第十章 期权的回报与价格分析

无风险利率对期权价格的影响则不是那么直接。当 整个经济中的利率增加时，股票价格的预期增长率也倾 向于增加。然而，期权持有者收到的未来现金流的现值 将减少。 这两种影响都将减少看跌期权的价值，因此，随 着无风险利率的增加，看跌期权的价格将减少。 对于看涨期权来说，前者将增加看涨期权的价格， 后者将减少看涨期权的价格。可以证明对看涨期权来说， 前者的影响将起主导作用。
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（二） 实值期权、平价期权与虚值期权
（1）实值期权（in the money）：内在价值＞0； （2）平价期权（at the money）：内在价值＝0； （3）虚值期权（out of the mone）：内在价值＜0。
表10.3 实值期权、平价期权与虚值期权
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（三）期权的时间价值
期权的时间价值：指期权尚未到期时，标的 资产价格的波动为期权持有者带来收益的可能性 所隐含的价值。 以GE美式看跌期权为例，其内在价值为1.69， 但在9月22日之前，GE股票价格如果跌到40美元 以下，看跌期权的多方就可能获利，当然，如果 无法低于40美元，多方就会放弃行权，而且无论 GE股票涨到多少，多方都不会遭受更多损失。因 此，正是因为期权能给投资者带来这种不对称的 盈亏可能，投资者愿意多付0.07美元购买此看跌 期权。
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②有收益资产美式看涨期权：若在除权日前一天τ 行权，其回报是Sτ-X，其贴现值是S-Xe -rτ(τ-t)， 可视其为到期日为τ 的短期欧式看涨期权；若不 行权，可将其视为到期日为T，股利现值为I的 长期欧式看涨期权。由于美式期权持有者可以 选择两种行权策略中较有利者，因此有收益资 产美式看涨期权的内在价值为： max[S-Xe -rτ(τt) ，S-I-Xe -r(T-t) ,0]
★表10.2 期权的内在价值
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案例10.1 通用电气看涨期权与看跌期权内在价值的计算
2007 年8 月31 日美国中部时间10:18 ，在CBOE ， 1 份以通用电气股票为标的资产、执行价格为40 美元、到 期日为2007 年9 月22 日的美式看跌期权价格为1.76 美元， 而同一天的通用电气股票收盘价为38.5 美元。GE 2007 年每季度的股息为0.28 美元，第三季度股息除权日为9 月20 日，股息发放日为10 月25 日。根据2007年8月31日 美国国债利率期限结构，1个月期年利率为4.02%，故此 我们选择4%作为19天、23天和55天贴现率的近似。 GE 期权是标的资产有收益情况下的美式期权，其看 涨期权的内在价值取决于是否提前执行。 （1）如果8月31日立刻执行，内在价值为： max(X-S,0)=max(40-38.5,0)=max(1.5,0)=1.5
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（2） 如果持有至9月19日执行，则内在价值为： max[Xe-r τ(τ -t)-S,0] =max(40e-4%*19/365-38.5,0)= max(1.42,0)=1.42 （3）如果持有至9月20日执行，则内在价值为： max[Xe-r τ(τ -t)-（S-I),0] =max[40e-4%*20/365 -(38.5-0.28e-4%*55/365 ),0] =max(1.69,0)=1.69 （4）如果持有到期至9月22日执行，则内在价值为： max[Xe-r τ(τ -t)-（S-I),0] =max[40e-4%*22/365 -(38.5-0.28e-4%*55/365 ),0] =max(1.68,0)=1.68 因此，GE看跌期权的内在价值为1.69美元。
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（2）期权的有效期
美式期权：可以在有效期内任何时间执行，有效期 越长，期权多头获利机会就越大，而且有效期长的期权 包含了有效期短的期权的所有执行机会，因此，有效期 越长，期权价格越高。 欧式期权：只能在期末执行，有效期长的期权就不 一定包含有效期短的期权的所有执行机会。这就使欧式 期权的有效期与期权价格之间的关系显得较为复杂。
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在期权到期时，两个组合的价值均为max(ST,X)。 由于欧式期权不能提前执行，两组合在时刻t的价值 也必须相等，即： c+Xe -r(T-t) =p+S （10.16） 这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之 间的平价关系。它表明欧式看涨期权的价值可以根 据相同协议价格与到期日的欧式看跌期权的价值推 导出来，反之，亦然。
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二、 看跌期权的回报与盈亏分布

执行价格为40元的欧式看跌期权的回报与盈亏分布如图 10.2所示：
（a）欧式看跌期权多头的回报与盈亏
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（b）欧式看跌期权空头的回报与盈亏
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小结：


看跌期权多头的亏损风险是有限的，其最大亏损 限度也是期权费；但其盈利可能并非无限，当标 的资产价格为零时看跌期权多头的盈利最大，等 于执行价格减去期权价格。 看跌期权空头的盈利状况与多头刚好相反，盈利 为有限的期权费，亏损也是有限的，其最大限度 为协议价格减期权价格之差。
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三、期权到期回报公式
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第二节 期权价格的特性
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一、内在价值与时间价值
★期权价格（期权费）=期权的内在价值+期权的时间价值
（一）期权的内在价值（intrinsic value）
是0与多方行使期权时所获回报最大贴现值的 较大值。看涨期权所获回报为Sτ-X，看跌期权为 X-Sτ，这里的τ 是指多方行使期权的时刻。 （1）欧式期权情形
对欧式期权来说，多方只能在期权到期时决定 行权与否并获得相应的回报，故τ=T。
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欧式看涨期权的到期回报为max(ST-X,0)，如果 标的资产在期权存续期内无收益，ST的现值就是 当前的市价S，如果标的资产在期权存续期内支付 已知的现金收益，ST的现值则为S-I，其中I表示在 期权有效期内标的资产所获得的现金收益贴现到 当前的现值。 由于X为确定的现金流，其现值的计算就是 简单的贴现，故此欧式无收益和有收益资产看涨 期权的内在价值分别为max[S-Xe-r(T-t),0]与max[S-IXe-r(T-t),0]。
第 十章 期权的回报与价格分析
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第一节 期权的回报与盈亏分布
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★几点说明：


