北师大版数学选修1-1：第三章§2 导数的概念及其几何意义
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Δx 2 2 3 1 3x ·Δ x＋3x（Δx） ＋（Δx） 03 Δx
1 2 ＝ lim [3x ＋3x·Δx＋(Δx)2]＝x2， Δx→03 8 ∵点 P 的坐标为 2，3， 1 所以曲线 y＝ x3 在点 P 处的切线的斜率为 4. 3 1 8 (2)曲线 y＝ x3 在点 P 处的切线方程是 y－ ＝4(x－2)， 3 3 即 12x－3y－16＝0. 11.(创新题)已知曲线 C 的方程为 y＝x3. (1)求曲线 C 在横坐标为 1 的点处的切线方程； (2)试判断(1)中的切线与曲线 C 是否还有其他公共点． 解：(1)将 x＝1 代入曲线 C 的方程得切点坐标为(1，1)，故切线的斜率 k＝ lim →
Δx 0
2（1＋Δx）－（1＋Δx）3－（2－1） ＝－1， Δx
∴曲线在(1，1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 5.函数 y＝x2 在 x＝________处的导数值等于其函数值． 解析：y＝f(x)＝x2 在 x＝x0 处的导数值为 f′(x0) ＝ lim →
Δx 0
f（x0＋Δx）－f（x0） ＝ lim (Δx＋2x0)＝2x0. Δx→0 Δx
2 由 2x0＝x0 ，解得 x0＝0 或 x0＝2. 答案：0 或 2 6.(2012· 南昌调研)若一物体的运动方程为 s＝3t2＋2，求此物体在 t＝1 时的瞬时速度．
解： lim →
Δx 0
s（1＋Δt）－s（1） 3（1＋Δt）2＋2－3×12－2 ＝ lim Δx→0 Δt Δt 6Δt＋3（Δt）2 ＝ lim (6＋3Δt)＝6. 0 Δx→0 Δt
)
Δs 表示瞬时变化率，即 t 时刻该物体的瞬时速度． Δt )
2.(2012· 宝鸡检测)已知函数 f(x)＝x3－x 在 x＝2 处的导数为 f′(2)＝11，则( A．f′(2)是函数 f(x)＝x3－x 在 x＝2 时对应的函数值 B．f′(2)是曲线 f(x)＝x3－x 在点 x＝2 处的割线斜率 C．f′(2)是函数 f(x)＝x3－x 在 x＝2 时的平均变化率 D．f′(2)是曲线 f(x)＝x3－x 在点 x＝2 处的切线的斜率 答案：D 3.(2012· 西安质检)函数 y＝ 4－x2在 x＝1 处的导数为________．
Δx 0
Δy Δx
＝ lim →
Δx 0
（1＋Δx）3－1 ＝ lim [3＋3Δx＋(Δx)2]＝3，∴切线方程为 y－1＝3(x－1)，即 Δx→0 Δx
3x－y－2＝0.
y＝3x－2 (2)由 消去 y，整理得(x－1)(x2＋x－2)＝0，解得 x1＝1，x2＝－2，从而所求公 3 y＝x
＝ lim →
Δx
所以物体在 t＝1 时的瞬时速度是 6. [B 级 能力提升] 7.设曲线 y＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y－6＝0 平行，则 a 等于( A．1 1 B. 2 1 C．－ 2 D．－1 解析：选 A.令 f(x)＝y＝ax2，则 2＝k＝f′(1) ＝ lim →
Δx 0
Δy Δx
Baidu Nhomakorabea ＝ lim →
Δx 0
（x＋Δx）3－10（x＋Δx）＋3－x3＋10x－3 ＝3x2－10.已知曲线 C 在点 P 处的切线 Δx
的斜率 kP＝2，则 3x2 0－10＝2，解得 x0＝±2，∵点 P 在第二象限内，∴x0＝－2.又点 P 在曲 线 C 上，则 y0＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15，∴点 P 的坐标为(－2，15)． 答案：(－2，15)
解析：作出函数 y＝ 4－x2的图像如图． 由导数的几何意义可知，函数 y＝ 4－x2在 x＝1 处的导数即为半圆在点 P(1, 切线的斜率． 1 1 3 ∴kl＝ － ＝－ ＝－ . kOP 3 3 答案：－ 3 3
3)处的
1 4.已知函数 y＝f(x)的图像在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝ x＋2，则 f(1)＋f′(1)＝ 2 ________． 1 5 1 解析：f(1)＝ ＋2＝ ，f′(1)＝ ， 2 2 2 ∴f(1)＋f′(1)＝3.
