分形与混沌理论在湍流研究中的应用_沈学会

基金项目:山东省科学技术发展计划资助项目(012050107);山东省自然科学基金资助项目(Y2002F19);山东省经贸委重大技术创新
资助项目(鲁经贸授字2003[182])
作者简介:沈学会(1981-),女,山东济南人,硕士生;陈举华(1948-),女,山东济南人,教授,博士生导师,主要研究方向为多目标模
糊优化系统模糊可靠性,虚拟样机及环境.
收稿日期:2004-10-15文章编号:1672-6871(2005)01-0027-04
分形与混沌理论在湍流研究中的应用
沈学会,陈举华
(山东大学机械工程学院,山东济南250061)
摘要:在简要介绍分形、混沌理论的基本原理及二者密切关系的基础上,着重论述了湍流的非线性特征以及国
内外学者利用分形、混沌理论研究湍流的现状。

分形和混沌理论有助于理解湍流的内在规律和运动机理,非
线性技术的引入为揭示湍流机理提供了新的希望。

关键词:分形;混沌场;湍流;非线性
中图分类号:O357.5文献标识码:A
0　前言
非线性科学的两大主体是分形和混沌,混沌是现象的深化,而分形是结构的深化,是刻划混沌运动的直观几何语言。

目前,分形和混沌已经进入自然和社会科学的诸多领域,有着广泛的应用,并不断形成新的学科或新的研究领域[1]。

湍流是混沌的、随机的、无序的不可预测的系统,湍流中流体轨道行为的随机性及其复杂规律的刻划与描述一直是科学研究上的难题,湍流一度被称为“经典物理学最后的疑团”[2]。

湍流之所以如此难解,究其原因在于运用传统的数学方法,即线性的方法和观点去研究湍流这样的强非线性问题,无法取得突破性的进展。

而分形、混沌理论在处理非线性问题方面具有明显的优越性,因此近年来它们在湍流研究中越来越被关注,本文总结了近年来该研究的一些重要研究成果,以期对后序研究有所帮助。

1　分形与混沌理论概述
1.1　分形理论与混沌理论
分形最早是由曼德布罗特于1967年提出的,用来描述那些表面看上去杂乱无章、变幻莫测而实质上潜在有某种内在规律性的几何图形或形状[1]。

分形不仅是指几何形状还可以指具有自相似性的功能、信息等抽象对象。

自相似性可以指绝对的自相似也可以指统计意义上的自相似,还可以是沿不同方向上按不同比例存在自相似的自仿射性。

存在相似性的区间称为标度区间,在标度区间内研究分形体的性质,就是分形理论的内容。

这样,分形的概念就可以应用于多个领域,具有广泛的意义。

混沌是发生在确定性系统中伪随机的现象,它是一种动态系统的运动,它通常具有初值放大效应、奇怪吸引性、不可线性迭加、非周期性、结构自相似及分形几何特征。

混沌运动是一种非常普遍的非线性现象,它的基本特征有:宏观上无序无律;微观上的有序有律;有序有律与无序无律的互补。

1.2　分形和混沌的关系
混沌与分形联系密切,其研究内容从本质上讲存在着极大的相似性[3]。

混沌学研究的是无序中的有序,许多现象即使遵循严格的确定性规则,但大体上仍是无法预测的,比如大气中的湍流,人的心脏的跳动等等。

混沌事件在不同的时间标度下表现出相似的变化模式,与分形在空间标度下表现的相似性十分相像。

混沌主要讨论非线性动力系统的不稳、发散的过程,但系统在相空间总是收敛于一定的吸引子,这与分形的生成过程十分相象。

混沌学与分形学在很大程度上依赖于计算机的进步,计算机技术不
第26卷第1期2005年 2月河南科技大学学报(自然科学版)
Journal of Henan University of Science and Technology (Natural Science )Vol .26No .1Feb .　2005
DOI :10.15926/j .cn ki .issn 1672-6871.2005.01.007
仅使这两个领域中的一些最新发现成为可能,同时因其图形直观的表现形式也极大地激发了人们的兴趣,起到了推广作用。

分形与混沌的一致性并非偶然,在混沌集合的计算机图像中,常常是轨道不稳定的点集形成了分形。

所以这些分形是一个动力系统的混沌集,是各种各样的奇异吸引子。

因此,分形艺术的美丽就是混沌集合的美丽,对分形艺术的研究就是对混沌动力学研究的一部分。

2　分形与混沌理论在湍流研究中的应用
2.1　湍流的分形特征
湍流是一种典型的分形现象,其Kolmogorov图像就是大涡套小涡、小涡中再套更小的涡,这一嵌套结构显然是一种自相似结构[4]。

