高一数学 1.3.1 单调性与最大 新小值第一课时课件 新人教A版必修1

(2)这个区间也可以是定义域的真子集，如y＝x2 在定义域(－∞，＋∞)不具备单调性，但在(－∞，0] 是减函数，在[0，＋∞)是增函数．
(3) 有 的 函 数 不 具 备 单 调 性 ， 如 函 数 y ＝
1，x为有理数 0，x为无理数.
它的定义域为 R，但不具备单调性；
(4)单调区间，必须是一个区间，不能是两个区间的并，
1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值
第1课时 函数的单调性
1．理解单调性的定义． 2．运用单调性的定义判断函数的单调性．
自学导引
1．定义域为I的函数f(x)的增减性：
自主探究
2．如果函数y＝f(x)在区间D上是_增__函__数__或 _减__函__数__ ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有 _(严__格__的__)_单__调__性__ ，区间D叫做y＝f(x)的_单__调__区__间_ ．
＋∞)，但函数 y＝1x在(0，＋∞)上是减函数，却不能
写成在[0，＋∞)上是减函数．
5．求函数的单调区间，就是求函数保持同一单 调性不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的最大区间．
二、函数单调性的判断与证明 1．函数单调性的判断方法有三种：一是依据单 调性的定义；二是依据函数的图象；三是依据已知 函数的单调性判断．如已学过的一次函数、二次函 数、反比例函数的单调性情况． 2．函数单调性的证明方法： 依据定义进行证明．其步骤如下： ①取值：即设x1，x2是该区间上的任意两个值， 且x1<x2；
3．判断(证明)函数的单调性 判断(证明)函数单调性的步骤
自主探究
1．在增、减函数定义中，能否把“任意”两字去 掉？
答：不能．如图所示
虽然f(－1)<f(2)，但f(x)在[－1,2]上并不递增．
2．如果函数在两个区间上都是单调的， 在这两个区间的并集上是不是一定单调呢？
答：如果函数在两个区间上都单调递增 (或递减)，但在这两个区间的并集上不一定单 调递增(或递减)．例如函数 f(x)＝1x(x≠0)在(－ ∞，0)和(0，＋∞)上分别都是单调递减的，但 不能说函数在(－∞，0)∪(0，＋∞)是单调递 减的．
解析：观察图象可知．函 数y＝f(x)的图象在[1,4)和[4,6] 上是上升的．故单调增区间为 [1,4)和[4,6]．
答案：[1,4)和[4,6]
要点阐释
一、函数单调性的理解 1．如果一个函数在某个区间上是增函数或减函 数，就说这个函数在这个区间上具有单调性，证明 函数的单调性，必须严格按照单调性的定义证明． 2．定义中的x1、x2有三个特征：(1)“任意”性， 不能由两个特殊值代替；(2)二者有大小，通常规定 x1<x2；(3)同属一个区间． 3．函数的单调性是函数在某个区间上的性质． (1)这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个 定义域(－∞，＋∞)是增函数．
②作差变形：即作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分 解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号 的方向变形；
③定号：确定差f(x1)－f(x2)的符号，当符号不确 定时，可以分情况讨论；
④判定：依据定义得出结论．
典例剖析
题型一 利用图象求函数的单调区间 【例1】 求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3|x|； (2)f(x)＝|x2＋2x－3|.
B．函数f(x)先减后增
C．函数f(x)是R上的增函数
D．函数f(x)是R上的减函数 解析：由faa－－fbb>0 知，当 a>b 时，f(a)>f(b)；当
a<b 时，f(a)<f(b)，所以函数 f(x)是 R 上的增函数． 答案：C
3．函数f(x)＝|x|的减区间是________． 解析：画出f(x)＝|x|的图象，可知此函数的减区 间是(－∞，0]． 答案：(－∞，0] 4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x) 的单调增区间为________．
预习测评
1．函数y＝－x2的单调减区间是 ( )
A．[0，＋∞)
B．(－∞，0]
C．(－∞，0)
D．(－∞，＋∞)
解析：画出y＝－x2在R上的图象，可知函
数在[0，＋∞)上递减．
答案：A
2．定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等的
实数 a，b，总有faa－ －fbb>0，则必有
()
A．函数f(x)先增后减
x≥0 x<0 .
图象如图所示． ∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调 递增区间为(－∞，－1]，(0,1]，递减 区间为(－1,0]，(1，＋∞)．
解：(1)∵f(x)＝3|x|
＝3－x，3x，
x≥0， x<0.
图象如图所示．
f(x)在(－∞，0]上是减函数，在(0，＋∞)上是 增函数．
(2)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4. 先作出f(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部 分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到y＝ |x2＋2x－3|的图象，如图所示．
如不能写成函数 y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)是减函数， 而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数．
4．区间端点的写法 对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定 的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题．因 此写单调区间时，如果端点在定义域内，可以包括 端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时， 单调区间就不包括这些点． 例如：y＝x2 的增区间是[0，＋∞)，也可记为(0，
由图象易得：函数的递增区间是(－3，－1)，(1， ＋∞)；
函数的递减区间是(－∞，－3]，(－1,1]． 点评：函数的单调区间可以是开的，也可以是 闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续 函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也 单调．因此，只要单调区间端点使f(x)有意义，都可 以使单调区间包括端点．但要注意，不连续的单调 区间必须分开写，不能用“∪”符号连接它们．
1．求下列函数的单调区间 (1)f(x)＝|xx2|＋1；
(2)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
解：(1)∵f(x)＝|xx2|＋1
＝x－＋x1＋1
x>0 ，图象如图所示． x<0
∴单调递增区间为(0，＋∞)，递减区间为(－∞，0)． (2)∵f(x)＝－x2＋2|x|＋3
＝－ －xx22＋ －22xx＋ ＋33， ，