仿射投影算法 LMS格型滤波器 自适应滤波器的算子理论 LS格型滤波器

格型滤波器设计特点： 格型滤波器设计特点： ⑴ 反射系数 rm 的递推 物理可实现) ⑵ rm < 1 (物理可实现 物理可实现 ⑶ 使 Fm 最小即可 后级的后向滤波器是“解藕” ⑷ 前、后级的后向滤波器是“解藕”的 以 独立设计 各级滤波器可 前向滤波器系数 am ( m ) 的递推
设计准则： 设计准则：
情况2： 当 L ≥ M 时,方程为超定方程,有最小二乘解 w (n) = [U(n)U H (n)]1 U (n)e* (n) 且 w (n) = w (n 1) + w (n) = [U(n)U H (n)]1 U(n)y* (n) = R 1 (n)r (n) 与RLS算法等价 其中 R (n) = U(n)U H (n) 和 r (n) = U(n)y* (n)
⑶ ( x Px ) ⊥ Px
( x Px )
H
Px = 0
x H ( I P ) Px = 0
H
(I P ) P = 0
H
P = PH P
P H = P (共轭对称算子 共轭对称算子) 共轭对称算子
投影矩阵： 投影矩阵：
PU = U U , U
1
U = U (U U) UH
H H 1
性质1. 性质 幂等算子
格型滤波器设计准则 级前向残差能量： 第m级前向残差能量： m = E 级前向残差能量 F
m
{
f m (n)
m
2
}
* = E { f m ( n ) f m ( n )}
* = ∑ ∑ a m (i ) a m ( j ) R x ( j i ) i =0 j =0
f m ( n ) 是前向滤波器输出 f m ( n ) = ∑ am (i ) x ( n i )
由于
* * * * f m ( n ) = f m 1 ( n ) + rm g m 1 ( n 1)
* g m ( n ) = rm f m 1 ( n ) + g m 1 ( n 1)
则
n E m ( n ) * * = ∑ w( n k ) (1 β ) f m ( n ) g m 1 ( n 1) + β g m ( n ) f m 1 ( n ) = 0 * rm k =∞
x ( n ) = [ x (1), x (2),L , x ( n ) ]
PU PU = U ( U U ) U H = PU
H 1
性质2. 复共轭对称性 性质
H PU = PU
正交投影矩阵： 正交投影矩阵：
P = I PU = I U ( U U ) U H
⊥ U
H
1
性质1. 性质 幂等算子
⊥ ⊥ ⊥ PU PU = ( I PU )( I PU ) = I + PU PU 2 PU = I PU = PU
( amm ) ( n ) = rm ( n ) *( m ai( m ) ( n ) = ai( m 1) ( n ) + rm ( n ) am i 1) ( n )
Pm ( n ) = 1 rm
(
2
)P
m来自百度文库1
(n)
4.7 自适应滤波器的算子理论
投影算子的数学定义： 投影算子的数学定义：幂等算子称为投影算子 幂等算子的定义： 幂等算子的定义： 幂等算子的特征值
关键方程 U H (n)w (n) = e* (n) 的解 情况1： 当1 ≤ L < M (M : 滤波器阶数)时,方程为欠定方程,有 最小范数解 w (n) = U (n)[U(n)U H (n)]1 e* (n) 特殊情况：L = 1, 则 w (n) = w (n 1) + u ( n) e* (n) 退化为归一化LMS算法 u H (n)u(n)
从信号处理角度理解投影算子
x(n)
P
s(n)
x(n) = s(n) + v (n)
算子P应满足的条件： 算子 应满足的条件： 应满足的条件 使信号“ ⑴ 线性算子 (使信号“不失真”) 使信号 不失真”
2 ⑵ P x = s = Px
P 2 = PP = P (幂等算子 幂等算子) 幂等算子 x Px, Px = 0 (正交性原理的引理 正交性原理的引理) 正交性原理的引理
Pu = λ u
P 2 = PP = P
P 2 u = λ Pu = λ 2 u Pu = λ u = λ 2 u 幂等矩阵的特征值为 ± 1和0
幂等算子 P 复共轭对称 非共轭对称
正交投影算子(orthogonal projector) 正交投影算子 斜投影算子(oblique projector) 斜投影算子
= Fm
等价： 最小； 等价：⑴ 使 Fm 最小； 最小； ⑵ 使Gm最小； 1 ⑶ 使 ( Fm + Gm ) 最小
2
F = E g (n) 2 , 若m = k m m * E { g m ( n ) g k ( n )} = 0, 其他
{
}
即，不同级的后向残差正交 后级的设计与前级无关
性质2. 性质 共轭对称性
(P )
⊥ U
H
⊥ = PU H
证明 :
(P
⊥ U
)
H
⊥ ⊥ = ( I PU ) = I PU = I PU = PU
性质3. 性质 正交性
⊥ PU PU = ( I PU ) PU = PU PU PU = O
z j x ( n ) = x ( n j ) 后向移位算子 引入符号： 引入符号：
1 m = 1 时，A1 ( z ) = A0 ( z ) + r1 z B0 ( z )
A1 ( z ) = 1 + r1 z 1
F0 ( z ) = 1 = B0 ( z ) A0 ( z ) = X ( z)
又 B1 ( z ) = r1* A1 ( z ) + z 1 B0 ( z ) = r1* + z 1
滤波器输出: 滤波器输出 自适应算法 由以上两式得
y (n) = UT (n)w * (n)
w ( n ) = w ( n 1) + w ( n )
U H ( n ) w ( n ) = e* ( n ) e( n ) = y ( n ) U H ( n ) w ( n 1) 其中
