1有限元分析及医学应用

有限元法的发展概况
1943年 Courant从应用数学角度，尝试用定义在三角形区域上的分 片连续函数和最小位能原理相结合求解 St. Venant扭转问题。
1956年 Turner、Clough等将刚架位移法推广到弹性力学平面问题， 用三角形单元求得平面应力问题的正确解答。
1960年 Clough进一步处理了弹性力学问题，并第一次提出了“有 限单元法” （Finite Element Method）的名称，使人们开始认识到 了有限单元法 的功效。
方程：(1)物理本构方程 (2)几何变形方程 (3)力的平衡方程
三大变量→三大方程
变形体
弹性力学
对象：任意变形体 特征：变形(小)
任意形状的体
变量：(1)材料物性描述 (2)变形方面描述 (3)力的平衡描述
方程：(针对微体dxdydz) (1)物理本构方程 (2)几何变形方程 (3)力的平衡方程
三大变量→三大方程
• 综合分段函数描述的优势和问题，只要采用功能完善的软 件以及能够进行高速处理的计算机，就可以完全发挥“化 繁为简”策略的优势，有限元分析的概念就在于此。
商业软件
• ANSYS ：（机械、电磁、热力学等） • NASTRAN ：电机有限元分析软件 • 三维结构设计方面的有限元分析软件：
UG,CATIA,Proe • 国产有限元软件：
弹塑性力学
对象：任意变形体 特征：变形(屈服，非线性)
任意形状的体
变量：(1)材料物性描述 (2)变形方面描述 (3)力的平衡描述
方程： (针对微体dxdydz) (1)物理本构方程(屈服，非线性) (2)几何变形方程 (3)力的平衡方程
三大变量→三大方程
变形体
有限元分析详解
• 有限元分析法属于力学分析中的数值法。 它是把一个连续的弹性体看成是由有限数 目的单元组成的集合体，在分析每一个单 元的性质后而获得整个连续的弹性体的性 质。简而言之，就是化整为零分析．积零 为整研究。
FEPG,SciFEA ,JiFEX,KMAS等
医学应用
• 有限元分析在医学中主要应用于生物力学 方面。如：骨关节受力研究
• 有限元法的思路
连续体
离散体
一分一合
连续体
对象的离散化过程
自然离散 (如：桁架) 逼近离散 (连续体)
• 离散化过程
自然离散
逼近离散
实体模型
有限元模型
有限元分析法的优越性
• 有限元分析法较其他传统的实验应力分析方法有 明显的优越性：(1)有限元法能够给出所需要的模 型任意部位的应力和位移状态；(2)可由计算机自 动给出立体图像；(3)建立的数学力学模型可反复 使用．保证了模型的完全相似；(4)同一种计算机 程序，可以用来对多种不同模型进行计算分析； (5)不管研究对象的几何形状、材料性质、支持条 件和加载负荷方式多么复杂，都能进行分析，能 迅速得出结果。为了验证其分析结果是否正确， 需要用已知的基础知识或临床知识加以验证、判 断，得到客观依据，去伪存真．总结出符合实际 的规律，提高分析数据的可信性 。
1963-1964年 Besseling、Melosh等人证明了有限元法是基于变分 原理的 Ritz法的另一种形式，从而确认有限元法是处理连续介质问题 的一种普遍方法，并为有限元法找到了理论基础。
60年代后期开始进一步利用加权余量法来确定单元特性和建立有限 元方程。
70年代以来，随着计算机技术的发展，有限元法的理论和应用研究 也随之空前活跃起来。
有限元分析及在 医学中的应用
主要内容
• 1有限元方法的概念 • 2有限元分析的发展 • 3有限元分析的理论基础 • 4有限元分析的详解 • 5有限元分析的思路 • 6有限元分析的优越性 • 7有限元分析的概念实例 • 8有限元分析的商业软件 • 9有限元分析的医学应用
有限元分析
• 概念：有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）利用数学近似的方法对真实物理 系统（几何和载荷工况）进行模拟。还利 用简单而又相互作用的元素，即单元，就 可以用有限数量的未知量去逼近无限未知 量的真实系统。
• 有限元法的理论基础：
基础力学
理论力学
对象：质点 特征：无变形
无形状的点
对ห้องสมุดไป่ตู้：质点系及刚体 特征：无变形
复杂形状的体
变量：(1)质心描述 (2)运动状态描述 (3)力的平衡描述
变量：(1) 刚体描述 (2) 运动状态描述 (3) 力的平衡描述
方程：质点的牛顿三大定律
方程：质点和刚体的 牛顿三大定律
才能得到较好的逼近效果，则计算工作量较大。
• 对于第一种的函数逼近方式，就是力学分析中的经典瑞利 -里兹方法(Rayleigh-Ritz principle)的思想，而针对第二种
的函数逼近方式，就是现代力学分析中的有限元方法的思 想，其中的分段就是“单元”的概念。
• 基于分段的函数描述具有非常明显的优势：(1)可以将原函 数的复杂性“化繁为简”，使得描述和求解成为可能，(2) 所采用的简单函数可以人工选取，因此，可取最简单的线 性函数，或取从低阶到高阶的多项式函数，(3)可以将原始 的微分求解变为线性代数方程。但分段的做法可能会带来 的问题有：(1)因采用了“化繁为简”，所采用简单函数的 描述的能力和效率都较低，(2)由于简单函数的描述能力较 低，必然使用数量众多的分段来进行弥补，因此带来较多 的工作量。
非变形体 (刚体)
材料力学
对象：简单变形体 特征：变形(小)
简单形状的体
变量：(1)材料物性描述 (2)变形方面描述 (3)力的平衡描述
方程：(1)物理本构方程 (2)几何变形方程 (3)力的平衡方程
三大变量→三大方程
结构力学
对象：数量众多的简单变形体 特征：变形(小)
简单形状的体(数量众多)
变量：(1)材料物性描述 (2)变形方面描述 (3)力的平衡描述
实例
• 比较以上两种方式的特点，可以看出，第一种方式所采用
的基本函数
非常复杂，而且是在全域上
定义的，但它是高次连续函数，一般情况下，仅采用几个
基底函数就可以得到较高的逼近精度；而第二种方式所采
用的基本函数
非常简单，而且是在子域上
定义的，它通过各个子域组合出全域
但它是线性
函数，函数的连续性阶次较低，因此需要使用较多的分段