共点为(1，1)，(－2，－8)．说明切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另外的点．
1.一直线运动的物体，从时间 t 到 t＋Δ t 时，物体的位移为Δ s，那么 lim → A．在 t 时刻该物体的瞬时速度 B．当时间为Δ t 时物体的瞬时速度 C．从时间 t 到 t＋Δ t 时物体的平均速度 D．以上说法均错误 解析：选 A.根据导数的概念可知， lim →
Δx 0
Δx 0
Δs 为( Δt
8 1 10.(2012· 榆林调研)已知曲线 y＝ x3 上一点 P 2，3，如图所示． 3 (1)求曲线在点 P 处的切线的斜率； (2)求曲线在点 P 处的切线方程． 1 解：(1)因为 y＝ x3， 3 所以 y′＝ Δy Δx
1 1 （x＋Δx）3－ x3 3 3 ＝ lim Δx→0 Δx ＝ lim →
Δx 0 Δx 0
3（1＋Δx）2－3×12 Δx
3＋6Δx＋3（Δx）2－3 ＝6. Δx )
3.设 f(x)＝ax＋4，若 f′(1)＝2，则 a 等于( A．2 B．－2 C．3 D．－3
f（1＋Δx）－f（1） a（1＋Δx）＋4－a－4 解析：选 A.∵ ＝ Δx Δx ＝a，∴f′(1)＝a，又 f′(1)＝2， ∴a＝2. 4.曲线 y＝f(x)＝2x－x3 在点(1，1)处的切线方程为________． 解析：∵f′(1)＝ lim →
答案：3
[A 级 基础达标]
1.已知函数 y＝f(x)的图像如图，则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是( ) A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 解析： 选 B.f′(xA)和 f′(xB)分别表示函数图像在点 A、 B 处的切线斜率， 故 f′(xA)＜f′(xB)． 2 2.(2012· 上饶检测)函数 y＝3x 在 x＝1 处的导数为( ) A．2 B．3 C．6 D．12 解析：选 C.f′(1)＝ lim → ＝ lim →
Δx 0
)
f（1＋Δx）－f（1） ＝2a，故 a＝1. Δx
8.如图所示，单位圆中弧 AB 的长为 x，f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的 2 倍，则函数 y＝f(x)的图像是( )
解析：选 D.不妨设 A 固定，B 从 A 点出发绕圆周旋转一周，刚开始时 x 很小，即弧 AB 长度很小， 这时给 x 一个改变量Δx， 那么弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的改变量非常小， 即弓形面积的变化较慢； 当弦 AB 接近于圆的直径时，同样给 x 一个改变量Δx，那么弧 AB 与弦 AB 所围成的弓 形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快； 从直径的位置开始，随着 B 点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越 慢． 由上可知函数 y＝f(x)的图像应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比 较平缓，对比各选项知 D 正确． 9.(2012· 宜春质检)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：y＝x3－10x＋3 上，且在 第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为________． 解析：设 P 点的坐标为(x0，y0)．y′＝ lim →
1 2 ＝ lim [3x ＋3x·Δx＋(Δx)2]＝x2， Δx→03 8 ∵点 P 的坐标为 2，3， 1 所以曲线 y＝ x3 在点 P 处的切线的斜率为 4. 3 1 8 (2)曲线 y＝ x3 在点 P 处的切线方程是 y－ ＝4(x－2)， 3 3 即 12x－3y－16＝0. 11.(创新题)已知曲线 C 的方程为 y＝x3. (1)求曲线 C 在横坐标为 1 的点处的切线方程； (2)试判断(1)中的切线与曲线 C 是否还有其他公共点． 解：(1)将 x＝1 代入曲线 C 的方程得切点坐标为(1，1)，故切线的斜率 k＝ lim →
Δx 0
2（1＋Δx）－（1＋Δx）3－（2－1） ＝－1， Δx
∴曲线在(1，1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 5.函数 y＝x2 在 x＝________处的导数值等于其函数值． 解析：y＝f(x)＝x2 在 x＝x0 处的导数值为 f′(x0) ＝ lim →
Δx 0
f（x0＋Δx）－f（x0） ＝ lim (Δx＋2x0)＝2x0. Δx→0 Δx
2 由 2x0＝x0 ，解得 x0＝0 或 x0＝2. 答案：0 或 2 6.(2012· 南昌调研)若一物体的运动方程为 s＝3t2＋2，求此物体在 t＝1 时的瞬时速度．
解： lim →
Δx 0
s（1＋Δt）－s（1） 3（1＋Δt）2＋2－3×12－2 ＝ lim Δx→0 Δt Δt 6Δt＋3（Δt）2 ＝ lim (6＋3Δt)＝6. 0 Δx→0 Δt
)
Δs 表示瞬时变化率，即 t 时刻该物体的瞬时速度． Δt )
2.(2012· 宝鸡检测)已知函数 f(x)＝x3－x 在 x＝2 处的导数为 f′(2)＝11，则( A．f′(2)是函数 f(x)＝x3－x 在 x＝2 时对应的函数值 B．f′(2)是曲线 f(x)＝x3－x 在点 x＝2 处的割线斜率 C．f′(2)是函数 f(x)＝x3－x 在 x＝2 时的平均变化率 D．f′(2)是曲线 f(x)＝x3－x 在点 x＝2 处的切线的斜率 答案：D 3.(2012· 西安质检)函数 y＝ 4－x2在 x＝1 处的导数为________．
Δx 0
Δy Δx
＝ lim →
Δx 0
（1＋Δx）3－1 ＝ lim [3＋3Δx＋(Δx)2]＝3，∴切线方程为 y－1＝3(x－1)，即 Δx→0 Δx
3x－y－2＝0.
