计算方法与实习第五版习题答案

e ( x 1 x 2 x 3 ) e ( x 1 ) e ( x 2 ) e ( x 3 )
e(x1x2x3)e(x1)e(x2)e(x3)
e(x1)e(x2)e(x3) 0.5*10 40.5*10 50.5*10 5 0.6*10 4
绪论
习题1——6：一台10进制的计算机，4位字长， 阶码p∈[-2,3]，可以表示的机器数有多少个？ 给出它的最大数、最小数及距原点最近的非 零数，并求fl(x)的相对误差限。
1) x=1+1/x2 2) x3=1+x2 4) x2=x3-1 3) x2=1/(x-1)
方程求根
解：1)x1
1 x2
(x)
|1’(x)|= | -2
1 x3
|= 2
1 1.53
| x0=1.5 =0.59 <1(收敛)
2)x31x2
| 2’(x)|=|
1 3
(1
x2
2
)3
2x
|
=
|3 2x(1x2)3 2|x01.5
2）迭代计算：
x0=3.0 x4=2.981
x1=2.977 x2=2.982 x3=2.981
∴ x≈2.981
方程求根
xk1xkff((x xkk)) x(kf (x xkk 1 1))
习题2——11：用割线法求方程x3-2x-5=0的根，要
求精确到4位有效数字，取x0=2, x1=2.2。
习题2——1：证明方程1-x-sinx=0在[0,1]中有 且只有1个根，用二分法求误差不大于1/2*10-3 的根需要迭代多少次？
解：1）求单调区间 f’(x)=-1-cosx，可知在(3.14, 0)区间f’(x)<0，单调递减
2）在(3.14, 0)区间逐步搜索 f(0)=1-0-sin0=1>0，f(1)=1-1-sin1=-sin1<0
解：β=10，t=4，L=-2，U=3
机器数个数：2*(β-1)*βt-1*(U-L+1)+1=2*9*103*6+1=108001 距原点最近的非零数：±0.1000*10-2 最大的数：0.9999*103 最小的数：-0.9999*103 相对误差限：0.5*10-3(舍入机)， 10-3(截断机)
=0.4557 <1(收敛)
∵ | 2’(x)|<|1’(x)| ∴2比1收敛快
方程求根
解：3)x x31
'(x) 1 2 (x 3 1 ) 1 23 x 2 2 3 x 2 (x 3 1 ) 1 2 x 0 >1 .15 ( 不2 收.8 敛) 9
4)x 1 x1
3
|’(x)|= | 1 (x1) 2 |x01.5 =1.4142 >1(不收敛)
方程求根
习题2——2：用二分法求方程2e-x-sinx=0在区 间[0,1]内的1个实根，要求3位有效数字。
解：3）迭代计算
∴x ≈0.921
序号 根的近似值 序号 根的近似值
1
0.5000
6
0.9219
2
0.7500
7
0.9141
3
0.8750
8
0.9180
4
0.9375
9
0.9200
5
0.9063
解： x0=2.0
f(x0)=-1
xx2 1=22 ..221.1 2.24 *4 ( 2 8.(2 8 1)2)2.089
f(x1)=1.248 f(x2)=-0.0621
x 3 2 .0 8 0 . 0 9 0 .0 * 6 (2 6 .0 2 1 .2 2 8 1 2 .2 4 ) 1 9 2 8 .094f(x3)=-0.0036
10
0.9209
方程求根
习题2——3：用简单迭代法求方程ex-4x=0的 根，并验证收敛性，精确到4位有效数字。 解：1.找出方程的有根区间
(1)单调区间：
令f’(x)=ex-4=0, x=ln4≈1.4，所以有两个单调区间： [- ∞，1.4](递减)和[1.4， ∞](递增)
(2)有根区间：∴ 存在两个有根区间为：[0，1] 和[2，3]
2
Байду номын сангаас
∵ | 2’(x)|<|1’(x)| ∴2比1收敛快
xk131xk2
方程求根
习题2——6：方程x3-x2-1=0在1.5附近有一根，将方 程写成如下不同的等价形式，判断是否满足迭代收 敛的条件，并选择一种最好的迭代格式，以x0=1.5 为初值求方程的根，要求精确到4位有效数字。
解：计算根
1）迭代公式： xk131xk2
x4=0.3529 x8=0.3573
x5=0.3558 x6=0.3568 x7=0.3572 x9=0.3574 x10=0.3574 ∴ x ≈ 0.3574
方程求根
习题2——3：用简单迭代法求方程ex-4x=0的 根，并验证收敛性，精确到4位有效数字。
解：2.在区间[2,3]上构造收敛的公式并计算
绪论
习题1——10：设 f( x ) 8 x 5 0 .4 x 4 4 x 3 9 x 1 用秦九韶法求f(3)。
解：
8 0 . 440 91
x3
24 70.8 224.4 673.2 1992.6
8
23.6 74.8 224.4 664.2 1993.6
∴ f(3)=1993.6
第一章 绪论 练习
3.2589 3.2590 4.3820 0.00078925
绪论
习题1——4：已知下列近似值x1=4.8675, x2=4.08675, x3=0.08675，求x1+x2+x3 的误差限。
解：e ( x 1 ) 0 . 5 * 1 4 , e ( 0 x 2 ) 0 . 5 * 1 5 , e ( 0 x 3 ) 0 . 5 * 1 5
方程求根——练习1
求解方程f(x)＝0，若可以表成x＝(x)， 则用简单迭代法求根，那么要使近似根 序列x1,x2, ,xn, 一定收敛，(x)应满足：
