数知识研究问题的方法,理解二项式系数的性质.

教学难点:

结合函数图象,理解增减性与最大值时,根据n 的奇偶性确定相应的分界点;利用赋值法证明二项式系数的性质.

教学过程:

1､引入

[师] 今天我们学习“杨辉三角”与二项式系数的性质,首先我们来欣赏一幅图片｡这个图片大家熟悉吧?对,这是我们班的的创意“心愿贴”下面请心愿贴设计者分享她的创意｡

[生]介绍创意

[师]学习本节内容之后我们可以将“心愿贴”设计得更具有数学特色,加进去一些数学元素

设计意图:从学生的生活中选材引入,提高学生的探索兴趣 2､知识回顾

(1) (2) 通项(第r+1项是 (3) 二项式系数是

设计意图:为探索本节课新知识做必要准备 3､新课探索

3.1 活动设计一:观察二项式系数的性质

(1)根据()n a b +(n=1,2,3,4,5,6)展开式的二项式系数表(第7行暂时不填)

46?

C =2

6?

C =m n m n n

C C -=()n

a b +=

[师] 为了方便同学们观察规律我们把这些二项式系数写为三角形形状 (2)角形数并思考以下问题: ① 同行系数有什么规律? ② 上下两行系数有什么关系?

③ 你能预测出(a+b)7展开式的二项式系数吗?

活动实施步骤:第一步学生自主填写表格,第二步小组讨论三角形数的规律,第三步小组发言人分享讨论结果

设计意图:让学生能更加熟悉组合数运算,在规律的探究过程中培养从一般到特殊的推理习惯

3.2 介绍杨辉和杨辉三角

让学生阅读课本中给出的材料了解杨辉和杨辉三角,教师再通过百度百科做一些补充｡ 设计意图:让学生感受我国古代数学成就及其数学美,激发学生的民族自豪感. 3.3 活动设计二:函数观点下的二项式系数

(1)引导学生从函数的角度去认识二项式系数(n 固定的情形)

[师] ()n a b 展开式的二项式系数是0

n C ,1

n C ,2

n C ,…,n

n C ,对于固定的n,这些二项式系数有什么不同?

[生]肩上的数不同

[师]如果把肩上的数记作r ,则一个r 就有一个二项式系数与之对应,也就是满足下面的过程:

[师]这符合什么的定义? [生]函数

[师] 对,()n a b 展开式的二项式系数是0

n C ,1

n C ,2

n C ,…,n

n C .r

n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ,既然是函数就必然有定义域,请同学们思考这个函的定义域是什么?

[生] {0,1,2,

,}n

[师]定义域是一些离散的数,那同学们思考这个函数的形状是怎样的? [生]一些离散的点

[师]有没有信心画出函数图像? [生]有

[师]下面请小组合作完成n=6,n=7时对应的函数图像,并思考给出的三个问题 (2)通过函数图像去研究二项式系数的性质

探究:当n=6,7时,作出函数f(r)的图象,并结合图象分析二项式系数的性质｡

探索与发现:

①图像具有怎样的增减性?

②图像的对称轴是什么?当r 取何值时,函数值最大?

③ 根据n=6,和n=7时的函数性质(1)(2),你能预测n=8,10,12,……以及n=9,11,13,…… 时的函数性质吗?

(3)教师借助数学软件演示

通过GGB 软件作出n=8,n=9时的函数图像引导学生再次观察对应二项式系数的性质｡

(4)总结性质 ①对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵m n m

n n C C -=).

直线2

n

r =

是图象的对称轴. ②增减性与最大值 考虑到1(1)(2)(1)1!k

k n n n n n n k n k C C k k

----+-+==⋅

,故k n C 相对于1k n C -的增减情况由

1n k k -+决定,1112

n k n k k -++>⇔<,当1

2n k +<时,二项式系数逐渐增大.由对称性

知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值;

当n 是偶数时,中间一项2n

n

C 取得最大值;当n 是奇数时,中间两项1

2n n

C

-,12n n

C

+取得最大值.

③ 各二项式系数和

∵1

(1)1n r r n n n x C x C x x +=++

++

+,

令1x =,则012

2n r

n

n n n n n C C C C C =+++

++

+

设计意图:让学生经历知识的探究过程,培养其探究能力和合作精神 3.4例题讲解

例1.在()n

a b +的展开式中,证明:在展开式01()()n n n

r n r r

n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中,令

1,1a b ==-,则0123

(11)(1)n n n n n n n n C C C C C -=-+-+

+-,

即02

13

0()()n n n n C C C C =++-++

,

∴02

13n n n n C C C C ++

=++