间隙、湍流斑这些拟序结构也表现出统计意义上的自相似性。

对于湍流的分形特征,一种解释是流体中的涡管在运动中不断地拉伸和折叠,根据Helmhotz定理,涡管不能在流动中消失,只能回避式的折叠。

与分子随机运动一样,涡管全部填满空间的可能性为零,呈不均匀分布,从而形成分形结构。

曼德布罗特和很多学者都将紊流图象当作分形的典型实例并做了大量研究工作。

文献[5]用实验证明了当系统的控制参数增加到特定值时,螺旋式的Taylor涡流吸引子的分维将会不连续地突然增加;文献[6]得出了紊流的等值面、层紊流交界面和耗散结构的分维;文献[7]通过信息熵和极值原理从理论上推导了耗散结构的分数维;文献[8]研究了几种典型湍流的边界线获得了K区的分维;文献[9]对圆形湍流射流和羽流进行了分维结构测量。

2.2　湍流的理论分形模型
湍流的理论分形模型主要集中在间歇模型和湍流扩散上。

继Richardson在1922年提出完全发展湍流由不同尺度的涡构成的思想后,Kolmogorov在1941年为完全发展湍流的理论研究提出了一系列重要概念,如能谱惯性子区的存在和-5/3次幂定律,形成了K41理论。

这个理论的核心之一是在惯性子区存在标度律。

Kolmogorov认为,这个标度律是普适性的,与大尺度脉动运动的统计特征、黏性耗散和流动环境无关。

但间隙性的存在暴露了K41理论的缺陷,因此,Kolmogorov和Obukhov等在1962年提出了修正自相似假设的K62理论。

文献[10]在1978年对间歇性完全发展湍流提出了湍流分形模型—β模型。

其关键假设是:湍流的小尺度结构随着该尺度大小的减小,所占空间也变得越来越小,第n级涡只占第n-1级涡的体积的β部分(β<1)。

文献[11]在1990年根据Frisc h导出的关系式,提出包含分维的新湍流尺度
l=K3(D a-3)/2
v-3ε-2+D3
1/(1+D
3
)
(1)
式中　当D3=3时,l=(v3/ε)1/4就是经典的Kolmogor ov尺度。

利用新的湍流尺度,可望将湍流模型与分形结合起来,从而改善现有湍流模型的特征,这是湍流模型改进的一个新方向。

文献[12]于1994年对完全发展湍流提出层次结构模型,该模型继承了K41理论的精髓,即惯性子区存在标度律,提出在完全发展湍流的惯性区,无量纲层次结构量之间有严格的自相似性,层次相似性反映了最强间隙结构与较弱的脉动结构之间的层次递推关系,认为层次结构由最高激发态与层次相似参数(间隙参数)共同决定,获得了简洁的标度指数公式[13]。

文献[14]对湍流射流的实验研究发现,速度结构函数的标度指数依赖于流动区域,而且扩展自相似(ESS)在近尾流区的剪切流中也遵循。

文献[15]在1997年基于双变量对数Poisson模型利用层次结构模型发展了被动标量在惯性区的间隙模型,得到了与实验相符的标度结构函数的标度指数公式。

但文献[16]对将层次结构模型运用于标度(如温度)结构函数的做法提出质疑,通过对圆柱尾流中被动标量的实验测量和理论分析,得到了标量—速度混合结构函数的标度指数公式。

该成果的一个引人注目之处就是,实验发现广义自相似在大大超出惯性区的尺度范围内存在。

文献[17]在对湍流预混火焰热图像序列进行分形分析的基础上,提出了一种基于分形理论的湍流预混火焰传播速度模型,该模型将小尺度涡团在火焰锋面的强化湍流扩散效应归结为对封面结果的改变上。

文献[18]从分析湍流场中局域中涡旋的串级结构出发,得到了颗粒与液相间的湍流涡旋裂变传质模型。

在湍流扩散中,文献[19]在1983年利用标度和分形概念考虑了完全发展湍流间歇性的影响,通过28河南科技大学学报(自然科学版)2005年
引入分维修正了著名的Richardson 4/3次方定律。

