这个是作业二阶与三阶行列式教案

§§1.1 二阶与三阶行列式

一．

教学重点： 对角线法则

二．教学目标： 掌握二阶与三阶行列式的定义，计算二阶与三阶行列式子 三．教学过程： 1．引

行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题． 设有二元线性方程组

⎩⎨

⎧=+=+22221211112111b x a x a b x a x a

(1)

用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当a 11a 22 – a 12a 21≠0 时，有

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧--=--=2112221121

12112211222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x (2)

这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．

定义1我们称4个数组成的符号

1112

112221222122

a a a a a a a a =-

为二阶行列式． 说明几个问题：

1） 它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素． 2） 从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行

列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号． 3） 几何描述：二阶行列式—平行四边形面积

由方程(1)我们有

1112121222a a b X Y a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令1121a OA a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1222a OB a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12b OC b ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

即 X OA YOB OC +=。

若 OA ，OB 不共线

1112

112221222122

a a a a a a a a =-=OA OD ⋅=cos OA OD AOD ∠=sin OA OB AOB ∠=

平行四边形OAPB 的有向面积。

两个向量1121a OA a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1222a OB a ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

的函数称为二阶行列式。当邻边抽象成一条直线的时

候行列式的值为0。

根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成

222

121212221a b a b b a a b =-，221

111211211b a b a a b b a =-，

如果记

2221

1211a a a a D =

，

222

1211a b a b D =，

2

21

1112b a b a D =

则当D ≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成

2221121122212111a a a a a b a b D D x ==， 22211211221

1

1122a a a a b a b a D D

x ==， (3)

象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．

首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x 1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x 2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．

2.例题讲解

例1 用二阶行列式解线性方程组

⎩⎨

⎧=+=+231422121x x x x

解：这时

214323

142≠=⨯-⨯==

D ， 5

24313

2

411-=⨯-⨯==

D ，

3

11222

1

122=⨯-⨯==

D ，

因此，方程组的解是

2511-==

D D x ，23

22==D D x ，

对于三元一次线性方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++333323213123232221211

313212111b

x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

(4)

作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念． 定义2 我们称符号

3122133321123223113221133123123322113332

3123222113

1211

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=

(5)

为三阶行列式。 说明几个问题：

1） 它有三行三列，是六项的代数和．

2） 这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右

上角到左下角三个元素的乘积取负号． 3） 它的几何描述是什么那？（请同学课下讨论）

例2 53

2

134

212-

1062012242301325)4(123223)4(211532=-+--+==⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯=

令

33

32

31

232221

131211

a a a a a a a a a D =