(关键方程)
C m 1 ( n ) rm ( n ) = ∞ = 2 2 Dm 1 ( n ) w( n k ) β f m 1 ( k ) + (1 β ) g m 1 ( k 1) ∑ k =∞
k =∞
* ∑ w( n k ) f m 1 ( k ) g m 1 ( k 1)
∞
自适应算法： 自适应算法： 初始化 f 0 ( n ) = g 0 ( n ) = x ( n ), r0 ≈ 0.998 步骤1. f ( n ) = f ( n ) + r g ( n 1) 步骤 m m 1 m m 1
m
Gm = E g m ( n )
m m
{
2
}
i =0
m m * * = E ∑ am ( m k ) x ( n k ) ∑ am ( m l ) x ( n l ) l =0 k =0
* = ∑ ∑ am (i ) am ( j ) E { x ( n m + j ) x * ( n m + i )} i=0 j =0 m m * = ∑ ∑ a m (i ) a m ( j ) R x ( j i ) i=0 j =0
补充： 补充：仿射投影算法
定义
U ( n ) = [u ( n ), u ( n 1),L , u ( n L + 1)] e ( n ) = [e ( n ), e ( n 1),L , e( n L + 1)]T y ( n ) = [ y ( n ), y ( n 1),L , y ( n L + 1)]T
∑ bm (i ) z = z
i i =1
m
m
* a ( j ) z = ∑ am z m + j ∑ j =1 * m j j =1
m
m
* bm (i ) = am ( m i )
Am ( z ) = 1 + am (1) z 1 + L + am ( m ) z m = z m z m + am (1) z m 1 + L + am ( m 1) z + am ( m ) =z
n时刻的误差能量 时刻的误差能量
2 2
em ( n ) = (1 β ) f m ( n ) + β g m ( n )
Em ( n ) =
k =∞
∑ w( n k )e
n
m
(k )
* * n f m ( n ) f m ( n ) f m ( n ) E m ( n ) = ∑ w( n k ) (1 β ) * * * rm f m ( n ) rm k =∞ * g m ( n ) g m ( n ) g m ( n ) +β * g m ( n ) rm
4.6 LMS格型滤波器 LMS格型滤波器
LMS和RLS滤波器为横向滤波器。本节讨论格型滤波器。 和 滤波器为横向滤波器。 滤波器为横向滤波器 本节讨论格型滤波器。
f m ( n ) = f m 1 ( n ) + rm g m 1 ( n 1) * g m ( n ) = rm f m 1 ( n ) + g m 1 ( n 1)
仿射投影算法与LMS、RLS算法之关系： LMS算法：点式更新(sample update),计算简单，收敛性 差。 仿射投影(affine projection)：数据块更新(block update), 计 算量>LMS，但<RLS。收敛性能逼近RLS算法。 RLS算法：数据块更新(数据量>仿射投影), 计算量>仿射投影>LMS。收敛性能最好。 APA (affine projection algorithm)及其快速算法近几年受 到广泛关注。 启迪：块更新比点更新使用更多的数据，利用的信息多，故 可提高滤波器的收敛性能。使用数据越多，性能提高越大。
m m
∏ (z z )
i =1 i
rm = am ( m ) =
∏z
i =1
m
i
< 1 (物理可实现 )
am ( m ) 的递推 am (i )和 bm (i )的递推 ⑴ rm 的递推 阶数递推何时停止？ ⑵ 阶数递推何时停止？阶数确定 (前、后向耦合？) 能 前 后向耦合？ 否独立设计（ 解耦问题” 否独立设计（“解耦问题”）
m Fm ( z ) 前向滤波器 = ∑ am (i ) z i X ( z) i =1 m Gm ( z ) 后向滤波器 = ∑ bm (i ) z i X ( z) i =1
rm 的递推
am (i ) 和 bm (i ) 的递推
Am ( z ) = Am 1 ( z ) + rm z 1 Bm 1 ( z ) * 1 Bm ( z ) = rm Am 1 ( z ) + z Bm 1 ( z )
= z 1 (1 + r1* z ) = z 1 A1* ( z )
m = 2 时，
… … … … … …
的关系： 最后得到 Am ( z )与 Bm ( z ) 的关系：
Am ( z ) = 1 + r1 z 1 + L + rm z m = 1 + am (1) z 1 + L + am ( m ) z m * Bm ( z ) = z m Am ( z ) am (0) = 1 am ( m ) = rm
* g m ( n ) = rm f m 1 ( n ) + g m 1 ( n 1)
步骤2. 递推计算中间参数 C m 1 ( n ) 和 Dm 1 ( n ) 步骤 步骤3. 步骤 计算反射系数 rm ( n ) = C m 1 ( n ) Dm 1 ( n ) 步骤4. 步骤 Burg递推公式 递推公式
前向残差 后向残差
Fm ( z ) = ∑ f m ( n ) z n
n
X ( z ) = ∑ x(n) z n
n
Gm ( z ) = ∑ g m ( n ) z n
n
⑴ 格型滤波器反射系数的递推
前, 后滤波器系数的递推
Fm ( z ) = Fm 1 ( z ) + rm z 1Gm 1 ( z ) * Gm ( z ) = rm Fm 1 ( z ) + z 1Gm 1 ( z ) Am ( z ) = B (z) = m