本节主要分析期权的回报与盈亏分布。回报 （payoff）未考虑期权费，而盈亏（gain or loss）则考虑了期权费对交易双方最终收益状况 的影响。 X表示期权的执行价格； 小写的c与p表示欧式看涨期权与看跌期权价格； 大写的C与P表示美式看涨期权与看跌期权价格。
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（3）标的资产价格的波动率
波动率越大，则在期权到期时，标的资产市场价格 涨跌达到实值期权的可能性也就越大，而如果出现虚值 期权，则期权多头亏损有限。 所以，无论是看涨期权还是看跌期权，其时间价值 以及整个期权价格都随着标的资产价格波动率的增大而 增大，随标的资产价格波动率的减小而降低。
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（4）无风险利率
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一、看涨期权的回报与盈亏分布

以一个执行价格为40元的欧式股票看涨期权为例，期权到 期时多头的回报和盈亏分布如图10.1（a）所示：
（a）欧式看涨期权多头的回报与亏损
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（b）欧式看涨期权空头的回报与盈亏
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小结：




看涨期权多头的亏损风险是有限的，其最大亏损 限度是期权费（期权价格），而其盈利则可能是 无限的。 看涨期权空头的亏损可能是无限的，而盈利是有 限的，其最大的盈利是期权费。 期权多头以较低的期权费为代价换取较大盈利的 可能性，如同买了一个保险，这就是期权费 （premium）。 而期权空方则为了赚取期权费冒着大量损失的风 险。
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It is important to emphasize that we are assuming that interest rate change while all other variables stay the same. In particular, we are assuming that interest rates change while the stock price remains the same. In practice, when interest rate rise, stock prices tend to fall. The net effect of an interest rate increase and the accompanying stock price decrease can be to decrease the value of a call option and increase the value of a put option.
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（5）标的资产的收益
按照美国市场惯例，标的资产分红或者是获得相 应现金收益的时候，期权的协议价格合约并不进行相 应的调整。 这样，标的资产进行分红付息，将减少标的资产 的价格，这些收益将归标的资产的持有者所有，同时 协议价格并未进行相应调整。 因此在期权有效期内标的资产产生的现金收益将 使看涨期权价格下降，而使看跌期权价格上升。
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★期权内在价值与时间价值的相关性
期权的时间价值受内在价值的影响，在期权平价点 时间价值达到最大，并随期权实值量和虚值量增加而递 减。
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二、期权价格的影响因素
（1）标的资产的市场价格与期权的执行价格 它们是影响期权价格最主要的因素； 看涨期权：由于看涨期权在执行时，其收益等于标 的资产当时的市价与执行价格之差。因此，标的资产的 价格越高、执行价格越低，看涨期权的价格也就越高； 看跌期权：对于看跌期权而言，由于执行时其收益 等于执行价格与标的资产市价的差额，因此，标的资产 的价格越低、执行价格越高，看跌期权的价格也就越高。
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★补充资料：Risk-Free Interest Rate
资料来源：【约翰· 赫尔】期权、期货和其它衍生品（英文第5版）16-free interest rate affects the price of an option in a less clear-cut way. As interest rates in the economy increase, the expected return required by investors from the stock tends to increase. Also, the present value of any future cash flow received by the holder of the option decreases. The combined impact of these two effects is to decrease the value of put options and increase the value of call options.
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（2）美式期权情形
由于多头随时可以执行期权，美式期权的情况 有所不同。 ①对无收益资产美式看涨期权：执行期权的回报 为Sτ-X，这里的τ 是指美式期权执行的时刻。由 于Sτ的贴现值恒为S，而X的贴现值等于Xe -rτ(τ-t) ， r 为当前t时刻到未来τ时刻间的无风险利率。期权 τ 回报的最大贴现值为S-Xe-r(T-t），因此其内在价值 也等于max(S-Xe-r(T-t）, 0)。
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③对无收益美式看跌期权：其执行时的回报为 X-Sτ,，显然其最大的贴现值为X-S，其内在价值 就是max(X-S,0)。 ④对有收益资产美式看跌期权：如果立即执行， 其回报的贴现值为X-S；如果在刚派发红利之后 的τ执行，其回报的现值为Xe -rτ(τ-t) -(S-I)；由于 美式期权持有者可以选择两种行权策略中较有利 者，因此，有收益资产美式看跌期权的内在价值 为max[X-S，Xe -rτ(τ-t) -(S-I),0]。
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表10.4 影响期权价格的主要因素
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六、看跌期权与看涨期权之间的平价关系
（一）欧式看跌期权与看涨期权之间的平价关系 1.无收益资产的欧式期权
在标的资产无收益的情况下，为了推导c和p之间的关 系，考虑如下两个组合：
组合A：一份欧式看涨期权加上金额为Xe-r(T-t) 的现
金； 组合B：一份有效期和协议价格与组合A中看涨期权 相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产。 ★课堂思考：试分析组合A和组合B的终值分别是多少，并说明理由。