y＝3x－2 (2)由 消去 y，整理得(x－1)(x2＋x－2)＝0，解得 x1＝1，x2＝－2，从而所求公 3 y＝x
＝ lim →
Δx
所以物体在 t＝1 时的瞬时速度是 6. [B 级 能力提升] 7.设曲线 y＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y－6＝0 平行，则 a 等于( A．1 1 B. 2 1 C．－ 2 D．－1 解析：选 A.令 f(x)＝y＝ax2，则 2＝k＝f′(1) ＝ lim →
Δx 0
Δy Δx
Baidu Nhomakorabea ＝ lim →
Δx 0
（x＋Δx）3－10（x＋Δx）＋3－x3＋10x－3 ＝3x2－10.已知曲线 C 在点 P 处的切线 Δx
的斜率 kP＝2，则 3x2 0－10＝2，解得 x0＝±2，∵点 P 在第二象限内，∴x0＝－2.又点 P 在曲 线 C 上，则 y0＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15，∴点 P 的坐标为(－2，15)． 答案：(－2，15)
解析：作出函数 y＝ 4－x2的图像如图． 由导数的几何意义可知，函数 y＝ 4－x2在 x＝1 处的导数即为半圆在点 P(1, 切线的斜率． 1 1 3 ∴kl＝ － ＝－ ＝－ . kOP 3 3 答案：－ 3 3
3)处的
1 4.已知函数 y＝f(x)的图像在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝ x＋2，则 f(1)＋f′(1)＝ 2 ________． 1 5 1 解析：f(1)＝ ＋2＝ ，f′(1)＝ ， 2 2 2 ∴f(1)＋f′(1)＝3.
共点为(1，1)，(－2，－8)．说明切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另外的点．
1.一直线运动的物体，从时间 t 到 t＋Δ t 时，物体的位移为Δ s，那么 lim → A．在 t 时刻该物体的瞬时速度 B．当时间为Δ t 时物体的瞬时速度 C．从时间 t 到 t＋Δ t 时物体的平均速度 D．以上说法均错误 解析：选 A.根据导数的概念可知， lim →
Δx 0
Δx 0
Δs 为( Δt
8 1 10.(2012· 榆林调研)已知曲线 y＝ x3 上一点 P 2，3，如图所示． 3 (1)求曲线在点 P 处的切线的斜率； (2)求曲线在点 P 处的切线方程． 1 解：(1)因为 y＝ x3， 3 所以 y′＝ Δy Δx
1 1 （x＋Δx）3－ x3 3 3 ＝ lim Δx→0 Δx ＝ lim →
Δx 0 Δx 0
3（1＋Δx）2－3×12 Δx
3＋6Δx＋3（Δx）2－3 ＝6. Δx )
3.设 f(x)＝ax＋4，若 f′(1)＝2，则 a 等于( A．2 B．－2 C．3 D．－3
f（1＋Δx）－f（1） a（1＋Δx）＋4－a－4 解析：选 A.∵ ＝ Δx Δx ＝a，∴f′(1)＝a，又 f′(1)＝2， ∴a＝2. 4.曲线 y＝f(x)＝2x－x3 在点(1，1)处的切线方程为________． 解析：∵f′(1)＝ lim →
答案：3
[A 级 基础达标]
1.已知函数 y＝f(x)的图像如图，则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是( ) A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 解析： 选 B.f′(xA)和 f′(xB)分别表示函数图像在点 A、 B 处的切线斜率， 故 f′(xA)＜f′(xB)． 2 2.(2012· 上饶检测)函数 y＝3x 在 x＝1 处的导数为( ) A．2 B．3 C．6 D．12 解析：选 C.f′(1)＝ lim → ＝ lim →
Δx 0
)
f（1＋Δx）－f（1） ＝2a，故 a＝1. Δx
8.如图所示，单位圆中弧 AB 的长为 x，f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的 2 倍，则函数 y＝f(x)的图像是( )
解析：选 D.不妨设 A 固定，B 从 A 点出发绕圆周旋转一周，刚开始时 x 很小，即弧 AB 长度很小， 这时给 x 一个改变量Δx， 那么弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的改变量非常小， 即弓形面积的变化较慢； 当弦 AB 接近于圆的直径时，同样给 x 一个改变量Δx，那么弧 AB 与弦 AB 所围成的弓 形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快； 从直径的位置开始，随着 B 点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越 慢． 由上可知函数 y＝f(x)的图像应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比 较平缓，对比各选项知 D 正确． 9.(2012· 宜春质检)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：y＝x3－10x＋3 上，且在 第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为________． 解析：设 P 点的坐标为(x0，y0)．y′＝ lim →