a. '(x)r1 b. '(x)r1
c. '(x)r1 d. '(x)r1
方程求根——练习1
用二分法求方程在区间[1, 1.5]内的近似
(1)两种等价形式： x=ex/4=φ1(x)；
x=ln(4x)= φ2(x)
(2) x=ex/4=φ1(x)： |φ1’(x)|=ex/4>1 (发散)
(3) x=ln(4x)= φ2(x): |φ2’(x)|=1/x<1 (收敛), 迭代公式为： xk1ln4x(k)
(4) 计算：x0=2 x4=2.146 x5=2.150
是: ( b )
a．0.00235
b．0.0023471
c．0.0023
d．0.00234711
5. 在β=10，t=5，－L=U=5的截断机上， 与数410037对应的规格化浮点数是: ( d )
a. 0.41003×106 b. 0.41004×106
c. 4.10037×105 d. 上溢
第一章 绪论 练习
计算方法(数值分析)
习题答案——第一、二章
教师：马英杰 成都理工大学 核自学院
绪论
习题1——1：指出下列各数有几位有效数字
4.8675
5
4.08675
6
0.08675
4
96.4730
6
96*105
2
0.00096
2
绪论
习题1——2：对下列各数写出具有5位有效数 字的近似值
3.25894 3.25896 4.382000 0.000789247
x 4 2 .0 9 0 .0 4 0 .0 * 0 (2 .0 0 3 0 .0 3 9 2 6 .0 6 6 4 )8 2 2 .0 9 19f5 (x4)=0.00001
x 5 2 .0 9 0 .0 0 5 .0 0 * (0 2 .0 0 0 .0 0 9 2 .0 0 1 5 )9 3 1 2 .0 4 69 1∴5x ≈ 2.095
x1=2.079 x2=2.118 x6=2.152 x7=2.153 ∴ x ≈ 2.153
x3=2.137 x8=2.153
方程求根
习题2——6：方程x3-x2-1=0在1.5附近有一根，将方 程写成如下不同的等价形式，判断是否满足迭代收 敛的条件，并选择一种最好的迭代格式，以x0=1.5 为初值求方程的根，要求精确到4位有效数字。
[- ∞，1.4]区间：f(0)=1>0，f(1)=e-4<0，所以有根区间为：[0，1]
[1.4，+ ∞]区间：f(2)=e2-8<0，f(3)=e3-12>0，所以有根区间为：[2，3]
方程求根
习题2——3：用简单迭代法求方程ex-4x=0的 根，并验证收敛性，精确到4位有效数字。
解：2.在区间[0,1]上构造收敛的公式并计算
6. 自然数e*=2.718281828459045…，取 e≈2.71828，那么e的有效数字是: ( b)
a．5位 b．6位 c．7位 d．8位
7. 数13.013627……的有四位有效数字 的近似值是: ( d )
a．13.00 b．13.02 c．13.014 d．13.013
方程求根
(1)两种等价形式： x=ex/4=φ1(x)；
x=ln(4x)= φ2(x)
(2) x=ex/4=φ1(x)：
exk
|φ1’(x)|=ex/4<1 (收敛)， 迭代公式为： (3) x=ln(4x)= φ2(x): |φ2’(x)|=1/x>1 (发散)
xk1
4
(4) 计算：x0=0 x1=0.2500 x2=0.3210 x3=0.3466
2）迭代计算：
x0=1.5
x1=1.481 x2=1.473 x3=1.469
x4=1.467 x5=1.466 x6=1.466
∴ x ≈ 1.466
方程求根
习题2——9：用牛顿迭代法求方程x5-235.4=0的根， 要求精确到4位有效数字，取初值为3。
解：f1(）x)=写x5出-2迭35代.4,公式f’：(x)=xk 5 x14xkxk 5 52 xk 43 .4 54xk 55 x2 k 4 3 .45
1．《计算方法》课程主要研究以计算 机为工具的 数值 分析方法 ，并评价 该算法的计算误差。
2．近似值作四则运算后的绝对误差限
公式为 (x1x2) (x1)(x2)，近似值
1.0341的相对误差限不大于 1 102 ， 则它至少有三位有效数字。 4
第一章 绪论 练习
30(x.．01x0设25)=，数那据0.0么x5 1x，两2x数02.0 的的0绝乘x1 5对。积误x1差x2的限绝分对别误为差0.0限5和 4. 0.00234711 具有 5 位有效数字的近似值
根，要求精确到小数点后第2位，则至少
需要二分 6 次。 ln ba
k 1
ln 2
用迭代法求方程根的关键问题是：
a．精确地选定初值
b．选定一个粗糙的初值
c．正确构造一个迭代公式 d．编好计算程序
解：1）判断是否在该区间有且仅有一个根
f(0)=2>0，f(1)=2/e-sin1≈-0.1<0， f’(x)=-2e-x-cosx，f’=-3,-2/e-cos1<0
2）判断二分次数 由(b-a)/2k+1=1/2k+1≤1/2*10-3，解得k≥3ln10/ln2≥9.965， 所以需要二分10次，才能满足精度要求。
∴方程1-x-sinx=0在[0,1]中有且只有1个根。 3k）求ln二1(分30)l次n2 数)(9.9 6b 2 5 k1 a∴需21 k二1 分1 2 1* 01 次3 0
方程求根——二分法
习题2——2：用二分法求方程2e-x-sinx=0在区 间[0,1]内的1个实根，要求3位有效数字。