这个是作业二阶与三阶行列式教案

§§1.1 二阶与三阶行列式
一．
教学重点： 对角线法则
二．教学目标： 掌握二阶与三阶行列式的定义，计算二阶与三阶行列式子 三．教学过程： 1．引
行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题． 设有二元线性方程组
⎩⎨
⎧=+=+22221211112111b x a x a b x a x a
(1)
用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当a 11a 22 – a 12a 21≠0 时，有
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧--=--=2112221121
12112211222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x (2)
这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．
定义1我们称4个数组成的符号
1112
112221222122
a a a a a a a a =-
为二阶行列式． 说明几个问题：
1） 它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素． 2） 从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行
列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号． 3） 几何描述：二阶行列式—平行四边形面积
由方程(1)我们有
1112121222a a b X Y a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令1121a OA a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1222a OB a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12b OC b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
即 X OA YOB OC +=。

若 OA ，OB 不共线
1112
112221222122
a a a a a a a a =-=OA OD ⋅=cos OA OD AOD ∠=sin OA OB AOB ∠=
平行四边形OAPB 的有向面积。

两个向量1121a OA a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1222a OB a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的函数称为二阶行列式。

当邻边抽象成一条直线的时
候行列式的值为0。

根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成
222
121212221a b a b b a a b =-，221
111211211b a b a a b b a =-，
如果记
2221
1211a a a a D =
，
222
1211a b a b D =，
2
21
1112b a b a D =
则当D ≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成
2221121122212111a a a a a b a b D D x ==， 22211211221
1
1122a a a a b a b a D D
x ==， (3)
象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．
首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x 1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x 2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．
2.例题讲解
例1 用二阶行列式解线性方程组
⎩⎨
⎧=+=+231422121x x x x
解：这时
214323
142≠=⨯-⨯==
D ， 5
24313
2
411-=⨯-⨯==
D ，
3
11222
1
122=⨯-⨯==
D ，
因此，方程组的解是
2511-==
D D x ，23
22==D D x ，
对于三元一次线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++333323213123232221211
313212111b
x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a
(4)
作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念． 定义2 我们称符号
3122133321123223113221133123123322113332
3123222113
1211
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=
(5)
为三阶行列式。

说明几个问题：
1） 它有三行三列，是六项的代数和．
2） 这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右
上角到左下角三个元素的乘积取负号． 3） 它的几何描述是什么那？（请同学课下讨论）
例2 53
2
134
212-
1062012242301325)4(123223)4(211532=-+--+==⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯=
令
33
32
31
232221
131211
a a a a a a a a a D =
33
32
3
23222
13121
1a a b a a b a a b D =，
33
3
31
232
21131112a b a a b a a b a D =，
3
32
31
22221
11211
3b a a b a a b a a D =．
当 D ≠0时，(4)的解可简单地表示成
D D x 11=
，D D
x 22=，D D x 3
3=
(6)
它的结构与前面二元一次方程组的解类似．
例3 解线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=-+=+-4
23152302321321321x x x x x x x x x
解：28
2315231
12=---=D ，
132
3
45211101=---=D ，
472
4
1
51
31022=--=D ，
214
3
1
123
0123=-=D ．
所以，
2813
11=
=
D D x ，
284722==D D x ，43282133===D D x ． 例4 已知
1
01
00=-a b b a ，问a ，b 应满足什么条件？(其中a ，b 均为实数)．
解：2
210100
b a a b b a +=-，若要a 2+b 2=0，则a 与b 须同时等于零．因此，当a =0且b =0
时给定行列式等于零．
为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n 阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．
思考题：
当a 、b 为何值时，行列式
2
2
==
b
a
b a D ．
3.本课小结：对角线法则 简单线性方程组的求解公式
4.作业：26页 1. 1) 2)
李莎莎 大庆师范学院数学系 2007年11月18日。