1984年又根据Lovejoy 关于云的分维的测量结构,提出了新的湍流相对扩散理论[20]。

近年来,国外一些学者正积极利用子波变换研究湍流问题[21],成为湍流研究的热点之一。

2.3　湍流的发生与混沌的关系
在湍流发生和混沌的交叉研究领域中,已经取得了很多成果,开始认为湍流发生过程是流动由层流状态到达充分发展的湍流状态的混沌过程[22],普遍的观点是:混沌与湍流有一定的关系,但终究不是一回事。

文献[23]研究了Couetter -Taylor 流动中关于奇怪吸引子的问题,并得到结论:尽管流动可能是非周期的,但确是确定的,正如混沌一样。

文献[24]研究了管道流动的间歇中湍流的发生机理,证明与初始随机扰动的性质有关,并指出以分叉和混沌的观点来研究转捩具有一定的物理意义。

文献[25]也就管流中的“猝发”现象进行了类似研究。

文献[26]对平板边界层中湍流的发生与混沌动力学之间的联系进行了分析。

混沌的理论分析困难较大,在湍流中都是针对一些具体问题提出的。

作者认为其原因一方面是由于湍流实验专家还对试验中所观察到的现象是否真正的混沌意见并未统一,另一方面是混沌现象的实验研究还很困难。

重要的是,混沌机理并未完全探明而是刚刚起步,用混沌模拟湍流,或者说,研究湍流中的混沌现象,还处于积累时期,但混沌理论中许多新的思想和新的方法的确可以使我们不依赖于方程也能研究湍流的动力学行为。

2.4　湍流机理的混沌模拟
以法国科学家Tema m 为首的里昂学派证明二维的N -S 方程的解在时间演化过程中会被逐渐吸收到一个有限维的吸收集中,并证明这系统有有限维的整体吸引子[27]。

引入惯性流形的概念,奇怪吸引子就是被嵌入到这种光滑的流形中。

惯性流形的存在标志着奇怪吸引子的存在。

Temam 认为,从物理学观点来看,惯性流形就是把湍流中小涡和大涡联系起来的一种相互作用规律[27]。

三维的N -S 方程
u t +(u · )u =f -1ρ
P +v 2u (2)对所有的t ,使方程(2)的解u (x ,t )都无界的点x 的集合,维数最多为112
(分数维)。

文献[28]认为,用B -K -dV 方程描述一维湍流,意义深刻,进一步分析指出B -K -dV 方程
u 1+uu x -vu xx +βu xxx =0(3)
含有三种因子:非线性、耗散和色散。

非线性可以使能量集中,也是产生混沌的重要因素。

耗散对应着熵增,它使过程具有不可逆性,色散使能量可聚可散。

非线性、耗散、色散三因子的互相作用可以解释湍流的许多性状。

如能量级串散裂是耗散作用占主导地位,小涡形成大涡的能量逆转现象则是非线性和色散共同作用的结果。

采用非线性、耗散和色散相互作用的机制,可以解释湍流的许多现象。

至于湍流中是否确实含有这三种因子及其作用规律,有待实验进一步证实。

3　结论
(1)用分形、混沌等非线性分析技术研究湍流才刚刚起步,近10年来才得到了较快的发展。

目前这类研究处于只能给出一些定性解释的阶段,离定量的预报还很远。

但分形理论、混沌理论与湍流理论之间更深刻的联系已引起了众多科学工作者的注意,将分形、混沌动力学用于湍流研究,可以有效地揭示系统的内在规律,为湍流研究提供新的视野。

(2)湍流在不同层次的生长特征可以与湍流计算结合起来,如果把湍流在不同尺度的分形特征进一步搞清楚,可以将包含不同分维值的湍流尺度运用于湍流模型中去,可望改善湍流模型的通用性和模拟精度,这是研究湍流模型的一个值得重视的方向。

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Application of Fractal and Chaos Theory in Turbulence Study
SHEN Xue -Hui ,CHEN Ju -Hua
(School of Mechanical E ngineering ,Shandong University ,Jinan 250061,China )
Abstract :The basic concepts of fractal and chaos theory and the r elationship between them are briefly introduced .The nonlinear character of turbulence and the applications of fractal and chaos theor y in turbulence study are emphatically discussed .The theory of fractal and chaos can help understand the internal law and kinetic mechanism of turbulence .The introduction of nonlinear technology may shed light upon the mechanism of turbulence .Key words :Fractal ;Chaos fields ;Turbulence ;Non -linear 30河南科技大学学报(自然科学版)2005年。