反常积分的敛散性判定方法

内蒙古财经大学本科学年论文

反常积分敛散性的判定方法

作者陈志强

学院统计与数学学院

专业数学与应用数学

年级 2012级

学号 122094102 指导教师魏运

导师职称教授

最终成绩 75分

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

引言

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-------------------2

一、预备知识 (2)

1.无穷限反常积分 (2)

2.瑕积分 (3)

3.反常积分的性质 (3)

二、反常积分的收敛判别法 (4)

1无穷积分的收敛判别 (4)

(1).定义判别法 (4)

(2).比较判别法 (4)

(3).柯西判别法 (5)

(4)阿贝尔判别法 (6)

(5).狄利克雷判别法 (7)

2瑕积分的收敛判别.................................................. . (8)

(1).定义判别法 (8)

(2).定理判别法 (9)

(3).比较判别法 (9)

(4).柯西判别法 (9)

(5).阿贝尔判别

法 (10)

(6).狄利克雷判别法 (10)

参考文献 (11)

摘要

在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。

关键词：反常积分瑕积分极限敛散性

引言

近些年以来，一些数学工作者对反常积分敛散性的判别方法做了研究并取得了许多重要的进展。如华东师范大学数学系编，数学分析（上册），对反常积分积分的定义，性质的运用及讲义其判别收敛性的方法。华中科技大学出版的数学分析理论方法与技巧，也对反常积分敛散性判别做了详细的讲解，还用图形的方法说明其意义。引申出反常积分敛散性的等价定义，并通过例题说明其应用。

众多学者研究的内容全而广，实用性很高，尤其是在研究敛散性的判别很明显，这对我现所研究的论文题目提供了大量的理论依据和参考文献，对我完成此次论文有很大的帮助，但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究，而本文将对其进行归纳总结，举例说明其应用。

一 、 预备知识

1.无穷限反常积分

定义1.1设函数()f x 在[ａ，＋∞）有定义，若()f x 在[ａ，A]上可积（A>a ）且当A →＋∞时，lim ()A

a

A f x dx →∞⎰

存在，称反常积分 ()a

f x dx ∞

⎰收敛，否则

称反常积分 ()a

f x dx -∞

⎰

与()f x dx ∞

-∞

⎰发散。

对反常积分

()a

f x dx -∞

⎰

与()f x dx ∞

-∞⎰可类似的给出敛散性定义。

注意：只有当

()a

f x dx -∞

⎰

和()f x dx ∞

-∞

⎰都收敛时，才认为

()f x dx ∞

-∞

⎰

是收敛的。

2．.瑕积分

定义1：设f(x)在a 的任何邻域内均无界，则称a 为f(x)的一个瑕点 定义2：设f(x)在

[),a b 内有定义，且b 为唯一瑕点，若lim ()b δ

a

δf x dx +

-→⎰0存

在，称瑕积分

()b

a

f x dx ⎰

收敛

定义3：设C (),a b ∈

且为f(x)的一个瑕点，若()c

a

f x dx ⎰和()d

c

f x dx

⎰均收敛，则称瑕积分()b

a

f x dx ⎰

3.反常积分的性质

(1)Cauchy 收敛原理：

()a

f x dx ∞

⎰

收敛⇔ε∀对>0，∃0A >a,当1A >2A >0

A 时，有

()A A f x dx ⎰

2

1

<ε

(2)线性性质：若

()a

f x dx ∞

⎰

与()a

g x dx ∞

⎰都收敛，则对任意常数,k k 12，

[]()()a

k

f x k

g x dx ∞

+⎰1

2也收敛

，且有

[]()()a

k

f x k

g x dx ∞

+⎰1

2=k 1

()a

f x dx ∞

⎰

()a

k g x dx ∞

+⎰2

(3)积分区间可加性，若

()a

f x dx

∞

⎰

收敛，则

∀b [),a ∈+∞,()a f x dx ∞

⎰=()()b

a b

f x dx f x dx +∞

+⎰⎰.

(4)若()a

f x dx ∞

⎰

收敛，则

()a

f x dx

∞

⎰

≤

()a

f x dx ∞

⎰

。

二、反常积分的敛散性判别法

1.无穷积分的敛散性判别 （1）定义判别法

设函数f 定义在无穷区间[,)a +∞上，且在任何有限区间[,]a u 上可积.如果存在极限 lim ()u a u f x dx J →+∞

⎰=，

则称()a f x dx +∞⎰收敛，否则发散，即相应定积分的极限存在广义积分收敛，定积分的极限不存在广义积分发散

例1.1计算无穷积分 0px

xe dx +∞

-⎰ （p 是常数，且0p >）

解：

00

00

2211

1

px px

px px x xe dx e e dx e p

p p

p

+∞

--+∞+∞--+∞⎰=-+

⎰=-=

式中 1

lim lim lim 0px

px px x x x x xe

e pe

-→∞

→∞→∞===